Треугольники. Часть 1.

ТРЕУГОЛЬНИКИ

Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек – вершин треугольника – и трёх соединяющих их отрезков, – сторон треугольника.

Виды треугольников:

1. Остроугольный. Все углы у него острые.

2. Тупоугольный. Один угол у него тупой, два других – острые.

3. Прямоугольный. Один угол у него прямой, два других – острые.

4. Равнобедренный. Две стороны у него равны.

5. Равносторонний. Все стороны у него равны.

Треугольники называются равными, если у них все соответствующие стороны и углы равны.

ТЕОРЕМА: Если прямая, не проходящая ни через одну вершину треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон.

ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ.

ТЕОРЕМА: Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ.

ТЕОРЕМА: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника, равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ.

ТЕОРЕМА: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

ТЕОРЕМА: Сумма углов любого треугольника равна 180°.

СЛЕДСТВИЕ: У любого треугольника хотя бы два угла острые.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с углом треугольника при данной вершине.

ТЕОРЕМА: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА

(Евклидова геометрия)

1. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

2. Против большей стороны лежит больший внутренний угол.

3. Против большего внутреннего угла лежит большая сторона.

4. В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон, но больше разности большей и меньшей из оставшихся сторон.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ЕГО СТОРОНАМ

Пусть с – наибольшая сторона треугольника.

1. Треугольник остроугольный, если .

2. Треугольник прямоугольный, если .

3. Треугольник тупоугольный, если .

БИССЕКТРИСА ТРЕУГОЛЬНИКА

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины называется отрезок, выходящий из вершины данного угла и делящий этот угол пополам.

ТЕОРЕМА: Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, являющейся центром вписанной в треугольник окружности.

Свойства биссектрис треугольника.

1. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам.

(из рисунка сверху)

1. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны.

1. Если биссектриса к стороне , то длина биссектрисы равна:

или

МЕДИАНА ТРЕУГОЛЬНИКА

Медианой треугольника, проведённой из данной вершины называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника.

ТЕОРЕМА: Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойства медиан треугольника.

1. Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника (т.е. на треугольники с одинаковой площадью).
   

1. Весь треугольник разбивается своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

1. Если медиана к стороне , то длина медианы равна:

или

ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА

Высотой треугольника, проведённой из данной вершины называется отрезок, выходящий из данной вершины перпендикулярно (под углом 90°) противолежащей стороне.

Свойства медиан треугольника.

1. В остроугольном треугольнике высоты пересекаются внутри треугольника; в тупоугольном – вне треугольника; в прямоугольном – в вершине прямого угла.

1. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

1. Если высота к стороне , – полупериметр треугольника, то длина высоты равна:

3