Тригонометрические функции 8-9 класс

Синус и косинус острого угла

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего к этому углу катета к гипотенузе. Синус угла А обозначается sin A .

Кос инусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение п ри лежащего к этому углу катета к гипотенузе. Кос инус угла А обозначается cos A .

По определению,

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Тангенс и котангенс острого угла

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего к этому углу катета к прилежащему.Тангенс угла А обозначается tg A .

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего к этому углу катета к противолежащему. Котангенс угла А обозначается с tg A .

По определению,

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Тригонометрические функции

Синус, косинус, тангенс и котангенс называют тригонометрическими функциями острого угла.

Из определения тригонометрических функций следует:

1) катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус противолежащего угла;

2) катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус прилежащего угла;

3) катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс противолежащего угла;

4) катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на котангенс прилежащего угла.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 1

Что называется синусом острого угла прямоугольного треугольника?

Ответ: Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего к этому углу катета к гипотенузе.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 2

Как обозначается синус угла A ?

Ответ: Синус угла А обозначается sin A .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 3

Что называется косинусом острого угла прямоугольного треугольника?

Ответ: Кос инусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение п ри лежащего к этому углу катета к гипотенузе.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 4

Как обозначается косинус угла A ?

Ответ: Кос инус угла А обозначается cos A .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 5

Что называется тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

Ответ: Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего к этому углу катета к прилежащему.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 6

Как обозначается тангенс угла A ?

Ответ: Тангенс угла А обозначается tg A .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 7

Что называется котангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

Ответ: Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего к этому углу катета к противолежащему.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 8

Как обозначается котангенс угла A ?

Ответ: Котангенс угла А обозначается c tg A .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 9

Что называется тригонометрическими функциями острого угла?

Ответ: Т ригонометрическими функциями острого угла называются с инус, косинус, тангенс и котангенс .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 10

Чему равен катет, лежащий против угла в 30 о ?

Ответ: Катет, лежащий против угла в 30 о равен половине гипотенузы.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 1

Найдите значения тригонометрических функций угла в 3 0 о .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 2

Найдите значения тригонометрических функций угла в 45 о .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 3

Найдите значения тригонометрических функций угла в 60 о .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 4

Найдите значения тригонометрических функций угла AOB , изображенного на рисунке .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

17

Упражнение 5

Найдите значения тригонометрических функций угла AOB , изображенного на рисунке .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 6

Найдите значения тригонометрических функций угла AOB , изображенного на рисунке .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 7

Найдите значения тригонометрических функций угла AOB , изображенного на рисунке .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 8

Найдите значения тригонометрических функций угла AOB , изображенного на рисунке .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 9

На клетчатой бумаге изобразите угол, тангенс которого равен: а) 1; б) 0,5; в) 2; г) 3.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 10

От луча OA отложите угол, тангенс которого равен: а) 1 /2 ; б) 1/3 ; в) 2.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 11

Может ли синус (косинус) угла быть равен ?

Ответ: Нет, значения синуса и косинуса меньше единицы .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 12

Может ли тангенс (ко тангенс ) угла быть равен ?

Ответ: Да .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 1 3

Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 5 см. Найдите все тригонометрические функции его меньшего угла A .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 1 4

В треугольнике ABC угол C равен 90 о , CH – высота, AC = 5, AH = 4. Найдите :

а) sin B ;

б) cos B .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а ) 0,8 .

б ) 0, 6.

Упражнение 1 5

В треугольнике ABC угол C равен 90 о , CH – высота, BC = 5, BH = 3. Найдите :

а) sin A ;

б) cos A .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а) 0,6 ;

б) 0, 8 .

Упражнение 1 6

В треугольнике ABC угол C равен 90 о , AC = 5, высота CH равна 3. Найдите sin B .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 0,8.

Упражнение 1 7

В треугольнике ABC угол C равен 90 о , BC = 5, высота CH равна 4. Найдите sin A .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 0,6.

