Трапеция (теория + разбор задач)

Трапеция

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Элементы трапеции:

• Основы трапеции - параллельные стороны

• Боковые стороны - две другие стороны

• Средняя линия - отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

На рисунке изображена произвольная трапеция. АВ, СD – это боковые стороны (они не параллельны). AD, BC – основания (параллельные стороны).

Виды трапеции (частные случаи):

1. Равнобедренная (равнобокая) трапеция: боковые стороны равны.

Свойства равнобедренной трапеции:

Теорема. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Теорема. В равнобедренной трапеции диагонали равны.

Признаки равнобедренной трапеции:

1. Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.

2. Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

3. Вокруг равнобокой трапеции можно описать окружность (Окружность можно описать около любого выпуклого четырехугольника, у которого сумма противолежащих углов составляет 180 градусов).

1. Если в равнобокой трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность. (Отсюда следует, что длина средней линии этой трапеции будет равна боковой стороне).

AB + DC = AD + BC

1. Если в равнобокой трапеции провести две высоты от одного основания к другому, то эти высоты отсекут равные треугольники.

1. Δ AKB = Δ ДМС, тогда АК = ДМ

2. Трапеция, у которой два угла прямые, называется прямоугольной.

Свойства прямоугольной трапеции:

1) В прямоугольной трапеции (впрочем, как и в любой трапеции) сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 градусов.

2) Одна сторона прямоугольной трапеции одновременно служит высотой трапеции.

3) Высота проведенная из вершины С, равна боковой стороне.

4) Высота прямоугольной трапеции делит ее на прямоугольник и прямоугольный треугольник.

5) Диагональ прямоугольной трапеции делит ее на два треугольника, один из которых прямоугольный.

6) В прямоугольную трапецию можно вписать окружность. В этом случае

6.1.Сумма боковых сторон трапеции равна сумме ее оснований. АВ + СD = ВС + АВ

6.2. Диаметр окружности равен высоте трапеции. d = h

А вот описать окружность около прямоугольной трапеции не получится, поскольку сумма ее противолежащих углов не равна 180 градусам.

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон и параллельный основаниям трапеции. Чаще всего среднюю линию обозначают буквами MN, но это не является правилом.

Средняя линия равна полусумме оснований трапеции.

Диагонали делят среднюю линию трапеции на три отрезка. Средний из них равен полуразности оснований, а два крайних равны между собой:

Высота трапеции — это перпендикуляр, проведенный из вершины угла трапеции на прямую, содержащую противолежащее основание. Из какого бы угла мы ни провели высоты, они будут равны друг другу. А в прямоугольной трапеции высота совпадает с одной из боковых сторон!

Основные свойства трапеции

1. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

AB + CD = BC + AD

2. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

4. Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.

5. В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

6. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

7. Диагонали трапеции d₁ и d₂ связаны со сторонами соотношением:

d₁²+d₂²= 2ab+c²+d²

Разберем задачи (ОГЭ – 17 задание)

1. Дано: АВСD – трапеция; ∠А = 36°, ∠С = 117°.

Найти: ∠В и ∠D.

Решение:

Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180⁰ – свойство односторонних углов при параллельных прямых.

∠А + ∠В = 180°; ∠С + ∠D = 180°. Тогда:

∠В = 180-36 = 144°;

∠D = 180-117 = 63°.

Ответ: 144⁰; 63⁰

2. Основания трапеции равны 3 и 9, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть равна

_{ }

3. Сумма двух углов при основании равнобедренной трапеции равна 50⁰. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение:

т.к. АВСD - равнобедренная трапеция, то ∠А=∠D и ∠В=∠С

∠А + ∠D=50⁰ ⇒ ∠А=∠D = 50⁰ : 2 = 25⁰

∠А + ∠В = 180⁰ (сумма углов при боковой стороне трапеции)

∠В = 180⁰ – 25⁰ = 155⁰

Ответ: больший угол равнобедренной трапеции равен 155⁰.

4. Один из углов прямоугольной трапеции равен 113⁰. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Ответ: меньший угол равен 67⁰

5. В равнобедренной трапеции высота равна 5, меньшее основание - 3 и угол при основании равен 45⁰. Найдите большее основание.

Решение:

1) Рассмотрим ∆АВК – треугольник прямоугольный, т.к. ВК ⊥ АD ⇒ ∠ВКА=90⁰

∠ВАК + ∠АВК = 90⁰ (сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90⁰)

∠АВК = 90⁰ - ∠ВАК

∠АВК = 90⁰ – 45⁰ = 45⁰ ⇒ ∆АВК – равнобедренный ⇒ АК=ВК=5

2) Проведем высоту из точки С и рассмотрим ∆СDМ

∆СDМ – прямоугольный равнобедренный ⇒МD = 5

3) АD = АК + КМ + МD

AD=5+3+5 = 13

Ответ: большее основание равно 13

7. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины В, делит основание AD на отрезки 1 и 11. Найдите длину основания ВС.

Решение:

∆АВК и ∆МСD – прямоугольные треугольники

АК=МD = 1

КВСМ – прямоугольник ⇒ КМ=ВС

ВС = АМ – АК = КМ – МD

ВС = 11 – 1 = 10

Ответ: основание ВС = 10

7. Основания трапеции равны 10 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Рассмотрим ∆АDC – EO – средняя линия треугольника

ЕО = ½ DC

ЕО = ½ • 10 = 5

Рассмотрим ∆АСВ – ОF – средняя линия треугольника

OF = ½ АВ

OF = ½ • 11 = 5,5

Ответ: больший отрезок равен 5,5

8 . В равнобедренной трапеции ABCD известно, что AB=CD, ∠BCA=14⁰ и ∠BDC=106⁰. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

∠D = ∠ BDA + ∠ BDC

∠D = 14⁰ + 106⁰ = 120⁰

∠A = ∠D = 120⁰

Рассмотрим ∆АВD

∠A + ∠ BDA + ∠ABD = 180⁰ (теорема о сумме углов треугольника)

∠ABD = 180⁰ – 14⁰ – 120⁰ = 46⁰

Ответ: ∠ABD = 46⁰