Творческая работа обучающегося

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Лицей»

Исследовательская работа

по математике

на тему:

«Применение формул Крамера и метода Гаусса при решении систем линейных уравнений»

Выполнил:

учащийся 11 «А» класса

Хохлов Алексей

Руководитель:

учитель математики высшей

категории Путанова С.В.

Арзамас 2023 г.

Введение

Решая олимпиадные задания, а именно системы, состоящие из трёх и более уравнений (и, соответственно, с тремя и более неизвестными), я часто сталкивался с определёнными трудностями. В частности, было нелегко, а порой и невозможно решить их методами, изучаемыми в школьном курсе алгебры (подстановки, сложения, графически). Тогда у меня возник вопрос: «А не существует ли других методов решения систем n линейных уравнений с n неизвестными?». Изучая литературу по данному вопросу, я узнал, что такие системы можно решить, используя формулы Крамера и метод Гаусса.

Объект исследования: системы n линейных уравнений с n неизвестными

Цель исследования: рассмотреть формулы Крамера и метод Гаусса

Задачи исследования:

1)изучить литературу и интернет-ресурсы по данному вопросу

2)применить полученные знания при решении систем уравнений

3)самостоятельно составить системы уравнений и решить их этими методами

Актуальность: в школьном курсе математики решению систем линейных уравнений уделяется мало времени, а сложные системы n линейных уравнений с n неизвестными не рассматриваются. Вместе с тем в олимпиадах различного уровня учащимся предлагаются подобные задания. И если применение методов, изучаемых в школьном курсе алгебры, не приводит к желаемым результатам, то знание методов Крамера и Гаусса даёт возможность справиться с такими заданиями.

Описание работы

В данной работе рассматриваются определение матрицы и ее определителя, виды матриц и свойства определителей, теорема о разложении определителя по элементам строки и столбца, теорема Крамера, а также различные способы вычисления определителей и метод Гаусса. Кроме того, в работе представлены системы n линейных уравнений c n неизвестными, составленные и прорешанные самостоятельно.

Обзор литературы

В книгах Дмитрия Письменнского «Конспект по высшей математике» (часть 1, 6-е издание, Москва, 2006) и Фаддеева Д.К. «Лекции по алгебре» вводятся такие понятия, как определение матрицы, основные действия над матрицами, понятие определителя, основные свойства определителей.

В книге Гантмахера Ф.Р. «Теория матриц» раскрывается понятие ранга матрицы.

В книгах Куроша А.Г. «Курс высшей математики» и Ланкастера П. «Теория матриц» рассмотрены различные виды матриц.

В книге Маркуса М., Минка Х. «Обзор по теории матриц и матричных неравенств» рассмотрен метод Крамера, позволяющий решать системы линейных уравнений.

В книге Большакова И.В. «Высшая математика» приводятся основные свойства определителей.

В книге В.Т.Лисичкина и И.Л.Соловейчик «Математика» (учебник для учащихся средних специальных учебных заведений 1991 г.) рассматривается теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца, теорема Крамера, суть метода Гаусса и их практическое применение.

В работе также использовались материалы Интернет-ресурса ru.wikipedia.org где рассматривается основная теория по методам Крамера и Гаусса.

Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера

Матрицы. Виды матриц

Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов. Для записи матрицы используются специальное обозначение (см. приложение).

Для любого элемента матрицы первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j- номер столбца. Сокращенно прямоугольную матрицу m×n можно записать так: A= , где i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.

Существуют следующие виды матриц:

1)прямоугольная (число строк матрицы не равно числу столбцов(m≠n)) (см. приложение 1).

В прямоугольной матрице типа m×n возможен случай, когда m=1. При этом получается матрица-строка.

В случае, когда n=1, получим матрицу-столбец.

Матрицы-строки и матрицы-столбы иначе будем называть векторами.

2)квадратная (число строк матрицы равно числу столбцов(m=n))

Среди квадратных матриц выделяются диагональные (скалярные, единичные), а также нулевые.

Определитель матрицы. Свойства определителей

Для нахождения определителя второго и третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольника (правилом Сарруса), а для нахождения определителя более высокого порядка удобно воспользоваться теоремой о разложении определителя по элементам строки или столбца (см. приложение). Также определитель можно вычислить путём его приведения к треугольному виду.