Упражнение 1 8

Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 8 см, основание равно 12 см. Найдите синус и косинус угла A при основании треугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 19

В треугольнике ABC AC = BC = 5, AB = 8. Найдите tg A .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 0,75.

Упражнение 20

В треугольнике ABC AC = BC , AB = 5, высота AH равна 4. Найдите sin A .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 0,8.

Упражнение 2 1

В треугольнике ABC AC = BC , AB = 5, высота AH равна 4. Найдите cos A .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 0,6.

Упражнение 2 2

В треугольнике ABC AC = BC , AB = 5, AH – высота, BH = 3. Найдите cos A .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 0,6.

Упражнение 2 3

В треугольнике ABC AC = BC , AH – высота, sin A = 0,8. Найдите косинус угла BAH .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 0,8.

Упражнение 2 4

В треугольнике ABC AC = BC , AH – высота, sin A = 0,8. Найдите синус угла BAH .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 0,6.

Упражнение 2 5

В треугольнике ABC AB = BC , AC = 10, CH – высота, AH = 8. Найдите sin C .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 0,6.

Упражнение 26

В треугольнике ABC AB = BC , CH - высота, sin C = 0,4. Найдите косинус угла ACH .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 0,4.

Упражнение 27 *

Найдите синус угла в 18 о .

Решение. Рассмотрим золотой треугольник ABC , у которого угол C равен 36 о . Проведем высоту CH .

Если AC = 1, то AH = .

Следовательно, sin 18 о =

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 28 *

Найдите синус угла в 54 о .

Решение. Рассмотрим золотой треугольник ABC , у которого угол C равен 108 о . Проведем высоту CH . Если AC = 1, то

AH = Следовательно,

sin 54 о =

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 29 *

Найдите ко синус угла в 18 о .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 30 *

Найдите ко синус угла в 54 о .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 31

Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800 м. Затем повернул на север и прошел 600 м. Под каким углом к направлению на запад он должен идти, чтобы вернуться домой? В ответе укажите целое число градусов. (Используйте таблицу тригонометрических функций.)

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 37 о .

Упражнение 32

Грибник, войдя в лес, в течение двух часов шел в направлении на север, а затем с той же скоростью в течение полутора часов – на восток. Под каким углом к направлению на юг он должен идти, чтобы вернуться к месту, где он вошел в лес? В ответе укажите целое число градусов. (Используйте таблицу тригонометрических функций.)

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 37 о .

Упражнение 33

Маятник AB длиной 50 см отклонили от положения равновесия на расстояние CD , равное 12 см. Используя таблицу тригонометрических функций, найдите угол, который образует новое положение AC маятника с положением равновесия AB

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 14 о .

Упражнение 34

Горная железная дорога поднимается на 1 м на каждые 30 м пути. Используя таблицу тригонометрических функций, найдите угол подъема в градусах. В ответе укажите приближенное значение, выражаемое целым числом градусов.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 2 о .

Упражнение 35

Человек, пройдя вверх по склону холма 1000 м, поднялся на 90 м над плоскостью основания холма. Используя таблицу тригонометрических функций, найдите (в среднем) угол наклона холма в градусах. В ответе укажите приближенное значение, выражаемое целым числом градусов.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 5 о .

Упражнение 36

Использую таблицу тригонометрических функций, найдите приближенное значение угла, под которым виден столб высотой 3 м, находящийся от наблюдателя на расстоянии 100 м. В ответе укажите целое число градусов.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 2 о .

Упражнение 37

Высота башни главного здания МГУ имени М.В. Ломоносова равна 240 м. Под каким углом видна эта башня с расстояния 200 м? В ответе укажите приближенное значение, равное целому числу градусов.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 50 о .

Упражнение 38

Высота Останкинской телевизионной башни – 540 м. Используя таблицу тригонометрических функций, найдите угол в градусах, под которым видна башня с расстояния 2000 м.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 15 о .

