ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧЕРЕЖДЕНИЕ
Ивановский железнодорожный колледж
Реферат.
По дисциплине: математика.
На тему: Тригонометрия вокруг нас.
Работу выполнил: Кузнецов Кирилл
студент 2 курса группы
19/20.
Руководитель: Савенко
Ирина Николаевна
преподаватель
математики.
Содержание
Введение
Многие математические понятия при формальном изучении кажутся искусственными, оторванными от жизни, а иногда просто непонятными.
При изучении тригонометрии нам пришла идея изучить историю происхождения тригонометрии и показать применение математических знаний к решению задач повседневной практики, а, может быть, в дальнейшей профессиональной деятельности.
Мы изучили соответствующую литературу, нашли интересные задачи, рассмотрели полярную систему координат и построение графиков в ней.
Цели и задачи.
1. Изучить историю происхождения тригонометрии.
2. Показать применение тригонометрии для решения геометрических, физических, тригонометрических задач.
3. Познакомить сверстников с новыми знаниям по этой теме.
История тригонометрии
Тригонометрия возникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии, как её вычислительный аппарат, отвечающий практическим нуждам человека. Именно астрономия определила тот факт, что сферическая тригонометрия возникла гораздо раньше плоской.
Некоторые тригонометрические сведения были известными древним вавилонянам и египтянам, но основы этой науки заложены в Древней Греции. Древнегреческие астрономы успешно решали отдельные вопросы из тригонометрии, связанные с астрономией, однако они рассматривали не линии синусов и косинусов, а лишь их хорды. Роль синуса угла альфа у них выполняла хорда, стягивающая дугу, равную двум альфа.
Греческий астроном Гиппарх во II веке до нашей эры составил таблицу значений хорд в зависимости от величин стягиваемых ими дуг.
Названия линий синуса и косинуса впервые были введены индийскими учеными (Муххамадом ат-Туси, Мусой ал-Хорезми, Ахмедом ибн Абдаллах ал-Марвази и другими). Они же и составили впервые таблицы синусов, менее точные, чем птолемеевы.
В Европе XII - XV веков, после того как были переведены с арабского и греческого языков на латинский некоторые классические математические и астрономические произведения, развитие геометрии продолжалось. При решении плоских треугольников широко применялась теорема синусов, вновь открытая ученым, жившим в Южной Франции, Львом Герсонидом, тригонометрия которого была в 1342 году переведена на латинский язык.
Самым видимым европейским представителем в этой эпохе тригонометрии был Региомонтан. Его мастерски изложенный тригонометрический труд "Пять книг о треугольниках всех видов" имела большое значение для дальнейшего развития тригонометрии.
Важный вклад в развитие тригонометрии внесли такие ученые, как Беруни, Леонард Эйлер, Бернулли и многие ученые Европы и Азии.
Решение задач
Мы знаем, что тригонометрию применяют к решению теоретических задач, то есть тех, которые мы решаем на уроках, но существуют и прикладные задачи по тригонометрии.
Рассмотрим решение нескольких таких задач.
Задача № 1
На какой высоте следует повесить фонарь, имеющий J свечей, над центром площади, представляющей собой квадрат со стороной a (м), чтобы в средних точках каждой из сторон этого квадрата освещенность достигала, наибольшей величины?
Решение: Пусть О - центр квадрата ABCD, OF - перпендикуляр, восстановленный из точки О к плоскости этого квадрата, К - середина стороны CD. Соединим F с K и обозначим угол FKO через х.
тригонометрия математический астрономия ученый
Согласно закону освещенности имеем, что освещенность E в точке K от фонаря в J свечей, помещенного в точке F, составляет
Функция принимает положительные значения, так как по смыслу задачи и функция достигает наибольшего значения одновременно с функцией , которую можно преобразовать к виду
Но при этом
Согласно теореме "Произведение двух положительных множителей, сумма которых постоянна, достигает наибольшего значения тогда и только тогда, когда эти множители равны" имеем, что произведение достигает наибольшего значения тогда и только тогда, когда т.е. .
Освещенность E в точке К достигает наибольшей величины, когда , т.е. .
Из прямоугольника OKF найдем, что соответствующая этой величине угла х длина катета OF равна .
