Творческая работа "Применение векторов"

Содержание:

1. Введение

С понятием вектор я познакомилась на уроках геометрии. Особого интереса она у меня не вызвала. Однако, практически сразу понятие «вектор» встретилось и на уроках физики. Тогда стало ясно, что вектор не сугубо математическое понятие, оно применяется и в других областях науки. Вектор - это направленный отрезок. А зачем они нужны? Встречаются ли они в жизни? Может, стоит присмотреться? Если вы начинаете утро с прогноза погоды, то слышали, к примеру: «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Нельзя не согласится,, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости. Идем в школу: видим дорожные знаки, вроде этих:

Придя в школу или на работу, видим направляющие знаки:

«Выход», например

Примеры направляющих знаков вы можете увидеть в Приложении 1. Видим, что векторы присутствуют в нашей жизни.

Актуальность изучения данной темы связано с многообразием сфер применения векторов: от искусства до сложных задач моделирования реальных процессов. Понятие вектора используется во многих приложениях математики, таких, как современная алгебра и геометрия, теория функций и теория вероятностей. Учебники по таким, на первый взгляд, далеким от математики предметам, как электротехника, радиотехника, теория антенн и др., очень широко используют векторы.

Я решила выяснить, в каких именно областях науки применяются векторы, насколько это понятие актуально в жизни.

Целью моей работы:

Рассмотреть векторы как математические модели реальных процессов.

Перед собой я поставила такие задачи:

• Изучить литературу по данной теме;

• Изучить понятие «вектор» в предметах естественно-научного цикла;

• Узнать, как осуществляется моделирование с помощью векторов.

• Установить, используется ли данное понятие в жизни;

1. Возникновение понятия «вектор»

Одним из основных понятий математики являются «вектор». Развитие этого понятия происходило благодаря широкому использованию его в различных областях математики, информатики, механики, а так же в технике.

Вектор – молодое математическое понятие. Этот термин впервые употребил ирландский математик Уильям Гамильтон в 1845 году в своих работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа. Также он ввел термины «скаляр», «скалярное произведение», «векторное произведение». Исследования в этой области проводил ещё немецкий физик-математик Г.Грассман. Его идеи об абстрактных векторных пространствах привели к важному открытию – возможности рассматривать цветовые ощущения как трехмерные векторы. Это легло в основу современного учения о свете. Им были установлены законы сложения цветов.

Понятие «вектор» стало широко использоваться в математике в XIX веке, когда стал активно развиваться раздел математики «Комплексные числа». Векторы использовались для наглядного представления таких чисел. В школах эта тема изучается с 1963 года. Сейчас понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики.

Есть такое высказывание: «Карьера начинается в школе», поэтому я решила глубже изучить понятие «вектор», рассмотреть его значение в математическом моделировании и выяснить в каких профессиях применяется данное понятие.

1. Использование векторов в различных науках:

   1. В физике

Векторы — мощный инструмент не только математики, но и физики. Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением. Многие физические величины, такие, как сила, скорость, ускорение, характеризуются не только числовым значением, но и направлением. Эти величины очень удобно изображать в виде направленных отрезков. На языке векторов формулируются основные законы механики и электродинамики. Чтобы понимать физику, нужно научиться работать с векторами. Векторная алгебра является фундаментом, на котором построена классическая физика. С помощью векторов можно моделировать различные физические процессы. Например, некоторые физические поля (магнитное и электромагнитное, сила тяжести) рассматриваются как векторные поля. Такая модель позволяет применять к изучаемым понятиям удобные методы математических расчётов.

Векторные величины в физике: скорость, перемещение, ускорение, сила, импульс, напряженность электрического поля, магнитная индукция, момент силы. Для этих величин важно «сколько» и «куда».

Скорость изучается на уроках математики и на уроках физики, и при решении многих задач на скорость необходимо сделать рисунок, на котором направление движения показывается стрелками. Векторами удобно моделировать движение в одном направлении, в разных направлениях, движение по кругу, движение по воде. Составленная таким образом схема-модель поможет решить задачу.

