Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным, однородные тригонометрические уравнения.

Тема урока: Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным, однородные тригонометрические уравнения.

Тип урока: Комбинированный урок.

Цели урока:

Образовательная:

• Ввести понятие однородные тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным;

• Ввести понятие тригонометрические уравнения 1 и 2 степени;

• Сформировать у учащихся умение решать рассмотренные уравнения на базовом уровне.

Развивающая:

• Развивать умения анализировать и делать выводы;

• Формировать умение самоанализа и контроля.

Воспитательная:

• Воспитывать чувство ответственности;

• Воспитывать умения работать в коллективе.

• Оборудование урока: плакаты, карблицы, самооценки, набор карточек для самостоятельной работы, сигнальные карточки.

Структура урока:

1. Организационный этап.

2. Этап проверки домашнего задания.

3. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоения нового материала. Ознакомление с темой урока. Постановка цели и задач.

4. Этап усвоения новых знаний.

5. Этап проверки понимания учащимися нового материала.

6. Этап закрепления нового материала.

7. Этап информации учащихся о домашнем задании.

8. Этап всесторонней проверки знаний.

9. Подведение итогов. Рефлексия.

Содержание урока.

1. Организационный этап.

Задача: подготовить учащихся к работе на уроке.

2. Этап проверки домашнего задания.

Задача: установить наличие и правильность выполнения д/з всеми учащимися.

3. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоения нового материала.

Задача: с помощью создания проблемной ситуации подвести учащихся к новым видам тригонометрических уравнений. Учитель обращает внимание учащихся на магнитную доску, где расположены карточки с несколькими тригонометрическими уравнениями, и предлагает указать способы их решения.

1) соs (4x-2)=2

2) (tgx-)

3) cos ²x-2cosx=0

4)tgx+3ctgx+4=0

5) 8 sin²x-6sin x-5=0

6)8 cos²2x+6 sin 2x-3=0

7)2sin x- 3 cos x=0

8) cos² 3x=

9)3 sin²x- 4sin x cos x +cos²x=0

Учащиеся внимательно смотрят на магнитную доску, обьясняют, как можно решить то или иное уравнение. Если у учителя нет замечаний, карточка с записью названного уравнения убирается с магнитной доски.

В результате проделанной работы на магнтной доске остались уравнения, способ решения которых учащиеся не нашли. (№5, 7)

4. Этап усвоения новых знаний.

Задачи:

Ввести понятие " Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным";

1. ввести понятие «тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным»;

2. ввести понятие однородных тригонометрических уравнений;

3. разобрать способы решения однородных тригонометрических уравнений 1 и 2 степени;

4. добиться умения определять вид однородных тригонометрических уравнений;

5. освоить общие приемы решения тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным, однородных тригонометрических уравнений.

Учитель называет виды оставшихся уравнений, и предлагает учащимся записать тему урока «Тригонометрические уравнения, решаемые путем приведения к квадратным. Однородные тригонометрические уравнения 1 и 2 степени».

Учитель делает записи на доске, а учащиеся в тетрадях:

Тригонометрические уравнения, решаемые путем приведения к квадратным.

1) Уравнения вида Asin2 t +Bsin t + C = 0 , где А  0, решаются приведением к квадратному путем замены  sin t = у  (аналогично решаются уравнения с cos t, tg t, сtg t).

2) Уравнения вида Asin2 t +Bcos t + C = 0.  При решении используется основное тригонометрическое тождество sin2 t = 1 – cos2 t.

3) sin² t = a, а=  .       4) cos² t = a, а=  .      

5) tg² t = a, а=    .        6) ctg² t = a, а=             

Подробно разбирается решение уравнения № 5, 4. Решение уравнения  № 6, проводится при активном участии класса. Для решения уравнения № 8 вызывается ученик (по желанию).

Однородные тригонометрические уравнения 1 и 2 степени.

Уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и ту же степень, называется однородным.

1) Уравнения вида Asin t +Bcos t  = 0,  где А  0, В   0, называются однородными тригонометрическими уравнениями 1 степени. Они решаются путем деления обеих частей на cos t  0. Имеем  A tg t + B = 0.

2) Уравнения вида Asin2 t +B sin tcos t + Сcos2 t = 0 называются однородными тригонометрическими уравнениями 2 степени. Они решаются путем деления обеих частей на cos2 t  0. Имеем  A tg2 t + B tg t + C  = 0.

Учитель решает уравнение №7, с подробным объяснением. При решении уравнения № 9 с помощью вопросов подключает учащихся к активной работе. После приведения уравнения к виду 3tg2 t  - 4 tg t + 1  = 0, предлагает учащимся по желанию выйти к доске и решить полученное уравнение.

1. Этап проверки понимания учащимися нового материала.

Задача: установить, усвоили ли учащиеся способы решения нового вида уравнений.

СФЗ (самостоятельная работа по формированию знаний).

Определите вид уравнения и укажите способ его решения.

1)sinx+  cosx=0;

2)5 sin 3x+4cos3x=0 ;  

3) sin²x+14sinx*cosx-15cos²x=0;

4) 1 + 7cos2 x + 3sin2 x = 0;    

5)sin2x+sin²x=0 .

6. Этап закрепления нового материала.

Задача: закрепить у учащихся знания и умения, которые они получили на уроке.

Учитель предлагает учащимся решить на доске уравнения:

1. № 165 а) решается с подробным предварительным объяснением каждого шага;

2. № 165 б) объяснение дается в ходе решения;

3.  sinx + cos x=0 объяснение дается в ходе решения;

4.  sin ²x+14sinx*cosx-15cos²x=0 решается с подробным предварительным объяснением каждого шага.

7. Этап информации учащихся о домашнем задании.

Задачи: сообщить учащимся домашнее задание, дать краткий инструктаж по его выполнению.

1. просмотреть записи в тетради;

2. разобрать решение примеров № 1 – 6 из учебника, стр. 78 – 79.

3. выполнить № 167а), б); № 168 б); №169а); №170в).

4. сильные учащиеся, вместо № 167, 168, могут решить уравнение:

15*(  sin ²x+sin x+  cos ² 2x)²+17+31sinx

8.Этап всесторонней проверки знаний.

Задачи: всесторонне проверить знания учащихся при решении уравнений, аналогичных рассмотренным на уроке, формировать умение самоанализа и контроля.

СФН (самостоятельная работа по формированию навыков).

Решите уравнения.

1 вариант.

1. Sin x+ cos x=0

2. 2 sin²x-5sin x-3=0

3. 2sin²x-9sinx*cosx+7cos²x=0

2 вариант

1. - sin x+cosx=0

2. 2cos²x-5cosx+2=0

3. 2 cos²x-3sinx*cosx+sin²x=0

3 вариант

1. sinx+cos x=0;

2. ²x;

3. ²x+3sinx*cosx-2 cos²x=0

4 вариант

1. Sin x+ cos x=0

2. ²x+9sinx+7=0

3. ²x-4 sinxcos x-cos²x=0

9. Подведение итогов. Рефлексия.