«ТРИГОНОМЕТРИЯ В РЕАЛЬНОЙ ЖИЗНИ» информационный проект

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ГИМНАЗИЯ №1»

«ТРИГОНОМЕТРИЯ В РЕАЛЬНОЙ ЖИЗНИ»

информационный проект

Выполнил:

Краснов Егор

ученик 9А класса

Руководитель:

Бородкина Татьяна Ивановна

Железногорск

2018

Содержание

1. Введение………………………………………………………..……3

2. Актуальность………………………………………………….3

3. Цель……………………………………………………………4

4. Задачи………………………………………………………….4

1.4 Методы………………………………………………………...4

2.Тригонометрия и история её развития…...…………………………..5

2.1.Тригонометрия и этапы формирования….………………….5

2.2.Тригонометрия как термин. Характеристика……………….7

2.3.Возникновение синуса……………………….……………….7

2.4.Возникновение косинуса…………………….……………….8

2.5.Возникновение тангенса и котангенса……...……………….9

2.6 Дальнейшее развитие тригонометрии……...………………..9

3.Тригонометрия и реальная жизнь……………………..……………...12

3.1.Навигация……………………………..…………………….....12

3.2Алгебра….……………………………..…………………….....14

3.3.Физика….……………………………..…………………….....14

3.4.Медицина, биология и биоритмы.…..…………………….....15

3.5.Музыка…………………………….…..……………………....19

3.6.Информатика..…………………….…..……………………....21

3.7.Сфера строительства и геодезия.…………………………....22

3.8 Тригонометрия в искусстве и архитектуре………………..…....22

Заключение. ……………………………..…………………………..…..25

Список литературы.………………………….…………….……………27

Приложение 1 .…....………………………….…………….……………29

Введение

В современном мире значительное внимание уделяют математике, как одной из областей научной деятельности и изучения. Как мы знаем, одной из составляющих математики, является тригонометрия. Тригонометрия - это раздел математики, изучающий тригонометрические функции. Я считаю, что данная тема во первых, актуальна с практической точки зрения. Мы заканчиваем обучение в школе, и понимаем, что для многих профессий знание тригонометрии просто необходимо, т.к. позволяет измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Принципы тригонометрии, используются и в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

Во вторых, актуальность темы «Тригонометрия в реальной жизни» заключается в том, что знания тригонометрии откроют новые способы решения различных задач во многих областях науки и упростят понимание некоторых аспектов различных наук.

Издавна установилась такая практика, при которой школьники сталкиваются с тригонометрией три раза. Таким образом, мы можем сказать, что тригонометрия состоит из трех частей. Данные части взаимосвязаны, и зависят от времени. При этом, они абсолютно различны, не имеют похожих черт как по смыслу, который закладывается при объяснении основных понятий, так и по функциям.

Первое знакомство возникает в 8 классе. Это период, когда школьники изучают: «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника». В процессе изучения тригонометрии даётся понятие косинус, синус и тангенс.

Следующим этапом является продолжение знакомства с тригонометрией в 9 классе. Уровень сложности повышается, изменяются способы и методы решения примеров. Теперь, на место косинусов и тангенсов приходит окружность и ее возможности.

Последним этапом является 10 класс, в котором тригонометрия становится более сложной, изменяются способы решения задач. Вводится понятие радианной меры угла. Вводятся графики тригонометрических функций. На данном этапе ученики начинают решать и изучать тригонометрические уравнения. Но ни как не геометрии. Для полного понимания тригонометрии необходимо познакомится с историей ее возникновения и развития. После знакомства с исторической справкой и изучения деятельности работ великих деятелей, математиков и ученых, мы можем понять, каким образом тригонометрия влияет на нашу жизнь, как помогает создавать новые объекты, делать открытия.

Целью моего проекта является изучение влияния тригонометрии в жизни человека и развитие интереса к ней. После решения данной цели мы сможем понять, какое место тригонометрия занимает в нашем мире, какие практические задачи решает.

Для решения поставленной цели, мы определили следующие задачи:

1. Познакомится с историей становления и развития тригонометрии;

2. Рассмотреть примеры практического влияния тригонометрии в разных сферах деятельности;

3. Показать на примерах, возможности тригонометрии и ее применения в жизни человека.

Методы: Поиск и сбор информации.

