Тригонометрические функции

Исследование тригонометрических функций на четность

y = sin x . Функция нечетная.

y(-x) = sin (-x) = - sin x = - y(x).

y = cos x . Функция четная.

y(-x) = cos (-x) = cos x = y(x).

y= tg x. Функция нечетная.

y(-x) = tg (-x) = - tg x = - y(x).

y= ctg x . Функция нечетная.

y(-x) = ctg (-x) = - ctg x = - y(x).

Периодичность тригонометрических функций .

y = sin x . Период Т = 2 π. (y = cos x. Т = 2 π)

Доказательство .

1) (x ± 2 π )  D(y).

2) y(x + 2 π ) = sin (x + 2 π ) = sin x = y (x).

3) y(x - 2 π ) = sin (x - 2 π ) = sin x = y (x).

4) y(x ± 2 π ) = y (x). Следовательно, Т = 2π.

(Для функции y = cos x доказательство аналогично)

Периодичность тригонометрических функций.

y = tg x . Период Т = π. (y = сtg x . Т = π).

Доказательство .

1) (x ± π )  D(y).

2) y(x + π ) = tg (x + π ) = tg x = y (x)

3) y(x - π ) = tg(x - π ) = tg x = y (x).

4) y(x ± π ) = y (x). Следовательно, Т = π.

(Для функции y = ctg x доказательство аналогично)

Монотонность тригонометрических функций.

y = cosх.

Функция возрастает на [ π+ 2πn; 2π+ 2πn], n  Z,

убывает на [ 2πn; π+ 2πn], n  Z.

Доказательство. 1) При повороте

точки (1; 0) вокруг начала координат против

часовой стрелки на угол от 0 до π π (1; 0 ) 0

абсцисса точки, т.е cos x, -1 1

уменьшается от 1 до -1. Поэтому если

0 ≤ Х1 cos Х2.

Это означает, что функция y = cos x убывает на [ 0; π].

2) Функция y = cos x возрастает на [ -π; 0], т.к. она убывает на

[0; π] и является четной.

3) Т.к. функция периодическая с периодом Т = 2π, то она возрастает на

[ π+ 2πn; 2π+ 2πn], n  Z, убывает на [ 2πn; π+ 2πn], n  Z .

Монотонность тригонометрических функций .

y = sin x.

Функция возрастает на [- π / 2 + 2πn; π / 2 + 2πn], n  Z ,

убывает на [ π / 2 + 2πn; 3π / 2 + 2πn], n  Z.

Доказательство. 1) При повороте 1 π / 2

точки вокруг начала координат против

часовой стрелки на угол от - π / 2

до π / 2 ордината точки, т.е sin x,

увеличивается от -1 до 1. Поэтому если