Упражнение 39

Строение высоты 30 м бросает тень длиной 45 м. Используя таблицу тригонометрических функций, найдите угол наклона солнечных лучей. В ответе укажите приближенное значение, выражаемое целым числом градусов.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 34 о .

Упражнение 40

Используя таблицу тригонометрических функций, найдите угол наклона солнечных лучей, если длина тени стоящего человека в два раза меньше его роста. В ответе укажите приближенное значение, выражаемое целым числом градусов.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 64 о .

Упражнение 41

Лестница имеет ступеньки, ширина которых равна 30 см, а высота – 18 см. Используя таблицу тригонометрических функций, найдите угол подъема лестницы. В ответе укажите приближенное значение, выражаемое целым числом градусов.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 31 о .

Упражнение 42

Ширина дачного домика равна 6 м, ширина одного ската его двускатной крыши равна 5 м. Используя таблицу тригонометрических функций, найдите угол между стропилами крыши и потолком.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 53 о .

Упражнение 43

Ширина футбольных ворот равна 8 ярдам. Расстояние от 11-метровой отметки до линии ворот равно 12 ярдам. Найдите угол, под которым видны ворота с 11-метровой отметки. В ответе укажите целое число градусов.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 37 о .

A

sin A

A

tg A

sin A

A

tg A

sin A

tg A

Таблица тригонометрических функций

1,73

0,87

0,58

60 о

0,50

0,0087

0,0087

30'

30 о

1,80

0,87

61 о

0,60

0,52

0,0175

1 о

0,0175

31 о

1,88

0,88

0,62

62 о

0,53

0,035

0,035

2 о

32 о

1,96

0,89

63 о

0,65

0,54

0,05

3 о

0,05

33 о

2,02

0,90

64 о

0,68

0,56

0,07

4 о

0,07

34 о

2,15

0,91

65 о

0,70

0,57

0,09

5 о

0,09

35 о

2,25

0,91

0,73

66 о

0,59

0,10

6 о

0,11

36 о

2,36

0,92

67 о

0,75

0,60

0,12

7 о

0,12

37 о

2,48

0,93

68 о

0,78

0,62

0,14

8 о

0,14

38 о

2,61

0,93

69 о

0,81

0,63

0,16

9 о

0,16

39 о

2,78

0,94

70 о

0,84

0,64

0,17

10 о

0,18

40 о

2,90

0,95

71 о

0,87

0,66

0,19

11 о

0,19

41 о

3,08

0,95

72 о

0,9

0,67

0,21

12 о

0,21

42 о

3,27

0,96

73 о

0,93

0,68

0,23

13 о

0,23

43 о

3,49

0,96

74 о

0,97

0,69

0,24

14 о

0,25

44 о

1,00

3,73

0,97

75 о

0,71

15 о

0,26

0,27

45 о

4,01

0,97

76 о

1,04

0,72

0,28

16 о

0,29

46 о

4,33

0,97

77 о

1,07

0,73

0,29

17 о

0,31

47 о

4,71

0,98

78 о

1,11

0,32

0,74

48 о

0,31

18 о

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

0,33

19 о

5,15

0,98

79 о

1,15

0,75

49 о

0,34

1,19

5,67

80 о

0,98

0,36

0,77

0,34

20 о

50 о

6,31

0,99

81 о

1,23

0,78

0,36

21 о

0,38

51 о

7,12

0,99

1,28

82 о

0,37

22 о

0,79

0,40

52 о

8,14

0,992

83 о

1,33

0,80

53 о

0,42

0,39

23 о

9,51

0,994

84 о

1,38

0,81

0,41

24 о

0,45

54 о

1,43

11,43

0,996

85 о

55 о

0,47

0,42

0,82

25 о

86 о

1,48

0,998

14,30

56 о

0,44

26 о

0,83

0,49

1,54

19,08

0,999

87 о

57 о

0,51

0,45

0,84

27 о

1,60

28,64

1,00

88 о

0,47

0,85

28 о

58 о

0,53

1,66

57,29

1,00

89 о

0,86

59 о

0,55

0,48

29 о

57