1.Тригонометрия и история её развития

Что такое тригонометрия? Данный термин подразумевает под собой раздел в математике, который занимается изучением зависимости между различными величинами углов, изучает длины сторон треугольника и алгебраические тождества тригонометрических функций. Трудно представить, что данная область математики встречается нам в повседневной жизни.

1.1.Тригонометрия и этапы её формирования

Давайте обратимся к истории ее развития, этапам формирования. С древних времен тригонометрия набирала свои зачатки, развивалась и показывала первые результаты. Самые первые сведения о появлении и развитии данной области мы можем увидеть в рукописях, которые находятся в древнем Египте, Вавилоне, Древнем Китае. Изучив 56-ю задачу из папируса Ринда (II тысячелетие до н. э.), можно увидеть, что она предлагает найти наклон пирамиды, чья высота является высотой в 250 локтя. Длина стороны основания пирамиды равняется 360 локтям (рис.1). Любопытно, что египтяне в решении этой задачи использовали одновременно две системы измерения - «локти» и «ладони». Сегодня при решении этой задачи мы нашли бы тангенс угла: зная половину основания и апофему (рис.1).

Следующим шагом стал этап развития науки, который связан с астрономом Аристархом Самосскогим, проживавшим в III веке до н. э. Трактат, рассматривающий величины и расстояние Солнца и Луны, ставил перед собой определенную задачу. Она выражалась в необходимости определения расстояния до каждого небесного тела. Для того, чтобы произвести такие вычисления, требовалось посчитать отношения сторон прямоугольного треугольника при известном значении одного из углов. Аристарх рассматривал прямоугольный треугольник, образованный Солнцем, Луной и Землёй во время квадратуры. Для вычисления величины гипотенузы, которая выступала за основу расстояния от Земли до Солнца, используя катет, выступающий за основу расстояния от Земли до Луны, при известном значении прилежащего угла (87°), что эквивалентно вычислению значения sin угла 3. По оценке Аристарха, эта величина лежит в промежутке от 1/20 до 1/18. Это говорит о том, что расстояние от Солнца до Земли в двадцать раз больше, чем от луны до Земли. Однако, мы знаем, что Солнце в 400 раз дальше, чем местоположение Луны. Ошибочное суждение возникло из-за неточности в измерении угла.

 Несколько десятилетий спустя Клавдий Птоломей в собственных работах «Этногеография», «Аналемма» и «Планисферий» предоставляет детальное изложение тригонометрических дополнений к картографии, астрономии и механике. Из числа прочего, изображена стереографическая проекция, изучены ряд фактических вопросов, к примеру: установить высоту и угол небесного светила согласно его склонению и часовому углу. С точки зрения тригонометрии, это означает, что необходимо отыскать сторону сферического треугольника согласно другим 2 граням и противолежащему углу (рис.2)

В совокупности, можно отметить, что тригонометрия применялась с целью:

• четкого установления времени суток;

• вычисления предстоящего местоположения небесных светил, эпизодов их восхода и захода, затмений Солнца и Луны;

• нахождения географических координат текущего места;

• подсчета дистанции между мегаполисами с известными географическими координатами.

Гномон— древний астрономический механизм, вертикальный предмет (стела, колонна, шест), который позволяет с помощью наименьшей длины его тени в полдень определить угловую высоту солнца (рис.3).

Таким образом, котангенс представлялся нам как длина тени от вертикального гномона высотой 12 (иногда 7) единиц. Отметим, что в первоначальном варианте, данные определения использовались для расчёта солнечных часов. Тангенс представлялся тенью падающей от горизонтального гномона. Косеканс и секанс понимаются в качестве гипотенуз, которые соответствуют прямоугольным треугольникам.

1.2.Тригонометрия как термин. Характеристика

Впервые, конкретный термин «тригонометрия» встречается в 1505 г. Он был опубликован и использован в книге немецкого теолога и математика Бартоломеуса Питискуса. В то время, как наука уже использовалась для решения астрономических, архитектурных проблем.

Термин тригонометрия характеризуется греческими корнями. И состоит из двух частей: «треугольник» и «мера». Изучая перевод, мы можем сказать, что перед нами наука, изучающая изменения треугольников. Появление тригонометрии сопряжено с землемерением, астрономией и строительным процессом. Хотя название появилось относительно не так давно, многие относимые в настоящее время к тригонометрии определения и данные были известны ранее 2000 года.