Определители обладают различными свойствами:

1.Определитель не изменяется, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами 2.При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит свой знак на противоположный 3. Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно вынести за знак определителя 4. Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю 5. Если все элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен 0 6. Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число ,то определитель не изменит своей величины 7.Треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (или ниже) главной диагонали-нули, равен произведению элементов главной диагонали.

Теорема Крамера

Метод Крамера – способ решения систем линейных уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).

Если в системе три уравнения с тремя неизвестными, то можно сразу применять правило треугольника (системы из двух уравнений мы не рассматриваем ввиду простоты их решения классическими методами); если определитель имеет четвёртый или более высокий порядок, то его можно разложить по элементам строки или столбца, а затем понижать порядок алгебраических дополнений.

Для решения уравнения с помощью формул Крамера необходимо применить теорему Крамера (см. приложение).

В качестве примеров рассмотрим следующие системы:

5x+8y+z=2, x+2y+3z+4t=11, 5x+9y+3z-5t=10,

1. 3x-2y+6z=-7, 2) 2x+3y+4z+t=12, 3) 3x-7y-4z+2t=5,

2x+y-z=-5. 3x+4y+z+2t=13, 8x+2y+6z-3t=1,

4x+y+2z+3t=14. 4x+y-8z+5t=6.

x+2y+ 3z+4t+5l=6, -3x+3y+z+4t+l=4,

6x+5y+4z+3t+2l=1, 2x-4y-z-4t+l=-1,

4) x+3y+ 5z+2t+4l=6, 5) x+y+3z+5t+2l=1,

2x+4y+ 6z+t+3l=5, -4x+5y+4z-4t+5l=3,

x+6y+ 2z+5t+3l=4. -2x-4y+3z+5t+2l=2.

Решение систем линейных уравнений с помощью метода Гаусса

Суть метода Гаусса

При решении систем линейных уравнений используют также метод Гаусса.

Метод последовательного исключения неизвестных Гаусса является одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения линейных систем. Этот метод описан в приложении.

Достоинства метода:

1)менее трудоёмкий по сравнению с другими методами;

2)позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение;

3)позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений — ранг матрицы системы.

В качестве примеров рассмотрим следующие системы:

1 ) 1,2357x+2,1742y-5,4834z=-2,0735, 2) 2x+5y+4z+t=20,

6,0696x-6,2163y-4,6921z=-4,8388, x+3y+2z+t=11,

3,4873x+6,1365-4,7483=4,8755. 2x+10y+9z+9t=40,

3x+8y+9z+2t=37.

x+3y+z=1, 4x+5y+2z+5t=3,

1. 4x+5y+6z=2, 4) 2x-3y+6z+8t=1,

4x+2y+4z=1. x-7y+3z+4t=5,

-2x+5y+2z+4t=1.

Системы уравнений, составленные самостоятельно

И зучив теорию по данной теме и рассмотрев различные примеры, я самостоятельно составил системы n линейных уравнений с n неизвестными и прорешал их (см. приложение).

1) x-y-2z=5, 2) 3х+2у=10, 3) 2х-3у+z= -7, 4) 2х-7у+z=-4,

2x+y=4, 2х+3у-z+4t=14, х+4у+2z= -1, 3х+у-z=17,

3x+5y+z=16. 4у-2z+3t=4, х-4у= -5. х-у+3z=3.

5х+2у+t=18.

5 ) 3x+2y-3z+5t=10, 6) 2х-у+z-t=1,

2x-y+5z-t=5, 2х-у-3z=2,

x+y-3z+2t=2, 3х-z+t=-3,

2x+2y-z-t=-1. 2х+2у-2z+5t=-6.

Заключение

В данной работе я рассмотрел новые для меня способы решения систем n линейных уравнений c n неизвестными, не изучаемые в школьном курсе алгебры:

1) применение формул Крамера

2) метод Гаусса

и смог самостоятельно решить некоторое количество систем. Кроме того, усвоив полученные знания, я составил несколько систем уравнений и решил их этими методами. В процессе своей работы я научился решать сложные для меня системы линейных уравнений. То, что раньше отнимало у меня много времени, а порой и не получалось, теперь стало возможным. Надеюсь, что и вы запомните и научитесь применять формулы Крамера и метод Гаусса, ведь это, несомненно, поможет вам при решении олимпиадных задач.

8