Треугольник простейший, и неисчерпаемый

Треугольник простейший и неисчерпаемый

Цели работы:

• закрепление, углубление и дополнение теоретических знаний по теме «Треугольник»
• формирование навыков анализа, систематизации и обобщения информации по данной теме.

Задачи:

• подбор необходимых материалов для решения задач, содержащих элементы и линии треугольника
• получение компетенций самостоятельной работы по сбору, обработке и применению научной информации и практических данных.

Ожидаемые результаты:

• знание определений новых видов треугольников, их свойств, теорем, не входящих в школьный курс «Геометрии»
• умение применять полученные знания при решении задач по геометрии при подготовке к ЕГЭ.

Центр тяжести треугольника

Центр тяжести – точка, на которую приходится вес всей

фигуры (центр масс для тонкой треугольной пластины).

Центр тяжести находится на пересечении трех медиан.

Эта точка является центроидом,

потому что он всегда делит

медиану треугольника в

отношении 2:1. То есть центр

тяжести находится на

расстоянии, которое равно

⅓ длины медианы, от середины

стороны, или на расстоянии,

которое равно ⅔ длины

медианы, от вершины треугольника.

Известно, что каждая координата центра тяжести площади треугольника есть среднее арифметическое одноименных координат его вершин. Значит, если вершины треугольника имеют координаты (x 1 , y 1 , z 1 ), (x 2 , y 2 , z 2 ) и (x 3 , y 3 , z 3 ), то координаты его центра тяжести X 0 , Y 0 и Z 0 будут равны:

Золотая пропорция

Построение пятиугольника

или десятиугольника сводится

к так называемому

«золотому сечению отрезка».

Ясно, что для построения

десятиугольника достаточно

по известному радиусу

описанной окружности R

построить сторону X

десятиугольника.

Рассматривая один из десяти треугольников со сторонами BA=BC=R, AC=x и углами ABC=36˚, BAC=BCA=72˚, из которых составлен десятиугольник, после проведения биссектрисы AM, из подобия треугольников ABC и AMC и равенства отрезков AC,

AM, BM получаем пропорцию X/(R-X)=R/X , которая с античных времен называется «золотой».

Отношение сторон

приблизительно

равно 1,6180339887

Известно много формул, связывающих

между собой элементы треугольника ( a , b , c) –

длины сторон, r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей).

Вот одна их них:

Радиусы описанной, вписанной и вневписанной окружностей R, r, r a , r b и r c связаны красивым соотношением

r a +r b +r c =r+4R

A расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей ρ можно найти по формуле Эйлера:

Великая теорема Ферма

Натуральные числа x , y , z удовлетворяющие уравнению (они могут служить сторонами прямоугольного треугольника), называют пифагоровыми тройками. Таковы, например, числа 3, 4 и 5. Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам:

, ,

Ферма занимают «невозможные» задачи – задачи, не имеющие решений. Он обнаружил, что нельзя найти прямоугольный треугольник с целочисленными сторонами, у которого площадь – точный квадрат.

Теорема Чевы

Теоремы о пересечении высот, медиан, биссектрис треугольника можно получить из общей «теоремы Чевы». Теорема Чевы — классическая теорема геометрии треугольника. Установлена в 1678 году итальянским инженером Джованни Чевой.

Отрезки AA 1 , BB 1 , CC 1 , соединяющие вершины треугольника ABC с точками на противолежащих сторонах, пересекаются в одной точке тогда, и только тогда, когда

CB 1 •AC 1 •BA 1 = B 1 A•C 1 B•A 1 C

Точки Брокара

- Точка P, лежащая внутри треугольника АВС, называется первой точкой Брокара, если ∠РАС = ∠РСВ = ∠РВА.

- Для второй точки Брокара Q должны выполняться равенства ∠QAB = ∠QCA = ∠QBC.

Теорема 1. Если точка Брокара Р есть точка пересечения медиан, то треугольник АВС правильный.

Теорема 2. Если точка Брокара Р является пересечением медианы с биссектрисой , то треугольник АВС правильный.

Теорема 3. Если точка Брокара Р является точкой пересечения медианы с высотой, то треугольник АВС правильный.