1.3. Возникновение синуса

Длительную историю имеет представление синуса. По сути разнообразные взаимоотношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются ранее в 3 в. до н.э. в трудах знаменитых математиков Античной Греции — Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского. В римский промежуток времени данные взаимоотношения уже довольно регулярно изучались Менелаем (I в. н. э.), хотя и не получили особого названия. Современный синус угла α, например, изучается как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной α, или как хорда удвоенной дуги.

В последующий промежуток математика длительное время наиболее стремительно формировалась индийскими и арабскими учёными. В 4-5 веках возник, в частности, ранее особый термин в трудах по астрономии знаменитого индийского учёного Ариабхаты (476-ок. 550), именем коего назван первый индусский спутник Земли. Отрезок он назвал ардхаджива (ардха—половина, джива—тетива излом, которую напоминает ось). Позже привилось более сокращенное наименование джива. Арабскими математиками в IXв. термин джива (либо джиба) было заменено на арабское слово джайб (вогнутость). При переходе арабских математических текстов в XIIв. это слово было заменено латинскимсинус (sinus—изгиб) (рис.4).

1.4. Возникновение косинуса

Определение и возникновение термина «косинус» носит более кратковременный и недалекий характер. Под косинусом понимается «дополнительный синус» (или иначе «синус дополнительной дуги»; вспомните cosα= sin( 90° - a)). Интересным фактом является то, что первые способы решения треугольников, которые основаны на зависимости между сторонами и углами треугольника, найденные астрономом из Древней Греции Гиппархом во втором веке до нашей эры. Данным изучением также занимался Клавдий Птолемей. Постепенно, появлялись новые факты о зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами, начали применять новое определение - тригонометрическая функция.

Существенный вклад в формирование тригонометрии привнесли арабские эксперты Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который собрал таблицы синусов и тангенсов посредством 10’ с правильностью вплоть до 1/604. Теорему синусов ранее знали индийский профессор Бхаскара (р. 1114, год смерти безызвестен) и азербайджанский астролог и ученый Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Помимо этого, Насиреддин Туси в собственной работе «Труд о полном четырехстороннике» рассказал прямую и сферическую тригонометрию как независимую дисциплину (рис.4).

1.5. Возникновение тангенса и котангенса

Тангенсы возникли в взаимосвязи с заключением задачи об установлении длины тени. Тангенс (а кроме того котангенс) установлен в X веке аравийским арифметиком Абу-ль-Вафой, который составил и первоначальные таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Но данные открытия длительное время сохранились незнакомыми европейским ученым, и тангенсы были вновь открыты только в XIV веке германским арифметиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он аргументировал теорему тангенсов. Региомонтан составил также детальные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.

Обозначение «тангенс», происходившее от латинского tanger (касаться), возникло в 1583 г. Tangens переводится как «затрагивающий» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).
Дальнейшее формирование тригонометрия получила в работах выдающихся астрологов Николая Коперника (1473-1543) , Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а кроме того в трудах математика Франсуа Виета (1540-1603), который целиком решил проблему в определении абсолютно всех компонентов плоского либо сферического треугольника по трем данным (рис.4).

1.6 Дальнейшее развитие тригонометрии

Долгое время тригонометрия носила исключительно геометрический вид, т. е. данные, которые мы в настоящее время формулируем в определениях тригонометрических функций, формулировались и аргументировались с поддержкой геометрических понятий и утверждений. Такою, она существовала ещё в средние столетия, хотя иногда в ней применялись и аналитические способы, в особенности после возникновения логарифмов. Пожалуй, максимальные стимулы к формированию тригонометрии появлялись в взаимосвязи с решением задач астрономии, что давало огромный положительный интерес (например, с целью решения вопросов установления месторасположения корабля, прогноза затемнения и т. д.). Астрологов занимали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников. А арифметики древности успешно справлялись с поставленными вопросами.

Начиная с XVII в., тригонометрические функции стали применять к решению уравнений, вопросов механики, оптики, электричества, радиотехники, с целью отображения колебательных действий, распространения волн, перемещения разных элементов, для исследования переменного гальванического тока и т. д. По этой причине тригонометрические функции всесторонне и глубоко изучались, и получили существенное значение для целой математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, механике и другим приложениям математики. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее проще,

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией (в переводе – наука об измерении углов, от греческого gwnia - угол,  metrew- измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется.

2. Тригонометрия и реальная жизнь

Современное общество характеризуется постоянными изменениями, открытиями, созданием высокотехнологичных изобретений, улучшающих нашу жизнь. Тригонометрия встречается и взаимодействует с физикой, биологией, математикой, медициной, геофизикой, навигацией, информатикой.