Пример схем некоторых задач на движение:

Тело с большей скоростью догоняет тело с меньшей скоростью:

Движение в противоположные стороны:

Равномерным движением по окружности называется такое движение, при котором скорость не меняется по модулю, а меняется лишь её направление. При этом вектор ускорения перпендикулярен вектору скорости. Вектор скорости направлен по касательной к окружности.

Еще одна физическая векторная величина, которую я хотела бы рассмотреть – это сила. Сила определяет меру интенсивности воздействия, которое оказывается на тело со стороны других тел или полей. Результат действия силы зависит от направления. На рисунке вы можете видеть модель направления силы тяжести и всемирного тяготения.

В физике можно найти ещё много примеров, где векторы применяются как средство моделирования физических процессов.

1. В химии

Также векторы помогают создавать математические модели некоторых химических процессов. Например, для того, чтобы показать строение атома используются всё те же векторы.

На схеме вы можете видеть строение атома азота:

На таких схемах стрелками изображается электрон, а направление соответствует направлению спина (собственного магнитного момента электрона). Операции над спинами производятся так же, как и операции над векторами, что позволяет трактовать химические процессы языком математики. Примером векторных частиц, имеющих спин служат: фотон, глюон, W- и Z-бозоны, векторные мезоны, ортопозитроний.

Химические реакции записываются с помощью уравнений, в записи которых используются векторы.

Пример, реакция обмена, взаимодействие хлорида кальция и нитрата серебра с образованием осадка хлорида серебра:

CaCl2(ж) + 2AgNO3(ж) Ca(NO3)2(ж) + 2AgCl(тв)

3.3.В биологии

Биология относится к наукам естественно-математического цикла. Часто для того, чтобы смоделировать тот или иной процесс, приходится использовать язык математики или переносить суть математических понятий на понятия биологические. Суть понятия «вектор» - это направленность. В биологии этим словом называют организм, который переносит паразита от одного организма к другому. Например, клещи являются переносчиками вируса, вызывающего энцефалит. В генетике вектором считается молекула нуклеиновой кислоты, которая используется для передачи генетического материала другой клетке. С помощью организмов векторов синтезируются различные лекарственные средства, в том числе и антибиотики, ферменты, необходимые человеку (инсулин).

В настоящее время создана векторная модель для доставки в клетки костного мозга гена, кодирующего гранулоцитарный колониестимулирующий фактор человека. Данный белок относится увеличивает продолжительность жизни клеток костного мозга, усиливает функциональную активность зрелых нейтрофилов. Созданный вектор представляет собой многослойную конструкцию. Эффективность описанной векторной модели была доказана опытным путем. При конструировании противовирусных вакцин немаловажное значение имеет создание специального вектора-носителя, обеспечивающего адресную доставку генов и их защиту от действия нуклеаз крови.

1. В географии

Оказывается, векторы, как отрезки, показывающие направление нашли своё отражение и в географии. Так, ветер – характеризуемый величиной и направлением, рассматривается как вектор. Распределение ветра исследуется в векторной форме. Таким образом, ветер (горизонтальное движение воздушных частиц относительно подстилающей поверхности) – векторная величина и описывается двумя параметрами – скоростью ( м/с) и направлением. Вектор – модель ветра. Аналогично, с помощью векторов показывают направление движения воздушных масс в циклонах и антициклонах.

Вектор также служит моделью всевозможных течений. Горизонтальные перемещения водных масс в морях и океанах называются морскими течениями. К элементам, характеризующим течение, относятся направление и скорость. Значит, течение – векторная величина. С помощью векторов и действий над ними осуществляется учет приливно-отливных течений.

Течение реки, подводные течения океанов показывают с помощью векторов.

С помощью векторов составляют карты миграции птиц и животных.

Используя действия над векторами можно рассчитать пролетные пути перелетных птиц.

1. Векторы в профессиях.

Я выяснила, что векторы используются во многих науках для моделирования самых различных процессов и явлений. Значит, это понятие потребуется во всех технических профессиях, профессиях, связанных с компьютерном деле, в медицине, химии и т.д. Векторы нужны для освоения профессии строителя и архитектора, так как особое место вектору отводится в сопромате, ведь нагрузка на разные элементы конструкций является разложением вектора по базису векторов силы тяжести и других приложенных к конструкции сил. В самолетостроении, судостроении, автомобилестроении при конструировании транспорта также применяются векторы и их свойства.

