Тригонометрические уравнения в заданиях ЕГЭ по математике профильного уровня

Тригонометрические уравнения в заданиях ЕГЭ по математике профильного уровня

Гринько Любовь Ивановна, учитель математики областного государственного бюджетного общеобразовательного учреждения «Шебекинская средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов»

Белгородской области

• Анализируя результаты ЕГЭ по математике, нужно отметить, что многие учащиеся не приступают к выполнению заданий из группы С, а если выполняют, то часто допускают ошибки. Причин здесь много. Одна из них недостаточное количество самостоятельно прорешенных заданий, не анализируются допущенные ошибки, и как правило полученные знания поверхностные, так как в основном рассматриваются только однотипные задания, и методы решений только стандартные.

Задание №13 ЕГЭ профильного уровня

Решение тригонометрических уравнений

Для тригонометрических уравнений применимы общие методы решения (разложение на множители, замена переменной, функционально-графические) и равносильные преобразования общего характера.

1. Квадратные уравнения относительно тригонометрической функции

2. Однородные уравнения

3. Разложение на множители

0. Поэтому уравнение sinx=0 не имеет решений, удовлетворяющих ОДЗ, а в уравнении ctgx=1 подходит только π/4 +2πк Эти уравнения всегда вызывали затруднение. ВНИМАНИЕ! Корень четной степени, логарифм, дробь, тангенс, котангенс " width="640"

Тригонометрические уравнения с ограничениями (исследование ОДЗ)

• В этом уравнении очевидным ограничением является sinx≥0, но в уравнении присутствует котангенс, значит, sinx0. Поэтому уравнение sinx=0 не имеет решений, удовлетворяющих ОДЗ, а в уравнении ctgx=1 подходит только π/4 +2πк

• Эти уравнения всегда вызывали затруднение.
• ВНИМАНИЕ! Корень четной степени, логарифм, дробь, тангенс, котангенс

0, а дальше можно допустить следующие ошибки при определении ограничений:√2cosx≠1, sinx≠0 " width="640"

Тригонометрические уравнения с ограничениями (исследование ОДЗ)

• В этом уравнении очевидным ограничением является cosx0, а дальше можно допустить следующие ошибки при определении ограничений:√2cosx≠1, sinx≠0

• В задании 13 ЕГЭ по математике профильного уровня требуется решить уравнение и осуществить отбор его корней, удовлетворяющих некоторому условию.

• Отбор корней является дополнительным пунктом условия задачи или логически вытекает из структуры самого уравнения. И опыт показывает, что отбор корней как раз и представляет собой определенную трудность для учащихся.

Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях

Арифметический

Геометрический

Алгебраический

Функционально-графический

Арифметический способ

перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.

Недостатки: большой объем вычислений, частые вычислительные ошибки, потеря корней.

Найдите все корни уравнения принадлежащие промежутку

Если n= 0 ,то

Если n= 1 ,то

Если n=- 1 ,то

Если n=- 2 ,то

или

Если n= -1 , то

или

Если n= 0 , то

или

Если n= 1 , то

или

Алгебраический способ

а) решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней;

б) исследование уравнения с двумя целочисленными параметрами .

Подходит при отличном от х аргументе

Недостатки: большой объем вычислений, требует умение работы с неравенствами относительно неизвестного целочисленного параметра.

Найдём все «неподходящие» n.

Все «неподходящие» n

Итак,

Ответ:

Геометрический способ:

а) изображение корней на тригонометрической окружности с последующим их отбором на заданном промежутке;

б) изображение корней на координатной прямой с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений.

Быстрый отбор корней, небольшой объем вычислений

Однако учащиеся плохо знают окружность.

y

1

0 рад

-1

0,5

0

1

14

Решить уравнение

Укажите корни, принадлежащие отрезку

.

14

Разделим на cos 2 x; cos 2 x≠0.

14

?

y

1

1

0

-1

x

-1,5

24

Функционально-графический

способ

выбор корней с использованием графика простейшей тригонометрической функции.

Самый сложный для учащихся способ, необходимо не только умение строить графики тригонометрических функций, но и решать уравнения и неравенства графическим способом.

y

y = sin x

1

y=0,5

x

0

− 1

Некоторые рекомендации по решению тригонометрических уравнений для учащихся

• Помним про область допустимых значений уравнения!  Если в уравнении есть дроби, корни, логарифмы, тангенс и котангенс— сразу записываем ОДЗ.
• Если есть возможность сделать замену переменной — делаем замену переменной!  Уравнение сразу станет проще.
• Если еще не выучили формулы тригонометрии — пора это сделать!  Много формул не нужно. Самое главное — тригонометрический круг, формулы синусов и косинусов двойных углов, синусов и косинусов суммы (разности), понижения степени. Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо знать, как они получаются.
• Научись отбирать корни на окружности и алгебраическим способом. Этих способов достаточно, чтобы справиться с пунктом б задания №13