Познакомимся по порядку с взаимодействием в каждой отрасли.

2.1.Навигация

Первым пунктом, объясняющим нам применение и пользу тригонометрии, выступает ее связь с навигацией. Под навигацией мы понимаем науку, целью которой является изучение и создание наиболее удобных и полезных способов навигации. Так, ученые разрабатывают несложные навигации, представляющие собой построение маршрута из одной точки в другую, его оценка и выбор лучшего варианта из всех предложенных. Данные маршруты необходимы мореплавателям, которые в течение своего путешествия сталкиваются с множеством трудностей, преград, вопросов по курсу движения. Также навигация необходима: летчикам, которые управляют сложными высокотехничными самолетами, ориентируются, порой в очень экстремальных ситуациях; космонавтам, чья работа связана с риском для жизни, с сложным построением маршрута и его освоением. Изучим более подробно следующие понятия и задачи. В качестве задачи можно представить следующее условие: мы знаем географические координаты: широту и долготу между пунктами А и В земной поверхности. Необходимо найти наиболее короткий путь между пунктами А и В вдоль земной поверхности (радиус Земли считается известным: R = 6371 км).

Мы можем также представить решение данной проблемы, а именно: вначале мы уточняем, что широтой пункта М земной поверхности называется величина угла, образованного радиусом ОМ, где О – центр Земли, с плоскостью экватора: ≤ , причем севру от экватора широта считается положительной, а к югу – отрицательной. За долготу пункта М мы возьмем величину двугранного угла, проходящего в плоскостях СОМ и СОН. Под С мы понимаем Северный полюс Земли. В качестве Н мы понимаем точку, отвечающую гринвичской обсерватории: ≤ ( к востоку от гринвичского меридиана долгота считается положительной, к западу – отрицательной). Как мы уже знаем, самым коротким расстоянием между пунктами А и В земной поверхности представляется длиной наименьшей из дуг большой окружности, которая соединяет А и В. Данный вид дуги мы можем назвать ортодромией. Переводя с греческого, данный термин понимается прямым углом. Из-за этого нашей задачей является определением длины стороны АВ сферического треугольника АВС, где под С понимается северный полис.

Интересным примером можно описать следующее. При создании маршрута мореходцами, необходимо точная и кропотливая работа. Так, для прокладки курса корабля на карте, которая была выполнена в проекции Герхарда Меркатора в 1569году, была острая необходимость определить , широту. Однако при выходе в море, в локациях до XVII века мореплавателями широта не указывалась. Впервые применил тригонометрические расчеты в навигации Эдмонд Гюнтер(1623).

С ее помощью тригонометрии, пилоты могли рассчитывать ветряные погрешности, для наиболее точного и безопасного ведения самолета. Для того, чтобы осуществить данные вычисления, мы обращаемся к треугольнику скоростей. Данным треугольником выражаются образованный воздушной скорости (V), вектор ветра( W), вектор путевой скорости (Vп). ПУ – путевой угол, УВ – угол ветра, КУВ – курсовой угол ветра (рис. 5) .

Чтобы ознакомиться с видом зависимости между элементами навигационного треугольника скоростей, необходимо взглянуть ниже:

Vп =V cos УС + W cos УВ; sin УС = * sin УВ, tg УВ

Для решения навигационного треугольника скоростей используются счетные устройства, использующие навигационную линейку и подсчеты в уме.

2.2.Алгебра

Следующей областью взаимодействия тригонометрии является алгебра. Именно благодаря тригонометрическим функциям решаются очень сложные, требующие больших вычислений уравнения и задачи.

Как мы знаем, во всех случаях, где необходимо взаимодействовать с периодическими процессами и колебаниями мы приходим к использованию тригонометрических функций. При этом не имеет значения, что это такое: акустика, оптика или качание маятника.

2.3.Физика

Кроме навигации и алгебры, тригонометрия оказывает прямое влияние и воздействие в физике. При погружении объектов в воду они никак не изменяют ни формы, ни объемов. Полный секрет - зрительный эффект который вынуждает наше зрение принимать предмет по-другому. Простые тригонометрические формулы и значения синуса угла падения и преломления полупрямой предоставляют вероятность высчитать постоянный показатель преломления при переходе светового луча из сферы в сферу. К примеру, радуга появляется из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления:

sin α / sin β = n1 / n2

где: n1 является показателем преломления первой среды; n2 является показателем преломления второй среды; α-углом падения, β-углом преломления света.