Теорема 4. Если точка Брокара Р является точкой пересечения биссектрисы с высотой, то треуголник АВС правильный.

Теорема 5. Если треугольник АВС равнобедренный, то точка Брокара Р лежит на медиане.

Прямая эйлера

Три замечательные точки треугольника: центр описанной окружности, точки пересечения медиан – центр тяжести и точка пересечения высот – его ортоцентр, лежат на одной прямой – прямой Эйлера.

Окружность Эйлера

У каждого треугольника имеется, и притом единственная, окружность девяти точек.

Это окружность, проходящая через следующие три тройки точек: основания его высот ( A 1 , B 1 , C 1 ), основания его медиан ( A 2 , B 2 , C 2 ) и середины отрезков прямых

от точки пересечения

его высот H до его

высот ( A 3 , B 3 , C 3 ).

Педальный треугольник

Педальный треугольник – это треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из точки, находящейся внутри треугольника. А сама эта точка называется педальной точкой.

Свойства педальных треугольников

1. Если расстояние от педальной точки до вершины треугольника АВС равны х, у, z, то длины сторон педального

треугольника равны где R – радиус описанной окружности.

2. Основания перпендикуляров, опущенных из точки на стороны треугольника, лежат на одной прямой, тогда и только тогда, когда эта точка лежит на описанной окружности.

Свойства педальных треугольников

3. Если из точки L внутри треугольника опущены перпедикуляры la, lb, lc, соответственно на стороны а, b, с треугольника, то

Свойства педальных треугольников

4. Перпендикуляры, опущенные их точки, лежащей в плоскости треугольника, на его стороны, определяют на сторонах шесть отрезков так, что сумма квадратов трех отрезков, не имеющих общих концов, равна сумме квадратов других трех отрезков.

5. Третий педальный треугольник подобен исходному.

Сферические треугольники

Сферическим треугольником называется фигура, образованная тремя дугами окружностей больших кругов, попарно соединяющих три точки.

Каждая сторона и угол сфери­ческого треугольника по определению мень­ше 180°. Геометрия на поверхности шара являет­ся неевклидовой; в каждом сферическом треугольнике сумма сторон заключена между 0 и 360°, сумма углов заключена между 180° и 540°. В каждом сферическом треуголь­нике против большей стороны лежит больший угол. Сумма любых двух сторон больше третьей стороны, сумма любых двух углов меньше, чем 180° плюс третий угол. Сферический треугольник единственным образом определяется (с точностью до преобразования симметрии):   тремя сторонами,   тремя углами,   двумя сторонами и заключенным между ними углом,   стороной и двумя прилежащими к ней углами.

Ортоцентрический треугольник и его свойства

Ортотреугольник (ортоцентрический треугольник) — это треугольник Δabc, вершины которого являются основаниями высот треугольника ∆ABC.

Для ортотреугольника

(для ортоцентрического треугольника)

Δabc сам треугольник ∆ABC является

треугольником трёх внешних

биссектрис. То есть отрезки

AB, BC и CA являются тремя

внешними биссектрисами

треугольника Δabc.

Свойства ортотреугольника

Площадь ортотреугольника равна:

Где S — площадь треугольника ABC, a,b,c — его соответствующие стороны.

1. Ортоцентрический треугольник остроугольного треугольника АВС обладает наименьшим периметром из всех вписанных треугольников.

2. Высоты остроугольного треугольника ABC являются биссектрисами углов его ортотреугольника (следовательно ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник).

3. Вершины треугольника ABC являются центрами вневписанных окружностей ортоцентрического треугольника H 1 H 2 H 3 .

4. Если вокруг данного остроугольного треугольника описать окружность и в трех вершинах треугольника провести прямые, касательные к окружности, то пересечение этих прямых образует треугольник, который называют тангенциальным треугольником по отношению к данному треугольнику. Треугольник Т1Т2Т3 - тангенциальный треугольник.

5. Ортотреугольник и тангенциальный треугольник подобны.

6. Радиусы окружности, описанной около данного треугольника ΔABC, проведенные через его вершины, перпендикулярны соответственным сторонам ортотреугольника Δabc.