Түзу мен жазықтықтың параллельдігі

ТҮЗУ МЕН ЖАЗЫҚТЫҚТЫҢ ПАРАЛЛЕЛЬДІГІ

Сабақтың мақсаты:

• Түзу мен жазықтықтың кеңістікте өзара орналасуының мүмкін жағдайларын қарастыру;

• Түзу мен жазықтықтың параллельдігі ұғымын енгізу;

• Түзу мен жазықтықтың параллельдік белгісін дәлелдеу.

Сабақтың мазмұны

• Түзу мен жазықтықтың орналасуы

• Тұжырымдар

• Қорытынды

Түзу мен жазықтықтың өзара орналасу жағдайлары

Аксиома A1: Егер түзудің екі нүктесі жазықтыққа тиісті болса, онда түзу толығымен жазықтықта жатады. A1 аксиомадан түзу мен жазықтықтың өзара орналасуының үш жағдайы шығады.

1) a  түзуі толығымен  α  жазықтығында  жатады: a∈α.

2) a түзуі мен α жазықтығының бір ортақ нүктесі 

болады: a∪α=M. Басқаша айтқанда, a түзуі 

мен α жазықтығы қиылысады.

3) a түзуі мен α жазықтығының ортақ нүктелері 

жоқ: a∥α⟺a∩α=∅.

АНЫҚТАМА

Егер түзу мен жазықтықтың ортақ нүктелері болмаса, онда олар параллель деп аталады. a түзуі мен α жазықтығының параллельдігі былай белгіленеді: a∥α.

ТҮЗУ МЕН ЖАЗЫҚТЫҚТЫҢ ПАРАЛЛЕЛЬДІГІНІҢ ӨМІРЛІК МЫСАЛДАРЫ

• Жазықтыққа параллель түзудің көрінісін созылған троллейбус немесе трамвай сымдарынан көруге болады. Олар жер жазықтығына параллель болады.

• Басқа мысал бөлме қабырғасы мен төбесінің қиылысу түзуі болады алады. Осы түзу еден жазықтығына параллель. Еден жазықтығында осы түзуге параллель болатын түзу бар екендігіне назар аударайық. Осындай түзу, мысалы, еден мен сол қабырғаның қиылысу түзуі бола алады. Суретте осы түзулер a және b деп белгіленген.

ЛЕММА

Егер екі параллель түзудің бірі белгілі бір жазықтықпен қиылысса, онда екінші түзу де осы жазықтықпен қиылысады.

ТЕОРЕМА (түзу мен жазықтықтың параллельдігінің белгісі)

Егер берліген жазықтақта жатпайтын түзу осы жазықтық бойында жатқан кез келген бір түзуге параллель болса, онда ол берілген жазықтыққа параллель болады.

МЫСАЛ

Осы белгі стереометрия есептерін шығару барысында жиі пайдаланылады. Мысалы, SABCD дұрыс тіктөртбұрышты пирамидасында AB түзуі CD түзуіне параллель – олай болса, AB түзуі SCD жазықтығына параллель болады.

 {AB∥CDCD∈(SCD) ⇒AB∥(SCD)

ДӘЛЕЛДЕУ

1-ЖАТТЫҒУ

A және B нүктелері α жазықтығында жатыр, ал C нүктесі осы жазықтықта жатқан жоқ. AC және BC кесінділерінің ортасы арқылы өтетін түзу осы α жазықтығына паралель екендігін дәлелдеңіз

Дәлелдеу

 – AC кесіндісінің ортасы,   ­– BC кесіндісінің ортасы болсын. M нүктесі α жазықтығында жатқан жоқ, себебі егер де ол осы жазықтықта жатса, онда AM түзуі де, яғни   нүктесі де α жазықтығында жататын еді, бұл шартқа қарама-қайшы.
Дәл осылайша,   нүктесі де α жазықтығында жатқан жоқ. ABC үшбұрышын қарастырайық.   – осы үшбұрыштың орта сызығы. Қасиеті бойынша MN түзуі ABтүзуіне параллель. MN түзуі   түзуіне параллель, ал AB түзуі α жазықтығында жатыр. Олай болса, MN түзуі α жазықтығына параллель. Тұжырымдама дәлелденді.

1-тұжырым

Егер жазықтық басқа жазықтыққа параллель түзу арқылы өтсе және осы жазықтықпен қиылысса, онда жазықтықтардың қиылысу түзуі берілген түзуге параллель болады.