В науке судовождение используются векторы и их свойства для определения кажущегося ветра во время движения судна. В штилевую погоду на судне, имеющего ход, всегда ощущается встречный ветер, равный скорости судна. Он имеет название курсовой ветер и имеет направление, противоположное движению судна. Таким образом, на движущемся судне наблюдается кажущийся ветер, вектор которого равен геометрической сумме истинного и курсового ветров. Для определения направления ветра используется способ построения векторного треугольника.

Векторы понадобятся и портному для правильного составления выкроек одежды.

1. Выводы

Выполнив работу, я увидела, что векторы находят широкое применение в геометрии и в прикладных науках, где используются для представления величин, имеющих направление (силы, скорости и т. п.).

Вектор может служить моделью для любого явления, характеризующегося величиной и направлением. Так, в физике – это сила, ускорение, скорость; в химии – это изображения строения атома, изображения химических реакций; в биологии – это модель переноса вирусов, процессов клонирования и создания вакцин; в географии – это модель ветра, течения. Таким образом, векторное исчисление является универсальным инструментом, позволяющим создавать математические модели физических, химических и биологических процессов. Векторы широко используются в экономике и компьютерной графике, при построении вычислительных нейронных структур и всем известных популярных социальных сетей. Умение оперировать с объектами посредством векторного исчисления помогает находить удобные и наглядные пути решения сложных задач, поэтому хорошее знание этого раздела школьной математики необходимо каждому, чья будущая профессия связана с техникой, компьютерами, естественными науками, пространственным мышлением.

Литература:

Башмаков М.А. Что такое вектор?-2-е изд., стер.- М.: Квант, 1976.-221с.

Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.-3-е изд., стер. - М.: Наука, 1978.-186с.

Гусятников П.Б. Векторная алгебра в примерах и задачах.-2-е изд., стер.- М.: Высшая школа, 1985.-302с.

Зайцев

В.В. Элементарная математика. Повторительный курс.-3-е изд., стер.- М.: Наука,1976.-156с.

Коксетер Г.С. Новые встречи с геометрией.-2-е изд., стер. - М.: Наука,1978.-324с.

Погорелов А.В. Аналитическая геометрия.- 3-е изд., стер. - М.: Квант,1968.-235с.

Интернет –источники:

https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/401756

http://www.microarticles.ru/article/primenenie-vektorov-v-prikladnih-naykah.html

http://online.mephi.ru/courses/physics/atomic_physics/data/course/5/5.5.html

http://www.sworld.com.ua/konfer47/32.pdf

https://flot.com/publications/books/shelf/rulkov/24.htm

Приложение 1.

8

Отдел образования администрации города Енакиево

Муниципальная образовательная организация «Общеобразовательная школа №11 города Енакиево»

Конкурс ученических творческих проектов

«Математика вокруг нас»

Номинация: математическое моделирование

Творческая работа на тему

«ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРов»

Выполнила:

Ученица 9 класса

Сабельникова Дарья

Руководитель:

Учитель математики

Икаева Марина Александровна

Енакиево 2018

МОО «Общеобразовательная школа №11 города Енакиево

Конкурс творческих математических проектов

«Математика вокруг нас»

Секция – математическое моделирование

Векторы

Выполнила

ученица 9 класса

Сабельникова Дарья

Руководитель

учитель математики

Икаева Марина

Александровна

Енакиево 2018

ЦЕЛЬ МОЕЙ РАБОТЫ:

Рассмотреть векторы как математические модели реальных процессов.

Перед собой я поставила такие задачи:

• Изучить литературу по данной теме;
• Изучить понятие «вектор» в предметах естественно-научного цикла;
• Узнать, как осуществляется моделирование с помощью векторов.
• Установить, используется ли данное понятие в жизни;

2.ВОЗНИКНОВЕНИЕ ПОНЯТИЯ ВЕКТОР

Вектор - направленный отрезок, то есть отрезок, для которого указано , какая из его граничных точек является началом, а какая - концом

Уильям Гамильтон-

Герман Грассман

ирландский математик

немецкий физик- математик

Создал общую теорию действий над векторами

Впервые употребил

термин «вектор» в 1845 г

Понятие «вектор» стало широко использоваться в математике в XIX веке, когда стал активно развиваться раздел математики «Комплексные числа». Векторы использовались для наглядного представления таких чисел.