Попадание в верхние слои атмосферы планет заряженных элементов солнечного ветра обусловливается взаимодействием магнитного поля земли с солнечным ветром.

Сила, действующая на перемещающуюся в магнитном область заряженную частичку, именуется силой Лоренца. Она соразмерна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости перемещения частицы.

Раскрывая практические стороны применения тригонометрии в физике, приведем пример. Данная задача должна решаться с использованием тригонометрических формул и способов решения. Условия задачи: на наклонной плоскости, угол которой 24,5о, располагается тело массой 90 кг. Необходимо найти, какой силой располагает тело, давящее на на наклонную плоскость (т.е какое давление оказывает тело на эту плоскость) (рис.6).

Решение:

Обозначив оси Х и У, начнем строить проекции сил на оси, для начала воспользовавшись данной формулой:

ma = N + mg, затем смотрим на рисунок,

Х : ma = 0 + mg sin24,50

Y : 0 = N – mg cos24,50

N = mg cos24,50

подставляем массу, находим, что сила равна 819 Н.

Ответ: 819 Н

2.4.Медицина, биология и биоритмы

Четвертой областью, где серьезное влияние и помощь оказывает тригонометрия, являются сразу две области: медицина и биология.

Одно из фундаментальных свойств живой природы - это цикличность большинства происходящих в ней процессов. Между движением небесных тел и живыми организмами на Земле существует связь. Живые организмы не только улавливают свет и тепло Солнца и Луны, но и обладают различными механизмами, точно определяющими положение Солнца, реагирующими на ритм приливов, фазы Луны и движение нашей планеты.

Биологические ритмы, биоритмы, - это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов. Способность к таким изменениям жизнедеятельности передается по наследству и обнаружена практически у всех живых организмов. Их можно наблюдать в отдельных клетках, тканях и органах, целых организмах и популяциях. Биоритмы подразделяют на физиологические, имеющие периоды от долей секунды до нескольких минут и экологические,по длительности совпадающие с каким либо ритмом окружающей среды. К ним относят суточные, сезонные, годовые, приливные и лунные ритмы. Основной земной ритм – суточный, обусловлен вращением Земли вокруг своей оси, поэтому практически все процессы в живом организме обладают суточной периодичностью.

Множество экологических факторов на нашей планете, в первую очередь световой режим, температура, давление и влажность воздуха, атмосферное и электромагнитное поле, морские приливы и отливы, под влиянием этого вращения закономерно изменяются.

Мы на семьдесят пять процентов состоим из воды, и если в момент полнолуния воды мирового океана поднимаются на 19 метров над уровнем моря и начинается прилив, то вода, находящаяся в нашем организме так же устремляется в верхние отделы нашего тела. И у людей с повышенным давлением часто наблюдаются обострения болезни в эти периоды, а натуралисты, собирающие лекарственные травы, точно знают в какую фазу луны собирать «вершки – (плоды)», а в какую – «корешки».

Вы замечали, что в определенные периоды ваша жизнь делает необъяснимые скачки? Вдруг откуда не возьмись - бьют через край эмоции. Повышается чувствительность, которая внезапно может смениться полной апатией. Творческие и бесплодные дни, счастливые и несчастные моменты, резкие скачки настроения. Подмечено, что возможности человеческого организма меняются периодически. Эти знания лежат в основе «теории трех биоритмов».

Физический биоритм – регулирует физическую активность. В течение первой половины физического цикла человек энергичен, и достигает лучших результатов в своей деятельности (вторая половина – энергичность уступает лености).

Эмоциональный ритм – в периоды его активности повышается чувствительность, улучшается настроение. Человек становится возбудимым к различным внешним катаклизмам. Если у него хорошее настроение, он строит воздушные замки, мечтает влюбиться и влюбляется. При снижении эмоционального биоритма происходит упадок душевных сил, пропадает желание, радостное настроение.

Интеллектуальный биоритм -он распоряжается памятью, способностью к обучению, логическому мышлению. В фазе активности наблюдается подъем, а во второй фазе спад творческой активности, отсутствуют удача и успех.

Теория трех ритмов:

· Физический цикл -23 дня. Определяет энергию, силу, выносливость, координацию движения

· Эмоциональный цикл - 28 дней. Состояние нервной системы и настроение

· Интеллектуальный цикл - 33 дня. Определяет творческую способность личности

 Тригонометрия встречается и в природе. Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.

