Тренировочный вариант по математике ЕГЭ - 2017, №1

Вариант № 1

1. Сто­и­мость про­езд­но­го би­ле­та на месяц со­став­ля­ет 760 руб­лей, а сто­и­мость би­ле­та на одну по­езд­ку — 22 рубля. Аня ку­пи­ла про­езд­ной и сде­ла­ла за месяц 44 по­езд­ки. На сколь­ко руб­лей боль­ше она бы по­тра­ти­ла, если бы по­ку­па­ла би­ле­ты на одну по­езд­ку?

2. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на сред­не­су­точ­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Бре­сте каж­дый день с 6 по 19 июля 1981 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, какая была тем­пе­ра­ту­ра 15 июля. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

 3. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке.

4. Перед на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по шах­ма­там участ­ни­ков раз­би­ва­ют на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те участ­ву­ет 26 шах­ма­ти­стов, среди ко­то­рых 11 спортс­ме­нов из Рос­сии, в том числе Петр Тро­фи­мов. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Петр Тро­фи­мов будет иг­рать с каким-либо шах­ма­ти­стом из Рос­сии.

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

6. Пло­щадь ромба равна 18. Одна из его диа­го­на­лей равна 12. Най­ди­те дру­гую диа­го­наль.

7.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y = f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−1; 13). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на.

8. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна , а диа­метр ос­но­ва­ния — 8. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

9. Най­ди­те , если .

10. Для на­гре­ва­тель­но­го эле­мен­та не­ко­то­ро­го при­бо­ра экс­пе­ри­мен­таль­но была по­лу­че­на за­ви­си­мость тем­пе­ра­ту­ры (в кель­ви­нах) от вре­ме­ни ра­бо­ты: , где t — время в ми­ну­тах,  К,  К/мин,  К/мин. Из­вест­но, что при тем­пе­ра­ту­ре на­гре­ва­те­ля свыше 1650 К при­бор может ис­пор­тить­ся, по­это­му его нужно от­клю­чить. Опре­де­ли­те, через какое наи­боль­шее время после на­ча­ла ра­бо­ты нужно от­клю­чить при­бор. Ответ вы­ра­зи­те в ми­ну­тах.

11. По­ло­ви­ну вре­ме­ни, за­тра­чен­но­го на до­ро­гу, ав­то­мо­биль ехал со ско­ро­стью 74 км/ч, а вто­рую по­ло­ви­ну вре­ме­ни – со ско­ро­стью 66 км/ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути. Ответ дайте в км/ч.

12. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции .

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

14. Дана пра­виль­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁, у ко­то­рой сто­ро­ны ос­но­ва­ния AB = 4, а бо­ко­вое ребро AA₁ = 9. Точка M — се­ре­ди­на ребра AC, а на ребре AA₁ взята точка T так, что AT = 5.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость BB₁M делит от­ре­зок C₁T по­по­лам.

б) Плос­кость BTC₁ делит от­ре­зок MB₁ на две части. Най­ди­те длину мень­шей из них.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

16. Про­дол­же­ние бис­сек­три­сы CD не­рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ет окруж­ность, опи­сан­ную около этого тре­уголь­ни­ка, в точке E. Окруж­ность, опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка ADE, пе­ре­се­ка­ет пря­мую AC в точке F, от­лич­ной от A. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, если AC = 4, AF = 2, ∠BAC = 60°.

17. Вла­ди­мир яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в ра­зных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры, но на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, ис­поль­зу­ет­ся более со­вер­шен­ное обо­ру­до­ва­ние. В ре­зуль­та­те, если ра­бочие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, трудт­ся сум­мар­но t ² часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 2t еди­ниц то­ва­ра; если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t ² часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 5t еди­ниц то­ва­ра.

За каж­дый час ра­бо­ты (на каж­дом из за­во­дов) Вла­ди­мир пла­тит ра­бо­че­му 500 руб­лей. Вла­ди­ми­ру нужно каж­дую не­де­лю про­из­во­дить 580 еди­ниц то­ва­ра. Какую наи­мень­шую сумму при­дет­ся тра­тить еже­не­дель­но на опла­ту труда ра­бо­чих?

18. Най­ди­те все такие зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние не имеет ре­ше­ний.

19. По­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел, причём каж­дый член по­сле­до­ва­тель­но­сти (кроме пер­во­го и по­след­не­го) боль­ше сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го со­сед­них (сто­я­щих рядом с ним) чле­нов. а) При­ве­ди­те при­мер такой по­сле­до­ва­тель­но­сти, со­сто­я­щей из пяти чле­нов, сумма ко­то­рых равна 60. б) Может ли такая по­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ять из пяти чле­нов и со­дер­жать два оди­на­ко­вых числа? в) Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма чле­нов такой по­сле­до­ва­тель­но­сти при n = 8?