Освещенность, сообщаемая средним точкам сторон квадрата фонарем, находящимся точно над центром этого квадрата, достигает наибольшего значения, возможного в этих точках при данной длине a (м) стороны квадрата и данной силе света J фонаря, когда высота составляет .
Задача № 2
Под каким углом к горизонту должен падать луч на поверхность воды, чтобы этот угол был равен углу преломления?
Решение
При падении светового луча на границу двух сред угол б называется углом падения, в - углом преломления. Показатель n преломления двух сред равен для воды
n= 1.33
по условию sin б = sin (900 - в)= 1.33sin в
Задача №3
Кастрюля высотой 15 см наполнена водой. Под каким минимальным углом к горизонту на посмотреть, чтобы увидеть центр ее дна, если его диаметр 26см? Какова при этом "кажущаяся глубина" кастрюли? Больше или меньше она реальной глубины?
Задача № 4
На уроке математики, чтобы скоротать время, десятиклассник чертил прямоугольники с вершинами на краях прямоугольного листа и вскоре заметил, что их можно сделать как угодно малыми. Сама собой появилась обратная задача: через все вершины данного прямоугольника со сторонами a, b проведены стороны нового прямоугольника. Какова его площадь?
Решение:
Обозначим через x угол между сторонами первого и второго прямоугольника. Выразим через a, b, x стороны нового прямоугольника:
a*cos (x) +b*sin (x), a*sin (x) +b*cos (x).
Значит площадь нового прямоугольника равна
S= (a*cos (x) +b*sin (x)) * (a*sin (x) +b*cos (x)) =
(aІ+bІ) *sin (x) *cos (x) +a*b* (cosІ (x) +sinІ (x)) =
(aІ+bІ) /2*sin (2*x) +a*b,
откуда
Sin (2*x) =2* (s-a*b) / (aІ+bІ).
А так как 0?sin (2*x) ?1, то a*b ?S ? (a+b) І /2.
Ответ: a*b ?S ? (a+b) І /2
Задача № 5
Задача № 6
Поле имеет четырехугольную форму. Известно, что три его стороны a,b,c и образованные ими углы углы б,в. Необходимо вывести формулу для вычисления площади.
Решение:
Вывод
Итак, мы рассмотрели некоторые задачи, где показали значимость математических знаний, ближнюю и дальнюю перспективы их использования.
Полярная система координат.
Кроме известной нам прямоугольной системы координат, или декартовой, существуют еще и другие.
Полярная система координат - система координат, ставящая в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел (с; ц).
Основными понятиями этой системы являются точка отсчёта (полюс) и луч, начинающийся в этой точке (полярная ось).
Координата с определяет расстояние от точки до полюса, координата ц - угол между полярной осью и отрезком, соединяющим полюс и рассматриваемую точку.
Координата ц берётся со знаком "+", если угол от оси до отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком "-" в противоположном случае.
Любая точка в этой системе имеет бесконечное число координат вида (с; ц+2рn), которым соответствует одна и та же точка при любых целых n.
Для полюса с=0, угол ц произвольный.
Иногда допускаются отрицательные значения с, в этом случае координаты (с; ц) и (-с; ц+р) определяют одну и ту же точку плоскости.
Построение графиков в полярной системе координат
Пример №1: Кардиоида с=a (1+cos ц)
12
Размещено на http://www.allbest.ru/
Пример №2: Трёхлепестковая роза с=cos (3*ц)
12
Размещено на http://www.allbest.ru/
12
Размещено на http://www.allbest.ru/
12
Размещено на http://www.allbest.ru/
Заключение
Интерес к математике подтолкнул нас изучить более глубоко тригонометрию, доказать её значимость не только в математике, но и в её практическом применении, да и просто с пользой для себя и для сверстников провести время.
Список литературы
1. Александров А.Д. и др. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. 2-е изд. - М., Просвещение, 1995.
2. Шарыгин И.Ф. Геометрия. Задачник. 9-11 кл. - М., Дрофа, 1997.
3. Глейзер Г.И. История математики в школе. - М., Просвещение, 1983.
4. Шнейдер В.Е. и др. Краткий курс высшей математики. - М., Высшая школа, 1978.
Размещено на Allbest.ru
1 836
28 108 