α

β

Дәлелдеу:
α жазықтығына параллель a түзуі арқылы α жазықтығын b түзуімен қиятын β жазықтығы өтсін делік. а және b түзулері параллель екендігін дәлелдейік. 

Шынымен де, a және b түзулері бір  жазықтығында жатыр және қиылыспайды, себебі кері жағдайда a түзуі α жазықтығын қиятын еді, ал бұл мүмкін емес, себебі шарт бойынша aтүзуі α жазықтығына параллель. Олай болса, a және b түзулері параллель болады. Тұжырымдама дәлелденді.

2-тұжырым

Егер екі параллель түзулердің бірі берілген жазықтыққа параллель болса, онда екінші түзу берілген жазықтыққа параллель немесе осы жазықтықта жатады.

Дәлелдеу:
a және b параллель түзулер болсын, сонымен қатар a түзуі α жазықтығына параллель. Бұдан a түзуі α жазықтығымен қиылыспайды. Онда жазықтық пен параллель түзулердің қиылысуы туралы лемма бойынша, b түзуі де α жазықтығымен қиылыспайды. Ал бұл дегеніміз b түзуі α жазықтығына параллель (а суреті) немесе оның бойында жатыр (б суреті) дегенді білдереді. Тұжырымдама дәлелденді.

a-суреті

б-суреті

2-ЖАТТЫҒУ

Екі параллель a және b түзулері арқылы, сәйкесінше, α және β жазықтықтары өтеді. Олардың қиылысу түзуі l түзуі a және b түзулеріне параллель екендігін дәлелдеңіз.

Дәлелдеу:
Берілгені бойынша a түзуі β жазықтығында жатқан bтүзуіне параллель. Түзу мен жазықтықтың параллельдігінің белгісі бойынша, a түзуі   жазықтығына параллель.β жазықтығы α жазықтығына параллель a түзуі арқылы өтеді және β жазықтығын l түзуімен қияды. 1-тұжырымдамаға сәйкес   түзуі a түзуіне параллель.Дәл осылайша, b түзуі α жазықтығынада жатқан a түзуіне параллель. Түзу мен жазықтықтың параллельдігінің белгісі бойынша, b түзуі α жазықтығына параллель.  жазықтығы α жазықтығына параллель b түзуі арқылы өтеді және α жазықтығын l түзуінің бойымен қияды. 1-тұжырмадамаға сәйкес l түзуі b түзуіне параллель.Біз a және b түзулері l түзуіне параллель екендігін дәлелдедік.

3-ЖАТТЫҒУ

ABC үшбұрышының AC қабырғасы α жазықтығына параллель, ал AB және BCқабырғалары осы жазықтықпен M және N нүктелерінде қиылысады. ABC және MBN үшбұрыштары ұқсас екендігін дәлелдеңіз.

Дәлелдеу:
ABC үшбұрышының жазықтығы α жазықтығына параллель   түзуі арқылы өтеді және α жазықтығына   түзуімен қияды. Олай болса, 1-тұжырымдама бойынша AC түзуі MN түзуіне параллель.

ABC және MBN үшбұрыштарын қарастырайық.   түзуі MN түзуіне параллель, осы түзулер AB түзуімен қиылысады, яғни ∠BAC және   бұрыштары сәйкес бұрыштар сияқты тең.   бұрышы -  ABC және MBN үшбұрыштары үшін ортақ. ABC және MBN үшбұрыштары екі бұрышы бойынша ұқсас үшбұрыштар болады. Тұжырымдама дәлелденді.

Шешу мысалы

ABCD параллелограмының AB және BC қабырғалары α жазықтығын қияды. AD және DC түзулері де AD және DC α жазықтығын қиятындығын дәлелдеңіз.

4-ЖАТТЫҒУ

ABCD параллелограмының AB және BC қабырғалары α жазықтығын қияды. AD және DC түзулері де AD және DC α жазықтығын қиятындығын дәлелдеңіз.

5-ЖАТТЫҒУ

D нүктесі KLMN тік төртбұрышының жазықтығында жатқан жоқ. MN∥DKL екендігін дәлелдеңіз.

Дәлелдеу:
KL және   түзулері параллель, ал KL түзуі   жазықтығына тиесілі. Бұдан, түзу мен жазықтықтың параллельдігінің белгісі бойынша MN түзуі DKL жазықтығына параллель. Тұжырымдама дәлелденді.