При полёте птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду.

Тригонометрия в медицине. В результате исследования, проведенного студентом иранского университета Шираз Вахидом-Резой Аббаси, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрической активности сердца или, другими словами, электрокардиографии.

Формула, получившая название тегеранской, была представлена широкой научной общественности на 14-й конференции географической медицины и затем - на 28-й конференции по вопросам применения компьютерной техники в кардиологии, состоявшейся в Нидерландах.

Эта формула представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров деятельности сердца, ускоряя, тем самым, постановку диагноза и начало собственно лечения.

Многим людям приходится делать кардиограмму сердца, но немногие знают, что кардиограмма человеческого сердца – график синуса или косинуса.

Тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов. Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Такой вывод был сделан после серии экспериментов, участникам которых предлагалось взглянуть на окружающий мир через призмы, увеличивающие этот угол.

Такое искажение приводило к тому, что подопытные носители призм воспринимали удаленные объекты как более близкие и не могли справиться с простейшими тестами. Некоторые из участников экспериментов даже наклонялись вперед, стремясь выровнять свое тело перпендикулярно неправильно представляемой поверхности земли. Однако по происшествии 20 минут они привыкли к искаженному восприятию, и все проблемы исчезли. Это обстоятельство указывает на гибкость механизма, с помощью которого мозг приспосабливает зрительную систему к меняющимся внешним условиям. Интересно заметить, что после того, как призмы были сняты, некоторое время наблюдался обратный эффект - переоценка расстояния.

Результаты нового исследования, как можно предположить, окажутся небезынтересны инженерам, конструирующим системы навигации для роботов, а также специалистам, которые работают над созданием максимально реалистичных виртуальных моделей. Возможны и приложения в области медицины, при реабилитации пациентов с повреждениями определенных областей мозга.

2.5.Музыка

Музыкальная сфера деятельности также взаимодействует с тригонометрией.

Представляю вашему вниманию интересную информацию о неком методе,который точно обеспечивает связь между тригонометрией и музыкой. 

Этот метод анализа музыкальных произведений получил название «геометрическая теория музыки». С его помощью основные музыкальные структуры и преобразования переводятся на язык современной геометрии.

Каждая нота в рамках новой теории представляется как логарифм частоты соответствующего звука (нота «до» первой октавы, к примеру, соответствует числу 60, октава – числу 12). Аккорд, таким образом, представляется как точка с заданными координатами в геометрическом пространстве. Аккорды сгруппированы в различные «семейства», которые соответствуют различным типам геометрических пространств.

При разработке нового метода авторы использовали 5 известных типов музыкальных преобразований, которые ранее не учитывались в теории музыки при классификации звуковых последовательностей – октавная перестановка (O), пермутация (P), транспозиция (T), инверсия (I) и изменение кардинальности (C). Все эти преобразования, как пишут авторы, формируют так называемые OPTIC-симметрии в n-мерном пространстве и хранят музыкальную информацию об аккорде – в какой октаве находятся его ноты, в какой последовательности они воспроизведены, сколько раз повторяются и проч. С помощью OPTIC-симметрий классифицируются подобные, но не идентичные аккорды и их последовательности.

Авторы статьи показывают, что различные комбинации этих 5-ти симметрий формируют множество различных музыкальных структур, одни из которых уже известны в теории музыки (последовательность аккордов, к примеру, будет выражаться в новых терминах как OPC), а другие являются принципиально новыми понятиями, которые, возможно, возьмут на вооружение композиторы будущего.

В качестве примера авторами приводится геометрическое представление различных типов аккордов из четырех звуков – тетраэдр. Сферы на графике представляют типы аккордов, цвета сфер соответствуют величине интервалов между звуками аккорда: синий – малые интервалы, более теплые тона – более «разреженные» звуки аккорда. Красная сфера – наиболее гармоничный аккорд с равными интервалами между нотами, который был популярен у композиторов XIX века.

«Геометрический» метод анализа музыки, по мнению авторов исследования, может привести к созданию принципиально новых музыкальных инструментов и новых способов визуализации музыки, а также внести изменения в современные методики преподавания музыки и способы изучения различных музыкальных стилей (классики, поп-музыки, рок-музыки и проч.). Новая терминология также поможет более углубленно сравнивать музыкальные произведения композиторов разных эпох и представлять результаты исследований в более удобной математической форме. Иными словами, предлагается выделить из музыкальных произведений их математическую суть.

