Тригонометрическая функция

Тригонометрическая функция

• Тригонометрические функции  представляют собой элементарные функции, аргументом которых является  угол . С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в  прямоугольном треугольнике . Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций ( ряда Фурье ). Данные функции часто появляются при решении  дифференциальных  и функциональных уравнений.

• К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций:  синус ,  косинус ,  тангенс , котангенс ,  секанс  и  косеканс . Для каждой из указанных функций существует  обратная тригонометрическая функция .
• Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью  единичного круга . На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r=1. На окружности обозначена точка M(x,y). Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси Ox равен α.

• Синусом  угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r:  sinα=y/r.  Поскольку r=1, то синус равен ординате точки M(x,y).
• Косинусом  угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r:  cosα=x/r 
• Тангенсом  угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к ee абсциссе x:  tanα=y/x,x≠0 

• Котангенсом  угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y:  cotα=x/y,y≠0 
• Секанс  угла α − это отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y):  secα=r/x=1/x,x≠0 
• Косеканс  угла α − это отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y):  cscα=r/y=1/y,y≠0 
• В единичном круге проекции x, y точки M(x,y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x,y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:  Синусом  угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.  Косинусом  угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.  Тангенсом  угла α называется противолежащего катета к прилежащему.  Котангенсом  угла α называется прилежащего катета к противолежащему.  Секанс  угла α представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету.  Косеканс  угла α представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету.

• График функции синус   y=sinx, область определения: x∈R, область значений: −1≤sinx≤1 

• График функции косинус   y=cosx, область определения: x∈R, область значений: −1≤cosx≤1 

• График функции тангенс   y=tanx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений: −∞

• График функции котангенс   y=cotx, область определения: x∈R,x≠kπ, область значений: −∞

• График функции секанс   y=secx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений:secx∈(−∞,−1]∪[1,∞) 

• График функции косеканс   y=cscx, область определения: x∈R,x≠kπ, область значений: cscx∈(−∞,−1]∪[1,∞)