Тригонометрические уравнения

Методическая разработка урока

«Решение тригонометрических уравнений»

Автор : учитель математики

Цоктоева В.Б..

2019 г.

Введение

В курсе математике тема тригонометрические уравнения является одной из сложных тем. Многие задачи по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях сводятся к решению тригонометрических уравнений. Важное отличие тригонометрических уравнений от алгебраических состоит в том, что в алгебраических уравнениях конечное число корней, а в тригонометрических -бесконечное, что сильно усложняет отбор корней. Еще одной спецификой тригонометрических уравнений является не единственность формы записи ответа.

В данной разработке рассмотрены различные методы решения тригонометрических уравнений

На данном занятии используются :

– понятие простейших тригонометрических уравнений;

– формулы корней простейших тригонометрических уравнений и их частные случаи;

– методы решения уравнений приводящие к простейшим уравнениям (применение формул сокращенного умножения; разложение на множители, приведение к квадратному уравнению).

Цель: рассмотреть общие решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения.

Задачи :

Образовательные:

- актуализировать знания по решению тригонометрических уравнений;

- закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;

- познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

Развивающие:

продолжать формирование личностных качеств обучающихся: памяти, речи, наблюдательности. Продолжать формирование мыслительной деятельности: анализировать полеченный материал, выделять главное, делать выводы.

Воспитательные:

умение работать в коллективе, нравственное через соблюдение моральных норм поведения, трудовое через оформление записей в тетради.

Тип урока: комбинированный

Оборудование и средства обучения : презентация, доска, формулы, учебник, карточки.

Ход урока:

1. Организационный момент. - 2 мин.

2. Актуализация опорных знаний. Повторение. – 12 мин.

3. Целеполагание. – 1 мин.

4. Восприятие и осмысливание новых знаний. – 3 мин.

5. Применение приобретённых знаний. – 20 мин.

6. Домашнее задание. – 1 мин.

1. Организационный момент.

Учитель: Здравствуйте, садитесь! Сегодня мы проводим урок обобщения по теме «решения тригонометрических уравнений». Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах по экзамену.

2.Актуализация опорных знаний. Повторение.

Устная работа, первое задание - решить уравнения:

На экране проецируется задание, затем сверяются с ответами.

Следующее задание – используя основные формулы тригонометрии, упростите выражение:

На экране проецируется задание, затем сверяются с ответами

Следующее задание – перед вами уравнения, распределите их по известным видам и методам решения, занесите в таблицу номера уравнений, работа по номерам с самопроверкой

На экране проецируется задание, затем сверяются с ответами, выставляются оценки за первое задание

На экране проецируется задание.

3. Целеполагание

Говорят, алгебра держится на четырех китах: уравнение, число, тождество, функция. Сегодня мы поговорим с вами об одном из фундаментов алгебры – уравнениях. С уравнениями вы встречаетесь с начальной школы. Умеете их решать различными методами. Одно из замечательных качеств математика-исследователя – любознательность. Вот он что – то сделал, и сделала неплохо. Можно успокоиться. Но нет! А что если попробовать сделать по -другому? А что будет, если… А быть может, вот так… А нельзя ли этот способ, метод решения применить в других обстоятельствах?

Тема нашего занятия – решение тригонометрических уравнений.

Цель - рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения, кроме того, познакомить с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

Ззадача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.

В начале урока мы вспомнили решение линейных и квадратных уравнений, основные формулы тригонометрии.

Далее работаем так: повторим числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомним формулы решения простейших тригонометрических уравнений. Решим тригонометрические уравнения по известным алгоритмам( однородные, вида A sinx + В cosx = С). После проведем разноуровневую проверочную работу, задания которой будете выбирать самостоятельно, учитывая свои знания, умения и навыки. Проверим решения, и выставим оценки.

4. Восприятие и осмысливание знаний. (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

Задачи: обеспечивать развитие умений и навыков: умение анализировать, синтезировать, сравнивать, обобщать, выбора разноуровневого задания: Давайте вспомним классификацию тригонометрический уравнений и ваша задача расставить номера уравнений по классификации.