Частоты, соответствующие одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8… Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифагор и его ученики.

Диатоническая гамма  2:3:5 (Рис.8).

2.6.Информатика

Не обошла тригонометрия со своим влиянием и информатику. Так, ее функции применимы для точных расчётов. Благодаря данному моменту, мы можем приблизить любую (в некотором смысле "хорошую") функцию, разложив её в ряд Фурье:

a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos 2x + b2 sin 2x + a3 cos 3x + b3 sin 3x + ...

Процесс подбора числа наиболее подходящим образом числа a0, a1, b1, a2, b2, ..., можно в виде такой (бесконечной) суммы представлять почти любые функции в компьютере с требуемой точностью.

Тригонометрия оказывает серьезную роль и помощь в развитии и в процессе работы с графической информацией. Если нужно смоделировать процесс, с описанием в электронном виде, с вращение определенного объекта вокруг некоторой оси. Возникает поворот на некоторый угол. Для определения координат точек придётся умножать на синусы и косинусы.

Так, можно привести в пример Джастина Уиндела, программиста и дизайнера, работающего в Google Grafika Lab. Он опубликовал демо, которое показывает пример использования тригонометрических функций, чтобы создать динамическую анимацию.

2.7.Сфера строительства и геодезии

Интересной отраслью, взаимодействующей с тригонометрией является область строительства и геодезии. Длины сторон и величины углов произвольного треугольника на плоскости связаны между собой определенными соотношениями, важнейшие из которых называют теоремами косинусов и синусов. Формулы, содержащие в себе а, b, c, подразумевают, что буквы представляются сторонами треугольника, которые лежат соответственно против углов А, В, С. Эти формулы позволяют по трем элементам треугольника – длинам сторон и углам – восстановить остальные три элемента. Они применяются при решении практических задач, например в геодезии.

Вся "классическая" геодезия сформирована на тригонометрии. Так как фактически с древнейших времен геодезисты увлекаются тем, что "решают" треугольники.

Процесс возведения строений, путей, мостов и иных зданий наступает с изыскательских и проектных работ. Все без исключения измерения на стройке ведутся с поддержкой геодезических приборов, таких как тахеометр и тригонометрический нивелир. При тригонометрическом нивелировании устанавливают разность высот между несколькими точками земной поверхности.

2.8 Тригонометрия в искусстве и архитектуре

С того времени как человек стал существовать на земле, основой улучшения быта и других сфер жизни стала наука. Основы всего, что создано человеком – это различные направления в естественных и математических науках. Одна из них – геометрия. Архитектура не единственная сфера науки, в которой используются тригонометрические формулы. Большинство композиционных решений и построений рисунков проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат. Рассмотрим пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства.

Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой. Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Велось множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру более приближенной к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы, тем самым найдем точку зрения (рис.9).

На рисунке 10 ситуация меняется, так как статую поднимают на высоту АС и НС увеличиваются, можно рассчитать значения косинуса угла С, по таблице найдем угол падения взгляда. В процессе можно рассчитать АН, а также синус угла С, что позволит проверить результаты с помощью основного тригонометрического тождества cos ² a+ sin ² a = 1.

Сравнив измерения АН в первом и во втором случаи можно найти коэффициент пропорциональности. Впоследствии мы получим чертеж, а потом скульптуру, при поднятии которой зрительно фигура будет приближена к идеалу

Культовые здания во всем мире были спроектированы благодаря математике, которая может считаться гением архитектуры. Некоторые известные примеры таких зданий:Детская школа Гауди в Барселоне, Небоскрёб Мэри-Экс в Лондоне, Винодельня «Бодегас Исиос» в Испании,Ресторан в Лос-Манантиалесе в Аргентине. При проектировании этих зданий не обошлось без тригонометрии.

Заключение

Изучив теоретические и прикладные аспекты тригонометрии, я осознал, что данная отрасль тесно связана со многими науками. В самом начале, тригонометрия была необходима для создания и проведения измерений между углами. Однако в последствии простое измерение углов переросло в полноценную науку, изучающую тригонометрические функции. Мы можем обозначить следующие области, в которых происходит тесная связь тригонометрии и физики архитектуры, природы, медицины, биологии.

Так, благодаря тригонометрическим функциям в медицине была открыта формула сердца, представляющая собой - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, которое состоит из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включающих возможность дополнительных просчетов при возникновении аритмии. Данное открытие помогает врачам выполнять более квалифицированно и качественно медицинскую помощь.

