Учебное пособие "Алгебра логики. Логические операции"

Упражнение 5

Высказывания бывают общими, частными или единичными. Общее высказывание начинается со слов: все, всякий, каждый ни один. Частное высказывание начинается со слов: некоторые, большинство и т.п. Во всех других случаях высказывание является единичным.

Какие из приведенных примеров являются частными высказываниями, а какие общими?

• Не все книги содержат полезную информацию.
• Кошка является домашним животным.
• Некоторые ученики двоечники.
• Все ананасы приятны на вкус.
• Многие растения обладают целебными свойствами.
• Любой неразумный человек ходит на руках.
• А – первая буква в алфавите.

• До сих пор мы рассматривали простые высказывания. На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания.
• Например, высказывание “Процессор является устройством обработки информации и принтер является устройством печати” является составным высказыванием, состоящим из двух простых, соединенных союзом “и”.

Сложное логическое выражение содержит высказывания, объединенные логическими операциями.

Например:

1. В библиотеке можно взять книгу или встретить знакомого. Это сложное логическое выражение, так как оно состоит из двух простых. В библиотеке можно взять книгу. В библиотеке можно встретить знакомого. Объединение этих двух высказываний происходит при помощи логической операции или.

2. Учитель должен быть умным и справедливым. Это сложное логическое выражение. Оно состоит из двух простых. Объединение двух простых высказываний происходит при помощи логической операции и .

• Если истинность или ложность простых высказываний устанавливается в результате соглашения на основании здравого смысла, то истинность или ложность составных высказываний вычисляется с помощью использования алгебры высказываний.
• Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений может быть получено новое суждение.

Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения.

Тогда, если умозаключение проводится в соответствии с правилами формальной логики, то оно будет истинным. В противном случае можно прийти к ложному умозаключению.

Например :

• Все металлы – простые вещества. Литий – металл. Литий – простое вещество.
• Все школьники – отличники. Вовочка – школьник. Вовочка – отличник.

Упражнение 6.

• Дано высказывание “Все углы равнобедренного треугольника равны”. Путем умозаключений получить высказывание “Этот треугольник равносторонний”.
• Оцените правильность следующего рассуждения: сидящий встал; кто встал, тот стоит; значит, сидящий стоит.

Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание.

Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

Алгебра логики

• В алгебре высказываний суждениям (простым высказываниям) ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита. Рассмотрим два простых высказывания:
• А = “Два умножить на два равно четырем”. В — “Два умножить на два равно пяти”.
• Высказывания, как уже говорилось ранее, могут быть истинными или ложными. Истинному высказыванию соответствует значение логической переменной 1, а ложному — значение 0. В нашем случае первое высказывание истинно (А = 1), а второе ложно (В = 0).

Алгебра логики

• В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: “истина” (1) и “ложь” (0). В алгебре высказываний над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания. Для образования новых высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок “и”, “или”, “не”.

Алгебра логики

Логическая операция – это способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.

Рассмотрим три базовых логических операций – инверсию, конъюнкцию, дизъюнкцию и дополнительные – импликацию и эквивалентность.

Логическая операция

Название

Инверсия

(от лат. inversion – переворачиваю) Инверсия логической переменной истина, если переменная ложна, и, наоборот, инверсия ложна, если переменная истинна.

Соответствует союзу

Отрица - ние «не»

Обозначение знаками

не А

Арифметическая операция

¬ А

0 → 1

1 → 0

Логическая операция

Название

Конъюнкция

( от лат. conjunction – связываю)

Конъюнкция двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания, истинны.

Соответствует союзу

Логическое умножение

Обозначение знаками

А и В

Арифметическая операция

А ^ В

А · В

А & В

0 ^ 0 = 0

0 ^ 1 = 0

1 ^ 0 = 0

1 ^ 1 = 1

Алгебра логики

Логическая операция

Название

Дизъюнкция

(от лат. disjunction – различаю)

Дизъюнкция двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Соответствует союзу

Логическое сложение

Обозначение знаками

А или В

Арифметическая операция

А v В

А + В

А U В

0 v 0 = 0

0 v 1 = 1

1 v 0 = 1

1 v 1 = 1

Алгебра логики

Логическая операция

Название

Импликация

(от лат. implication – тесно связывать)

Импликация двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда из истинного основания следует ложное следствие .

Соответствует союзу

Логическое следование

Обозначение знаками

Если А,

то В;

Когда А, тогда и В

Арифметическая операция

А  В

А  В

А–условие

В-следствие

0  0 = 1

0  1 = 1

1  0 = 0

1  1 = 1

Алгебра логики

Логическая операция

Название

Эквивалентность

(от лат. equivalents - равноценность) Эквивалентность двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны

Соответствует союзу

Логическое равенство

Обозначение знаками

А тогда и только тогда, когда В

Арифметическая операция

А  В

А  В

А ~ В

А ≡ В

0  0 = 1

0  1 = 0

1  0 = 0

1  1 = 1

Правило построения отрицания к простому высказыванию:

Упражнение 7.

Даны два простых высказывания:

А= “Щука – рыба”;В=“Ворона – певчая птица”.

Составьте из них все возможные составные (сложные) высказывания и определите их истинность

При вычислении значения логического выражения (формулы) логические операции вычисляются в определенном порядке, согласно их приоритету:

• инверсия,
• конъюнкция,
• дизъюнкция,
• импликация и эквивалентность.

Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка действий используются скобки.

Например: дана формула

Порядок вычисления:

• Инверсия
• Конъюнкция
• Дизъюнкция
• Импликация
• Эквивалентность

Упражнение 8.

Дана формула

Определите порядок вычисления:

Упражнение 8.

• Число 456 трехзначное и четное.
• Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.
• Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
• Луна – спутник Земли.
• На уроке химии ученики выполняли лабораторную работу, и результаты исследований записывали в тетрадь.
• Если число оканчивается на 0, то оно делится на 10.
• Чтобы погода была солнечной, достаточно, чтобы не было ни ветра, ни дождя.
• Если у меня будет свободное время и не будет дождя, тоя не буду писать сочинения, а пойду на дискотеку.
• Без Вас хочу сказать Вам много При Вас я слушать Вас хочу.
• Если человек с детства и юности своей не давал нервам властвовать над собой, то они не привыкнут раздражаться и будут ему послушны.

Упражнение 8.

2. Постройте отрицания следующих высказываний:

• На улице сухо.
• Сегодня выходной день.
• Ваня не был готов сегодня к урокам.
• Неверно, что число 3 не является делителем числа 198.
• Некоторые млекопитающие не живут на суше.
• Неверно, что число 17 – простое.

Упражнение 8.

3. Из каждых трех выберите пару высказываний, являющихся отрицаниями друг друга:

• “ Луна – спутник Земли”, “Неверно, что Луна спутник Земли”, “Неверно, что Луна не является спутником Земли”;
• “ 2007 2008”, “2007 ? 2008”;
• “ Прямая а перпендикулярна прямой с ”; “Прямая а не параллельна прямой с ”; “Прямая а не пересекается с прямой с ”.

Упражнение 8.

Закрепление изученного материала.

• Какие из предложений являются высказываниями? Ответ обосновать.
• Кто последний?
• Буква «д» согласная.
• Поступайте в университет!
• Все ученики нашей школы любят математику.
• Париж – столица Франции.
• Все кошки серы.
• Логика – это наука, изучающая законы и формы мышления.

Закрепление изученного материала.

Закрепление изученного материала.