3.ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРОВ В РАЗЛИЧНЫХ НАУКАХ

3.1. В ФИЗИКЕ

Примеры некоторых векторных величин в физике:

• Скорость
• Ускорение
• Сила
• Импульс
• Напряженность электрического поля

Модель равномерного движения в одном и в разных направлениях

Модель равномерного движения по окружности

Модель направления силы тяжести и силы всемирного тяготения

Строение атома азота

3.2. В ХИМИИ

Векторы используются для наглядного представления строения атома

Химические реакции записываются с помощью уравнений, в записи которых используются векторы.

Пример, реакция обмена, взаимодействие хлорида кальция и нитрата серебра с образованием осадка хлорида серебра:

CaCl2(ж) + 2AgNO3(ж) Ca(NO3)2(ж) + 2AgCl(тв)

Векторные частицы в химии: фотон, глюон, W- и Z-бозоны, векторные мезоны, ортопозитроний.

Векторная модель атома

3.3 В БИОЛОГИИ

Суть понятия «вектор» - это направленность. В биологии этим словом называют организм, который переносит паразита от одного организма к другому.

Передача энцефалита человеку

В генетике вектором считается молекула нуклеиновой кислоты, которая используется для передачи генетического материала другой клетке. С помощью организмов векторов синтезируются различные лекарственные средства, в том числе и антибиотики, ферменты, необходимые человеку (инсулин)

Организмы-векторы: клещ, коза

При конструировании противовирусных вакцин немаловажное значение имеет создание специального вектора-носителя, обеспечивающего адресную доставку генов и их защиту от действия нуклеаз крови

3.4. В ГЕОГРАФИИ

Ветер – характеризуемый величиной и направлением, рассматривается как вектор. Распределение ветра исследуется в векторной форме.

С помощью векторов показывают направление движения воздушных масс в циклонах и антициклонах

Вектор также служит моделью всевозможных течений. Горизонтальные перемещения водных масс в морях и океанах называются морскими течениями. К элементам, характеризующим течение, относятся направление и скорость. Значит, течение – векторная величина. Течение реки, подводные течения океанов показывают с помощью векторов.

4. В ПРОФЕССИЯХ

При проектировке конструкций, мостов, машин, самолетов, судов векторы используют инженеры и архитекторы

Швея использует векторы для

правильного построения выкроек одежды

Капитан корабля использует векторы для

определения направления и силы кажущегося ветра

Выводы:

Выполнив работу, я увидела, что векторы находят широкое применение в геометрии и в прикладных науках, где используются для представления величин, имеющих направление (силы, скорости и т. п.).

Вектор может служить моделью для любого явления, характеризующегося величиной и направлением. Так, в физике – это сила, ускорение, скорость; в химии – это изображения строения атома, изображения химических реакций; в биологии – это модель переноса вирусов, процессов клонирования и создания вакцин; в географии – это модель ветра, течения. Таким образом, векторное исчисление является универсальным инструментом, позволяющим создавать математические модели физических, химических и биологических процессов.

Литература:

Башмаков М.А. Что такое вектор?-2-е изд., стер.- М.: Квант, 1976.-221с.

Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.-3-е изд., стер. - М.: Наука, 1978.-186с.

Гусятников П.Б. Векторная алгебра в примерах и задачах.-2-е изд., стер.- М.: Высшая школа, 1985.-302с.

Зайцев

В.В. Элементарная математика. Повторительный курс.-3-е изд., стер.- М.: Наука,1976.-156с.

Коксетер Г.С. Новые встречи с геометрией.-2-е изд., стер. - М.: Наука,1978.-324с.

Погорелов А.В. Аналитическая геометрия.- 3-е изд., стер. - М.: Квант,1968.-235с.

Интернет –источники:

https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/401756

http://www.microarticles.ru/article/primenenie-vektorov-v-prikladnih-naykah.html

http://online.mephi.ru/courses/physics/atomic_physics/data/course/5/5.5.html

http://www.sworld.com.ua/konfer47/32.pdf

https://flot.com/publications/books/shelf/rulkov/24.htm