Отметим также. что вся классическая геодезия основана на тригонометрии. Поскольку фактически с древних времён геодезисты занимаются тем, что "решают" треугольники. Процесс строительства зданий, дорог, мостов и других сооружений начинается с изыскательских и проектных работ. Все измерения на стройке проводятся с помощью геодезических инструментов, таких как теодолит и тригонометрический нивелир. При тригонометрическом нивелировании определяют разность высот между несколькими точками земной поверхности.

Знакомясь с ее влиянием в других областях, мы можем сделать вывод о том, что тригонометрия активно влияет на жизнедеятельность человека. Связь математики с окружающим миром позволяет «материализовать» знания школьников. Благодаря этому, мы можем адекватнее воспринять и усвоить знания и информацию, которую нам преподают в школе.

Цель моего проекта выполнена успешна. Мной было изучено влияние тригонометрии в жизни и развитие интереса к ней.

Для решения поставленной цели, мы выполнили следующие задачи:

1. Познакомились с историей становления и развития тригонометрии;

2. Рассмотрели примеры практического влияния тригонометрии в разных сферах деятельности;

3. Показали на примерах, возможности тригонометрии и ее применения в жизни человека.

Изучение истории возникновения данной отрасли поможет вызвать интерес у школьников, сформировать верное мировоззрение и повысить общую культуру старшеклассника.

Данная работа будет полезна для учащихся старших классов, которые ещё не увидели всю красоту тригонометрии и не знакомы с областями её применения в окружающей жизни.

Список литературы

1. А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. "Алгебра и начала анализа" Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, М., Просвещение, 2013.

2. Глейзер Г.И. История математики в школе: VII-VIII кл. - М.: Просвещение, 2012.

3. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X кл. — М.: Просвещение, 2013.

4. Рыбников К.А. История математики: Учебник. — М.: Изд-во МГУ, 1994. Олехник Задачи по алгебре, тригонометриии и элементарным функциям / Олехник, С.Н. и. - М.: Высшая школа, 2016. - 134 c.

5. Олехник, С.Н. Задачи по алгебре, тригонометрии и элементарным функциям / С.Н. Олехник. - М.: Высшая школа, 2013. - 645 c.

6. Потапов, М.К. Алгебра, тригонометрия и элементарные функции / М.К. Потапов. - М.: Высшая школа, 2014. - 586 c.

7. Потапов, М.К. Алгебра. Тригонометрия и элементарные функции / М.К. Потапов, В.В. Александров, П.И. Пасиченко. - М.: [не указано], 2015. - 762 c.

Список литературы

1. А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. "Алгебра и начала анализа" Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, М., Просвещение, 2013.

2. Глейзер Г.И. История математики в школе: VII-VIII кл. - М.: Просвещение, 2012.

3. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X кл. — М.: Просвещение, 2013.

4. Рыбников К.А. История математики: Учебник. — М.: Изд-во МГУ, 1994. Олехник Задачи по алгебре, тригонометриии и элементарным функциям / Олехник, С.Н. и. - М.: Высшая школа, 2016. - 134 c.

5. Олехник, С.Н. Задачи по алгебре, тригонометрии и элементарным функциям / С.Н. Олехник. - М.: Высшая школа, 2013. - 645 c.

6. Потапов, М.К. Алгебра, тригонометрия и элементарные функции / М.К. Потапов. - М.: Высшая школа, 2014. - 586 c.

7. Потапов, М.К. Алгебра. Тригонометрия и элементарные функции / М.К. Потапов, В.В. Александров, П.И. Пасиченко. - М.: [не указано], 2015. - 762 c.

Приложение 1

Рис.1 Изображение пирамиды. Вычисление наклона ^b/_{h .}

Рис.2 Гномон

Рис.3 Определение угловой высоты солнца

Рис.4 Основные формулы тригонометрии

Рис.5 Навигация в тригонометрии

Рис.6 Физика в тригонометрии

Рис.7 Теория трех ритмов

(Физический цикл -23 дня. Определяет энергию, силу, выносливость, координацию движения; Эмоциональный цикл - 28 дней. Состояние нервной системы и настроение; Интеллектуальный цикл - 33 дня. Определяет творческую способность личности)

Рис. 8 Тригонометрия в музыке

 Рис.9, 10 Тригонометрия в архитектуре

19