Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

1) Закрепление и обобщение теории комплексных чисел (ответить на вопросы и задания, записать ответы).

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ:

1) Какие формы может иметь комплексное число?

2) Какой вид имеет алгебраическая форма комплексного числа?

3) Назовите значения a и b для комплексных чисел: 3+і, -1+6і; -2-і, -9, 4і.

4) Что собой представляет геометрическая форма комплексного числа?

5) В какой четверти располагаются точки, которые соответствуют комплексным числам 2+3і, -2+7і, -4-8і, 5-9і?

6) Назовите комплексные числа, сопряженные числам: 6-3і, -2+5і.

7) Какие алгебраические действия удобно выполнять с комплексными числами в алгебраической форме?

8) Как сложить или вычесть два комплексных числа?

9) Как умножить два комплексных числа?

10) Как разделить два комплексных числа?

11) Выполнить действия с комплексными числами -2 + 3і и 4 - 6і.

2) Мотивация изучения нового материала (ознакомиться).

Сегодня мы определим два основных понятия для комплексных чисел, которые позволят нам представить комплексное число в тригонометрической и показательной формах.

3) Изучение нового материала. Модуль комплексного числа (изучить и записать в конспект).

Определение. Модулем комплексного числа а + bі называется выражение , которое обозначается r или | а + bі |.

Пример 1. Найдите модуль для комплексных чисел 2+3і, -1-4і, 5і, + і.

Решение.

_r = | 2+3і | = _{= (приближенно не извлекаем).}

r = | -1-4і | = = (приближенно не извлекаем).

r = | 5і | = = = 5.

r = | і | = = = 2.

Пример 2. Найдите модуль для комплексных чисел 3-2і, -5+і, 3, - і. Решить самостоятельно.

4) Изучение нового материала. Аргумент комплексного числа (изучить и записать в конспект).

Определение. Угол φ между осью Ох и отрезком ОМ (смотри рисунок в определении модуля), где точка М изображает комплексное число а + bі, называется аргументом комплексного числа а + bі.

Каждое отличное от нуля комплексное число имеет бесконечное количество аргументов, которые отличаются друг от друга на 2πk. Для числа 0 аргумент не определен.

Для нахождения аргумента комплексного числа удобно пользоваться следующим алгоритмом:

1) необходимо найти значение α = arctg | |

2) если геометрическая форма комплексного числа находится в I четверти, то φ = α;

если во II, то φ = π - α;

если в III, то φ = π + α;

если в IV, то φ = 2π- α.

Пример 3. Найдите аргумент комплексного числа 2-2і.

Решение.

Для решения данного задания по алгоритму нам необходимо вспомнить таблицу значений тригонометрической функции tg и понимать в какой четверти будет находиться точка, соответствующая нашему числу.

Сначала проанализируем условие задания и выберем необходимую информацию:

2-2і, a = 2, b = -2, IV четверть (если по ОХ положительное число, а по ОУ отрицательное число, то это IV четверть)

1) α = arctg | | = arctg | | = arctg 1 =

2) φ = 2π- α = 2π- = .

Пример 4. Найдите аргумент комплексного числа -і. Решить самостоятельно.

Если комплексное число имеет неполную форму (а=0 или b=0), то аргумент можно найти, пользуясь геометрической формой комплексного числа и определением аргумента.

Можно просто запомнить 4 случая:

1) Если комплексное число имеет вид а и а , то = 0.

2) Если комплексное число имеет вид а и а , то = .

3) Если комплексное число имеет вид b и b , то = .

4) Если комплексное число имеет вид b и b , то = - .

Пример 5. Найдите модуль и аргумент для чисел -6, 5і.

Решение.

Возьмём комплексное число -6.

Найдём модуль:

r = | -6 | = 6.

Найдём аргумент. Нам подходит 2 случай:

= .

Возьмём комплексное число 5і.

Найдём модуль:

r = | 5і | = 5.

Найдём аргумент. Нам подходит 3 случай:

= - .

5) Изучение нового материала. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа (изучить и записать в конспект).

Любое комплексное число, кроме нуля, можно представить в тригонометрической и показательной формах по формуле:

а + bі = r ∙ ( + і ∙ ) = r ∙ (1)

Пример 6. Представьте комплексное число 2-2і в тригонометрической и показательной формах.

Решение.

Для того, чтобы выполнить данное задание по формуле (1) нам необходимо найти модуль r и аргумент φ данного числа, а затем применить формулу (1).

Проанализируем условие:

2-2і, a = 2, b = -2, IV четверть.

Сначала найдем модуль r

r = | 2-2і | = = .

Теперь по алгоритму найдем аргумент φ (мы уже его находили):

1) α = arctg | | = arctg | | = arctg 1 =

2) φ = 2π- α = 2π- = .

Теперь запишем формулу, подставляя найденные значения:

2 - 2і = ∙ ( + і ∙ ) = ∙ . Ничего упрощать не надо.

Пример 7. Представьте комплексное число 1+і в тригонометрической и показательной формах. Решить самостоятельно.

6) Домашнее задание.

Изучить и записать конспект лекции, найдите модуль и аргумент для чисел -1 - і, -3і.