№ 2,4,6,7,8,11 №1,5,10 №3,9,12

1.Решение алгебраических уравнений заключается в том, что все тригонометрические функции, которые входят в уравнение,

выражают через какую-нибудь одну тригонометрическую функцию, зависящую от одного и того же аргумента.

2.Решение однородных уравнений (уравнения, в которых у всех слагаемых сумма показателей одинакова) и приводимых к ним сводится к решению алгебраических относительно tgx путём деления обеих частей уравнения на cosx≠0 и cos² x≠0 соответственно.

3. Решение с помощью разложения на множители сводится к решению двух элементарных уравнений.

10. 1 – 3sinx*cosx – 5cos²x = 0

11. 2sin² 2x + 5 sin2x – 3 = 0

12. sin5x + sinx = √2 sin3x

А теперь вспомним определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Учащиеся дают определения обратных тригонометрических функций, обращая внимание на область определения и множество значений.

Выполняем работу самостоятельно и делаем самопроверку и выставляем оценку за второе здание. Вычислите:

На экране проецируется задание.

Теперь перейдем к решению простейших тригонометрических уравнений. Напомните, пожалуйста, формулы решения уравнений вида sinx =а, cosx = а, tg х=а.

Студенты называют формулы решения уравнений

Рассмотрим некоторые методы решения тригонометрических уравнений.

Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.

тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным:

A sin² х + В sin х + С =0 или

A sin² х + В cos х + С =0

Решим уравнение:

sin² х + 5 sin х - 6 =0.

Вводим новую переменную sin х = z, решаем полученное квадратное уравнение и находим корни.

z² + 5 z - 6 = 0, z₁ = 1; z₂ = -6

Делаем обратную замену, и решаем простейшие уравнения

sin х = 1 , х = π/2 +2 π k, k Z.

sin х = - 6 не имеет решения, так как -6 не принадлежит не принадлежит [-1; 1]

При решении уравнения вида A sin² х + В cos х + С =0 вводим замену sin² х = 1 - cos² х, а затем решаем уравнение способом, аналогичным предыдущему.

Решите уравнение 2 sin² х + 3 cos х -3 =0.

Вводим замену sin² х = 1 - cos² х, получаем

2 (1 - cos² х) +3 cos х -3 =0.

- 2 cos² х + 3 cos х - 1 = 0 | (-1)

2 cos² х - 3 cos х + 1 = 0

Замена cos х= t

Решаем квадратное уравнение и находим корни 2 t ² - 3t +1 = 0,

t₁ = 1; t₂ = 0,5

Делаем обратную замену и решаем простейшие уравнения

cos х = 1 , х = 2 π k, k Z.

cos х = 0,5 , х = ± arccos 0,5+ 2π n, n Z.

5. Применение знаний.

А теперь выберите одно из предложенных уравнений и самостоятельно решите его, далее сделаем проверку и выставим оценки.

На экране проецируется задание.

7. Рефлексия.

Обсуждение результатов индивидуальной работы.

Задачи: дать качественную оценку работы каждого ученика по выполнению самостоятельной работы.

Оцениваем свою работ, самостоятельно выполнили 3 упражнений:

1 – находили значения тригонометрических функций;

2 – находили значения обратных тригонометрических функций;

3 – решение уравнений по известным алгоритмам;

Найдите среднее арифметическое всех выставленных оценок, округлите результат, и эти оценки я выставляю в журнал.

Пояснение к домашнему заданию.

сообщить учащимся о домашнем задании, обеспечить понимание цели, содержания и способов решения.

«3» 3 sin x+ 5 cos x = 0

5 sin² х - 3 sinх cos х - 2 cos²х =0

«4» 3 cos²х + 2 sin х cos х =0

5 sin² х + 2 sinх cos х - cos²х =1

«5» 2 sin x - 5 cos x = 3

1- 4 sin 2x + 6 cos²х = 0

Подведем итоги занятия. Сегодня вспомнили числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения. Я думаю, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения. И у меня появилась уверенность, что с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.

Фронтальным опросом подводится итог урока:

- Что нового узнали на уроке?

- Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?

- Испытывали ли вы затруднения при выборе самостоятельной работы?

- Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?

- Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?