Учебный проект " Принцип Дирихле"

МОУ «Средняя Образовательная Школа №15 с углубленным изучением отдельных предметов имени героя Советского Союза Расковой Марины Михайловны» Энгельсского муниципального района Саратовской области

Проектно-исследовательская работа

по теме «Принцип Дирихле»

Автор работы:

Савченко Алексей

ученик 7 б класса

МОУ «СОШ №15»

Руководитель и консультант:

Затеева Валентина Павловна

учитель алгебры

г. ЭНГЕЛЬС

2018-2019 уч. год

Содержание

1. Введение…………………………………………………………………….2

2. Биография Дирихле………………………………………………………...3

3. Формулировки принципа Дирихле………………………………………..5

4. Решение задач на принцип Дирихле………………………………...……7

5. Вывод………………………………………………………………………11

6. Список использованной литературы…………………………………….12

7. Приложение 1……………………………………………………………..13

Введение

В этом учебном году, после победы в одной из олимпиад по математике, учитель поощряет мои успехи, даря сборник логических задач. В этом сборнике я наткнулся на непонятный мне «принцип Дирихле» и поставил себе цель - узнать о создателе принципа Дирихле, о том, какие существуют формулировки этого принципа, и помогает ли он решать сложные логические задачи. Моими задачами является: изучить краткую биографию создателя принципа, сформулировать принцип Дирихле, найти задачи, решение которых основывается на принципе Дирихле и сгруппировать полученные знания в проект. Я предположил, что принцип Дирихле позволяет решать сложные логические задачи, ответ на которые тяжело найти другим способом. Объектом моего проекта является метод решения логических задач, а предметом – принцип Дирихле. Во время разработки проекта я использовал следующие методы исследования: сбор, анализ и систематизацию информации. Работа выполнялась с 1-го сентября до 1-го мая.

1. Биография Дирихле

Математика – одна из сложнейших наук, и далеко не каждому человеку под силу постичь даже её азы, не говоря уже о том, чтобы сделать научные открытия в этой области. Но некоторым людям это удаётся просто блестяще. Одним из таких был Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле - учёный, значительно продвинувший науку вперёд. А его научные исследования и труды послужили «рождению» многих известных математиков. Дирихле (с учетом этимологии его правильнее было бы называть Диришле) родился 13 февраля 1805 года в вестфальском городе Дюрене в семье почтмейстера. Его предки были выходцами из бельгийского городка Ришле (Richelet), этим обусловлено происхождение необычной для немецкого языка фамилии. Никто Дирихле специально не прививал любовь к математике. Интерес к этой науке проснулся у него с самого раннего детства, который в дальнейшем стал смыслом всей его жизни и прославил на весь мир.

До двенадцати лет Дирихле учился в обычной общеобразовательной школе, после чего он поступил в гимназию в Бонне, где проучился два года. История умалчивает, почему он избрал эту гимназию. Далее Дирихле обучается в Кёльнской гимназии. Здесь одним из его учителей был сам Георг Ом.

В 1822 году, когда обучение в гимназии было завершено, он отправляется в Париж, в этом городе он находился до 1827 года. Здесь Дирихле проживал в съёмной комнате у генерала Фуа и тут же работал в этой семье учителем. В свободное от работы время он посещал лекции во французском колледже, изучал научные труды других математиков.

В Париже Дирихле знакомится с уже известными учёными. Вращение в кругу таких людей пробудило в нём исследовательский интерес и послужило его дальнейшей деятельности на математическом поприще.

В 1825 году Дирихле вместе с А. Лежандром доказал великую теорему Ферма для частного случая n≤5. В 1834 Дирихле сформулировал знаменитый «принцип ящиков». Так звучит в переводе на немецкий принцип Дирихле. Свои исследования ученый проводил с кроликами и контейнерами. Математику удалось сформулировать принцип, который обеспечивает успешное решение задач по математике уже многие годы. В 1855 году Дирихле становится преемником К. Гаусса профессором высшей математики в Гёттингенском университете. В числе его достижений – доказательство сходимость рядов Фурье. У Дирихле не было монументальных и обширных научных трудов, но все его исследования, наблюдения и трактаты издавались в математических научных журналах. Также сохранились лекции Дирихле. Всё это дало серьёзный толчок развитию математики в Германии, а также послужило примером для начинающих учёных. Труды Дирихле сыграли большую роль в исследовательской деятельности других математиков, которые на их основе сделали новые открытия. Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле скончался 5 мая 1859 года. Ему было всего пятьдесят четыре года. Он умер и похоронен в Гёттингене. Его столь ранний уход из жизни связан с тем, что он всю свою жизнь посвятил науке, при этом, не отдавая должного внимания своему здоровью. Болезни дали о себе знать и стали причиной его смерти.

Имя Дирихле и его научные открытия в математике навсегда останутся в истории. В честь него ежегодно в Германии, в частности, в университетах, где он трудился, в день его рождения проходят различные памятные мероприятия. Это также является наглядным подтверждением значимости математических достижений Дирихле и их актуальности в настоящее время. Этот немецкий учёный, как я считаю, внес огромный вклад в развитие математики.

1. Формулировки принципа Дирихле.

Познакомившись с краткой биографией Дирихле, мне хотелось узнать, что же это за принцип и как он звучит. В итоге я понял, что формулировок у принципа несколько, но смысл у них один.

Дирихле продемонстрировал, что если поместить, допустим, 5 кроликов в 7 контейнеров, то, по крайней мере, в одном контейнере будет находиться 5/7 от одного животного. Однако кролика нельзя разделить на части, следовательно, хотя бы одна клетка будет пустовать (5/7 равно 0 целых). Точно так же и в обратную сторону, если кроликов 7, а ящиков 5, то хотя бы в одном из них - 2 кролика (7/5 равно 2 целых).

В несерьезной форме принцип Дирихле гласит: «Нельзя посадить 7 кроликов в 3 клетки, чтобы в каждой было не больше 2 кроликов». Более общая формулировка принципа Дирихле звучит так: «Если z зайцев сидят в k клетках, то найдется клетка, в которой не менее z/k зайцев».

В роли зайцев могут выступать различные предметы и математические объекты - числа, отрезки, места в таблице и т. д.

Принцип Дирихле можно сформулировать на языке множеств и отображений. «При любом отображении множества P, содержащего n+1 элементов, в множество Q, содержащее n элементов, найдутся два элемента множества P, имеющие один и тот же образ» - так звучит еще одна формулировка.

Несмотря на совершенную очевидность этого принципа во всех задачах часто нелегко догадаться, что считать «зайцем», что – «клеткой», и как использовать наличие двух «зайцев», попавших в одну «клетку». С помощью принципа Дирихле обычно доказывается существование некоторого объекта, не указывая алгоритм его нахождения или построения. Это даёт так называемое неконструктивное доказательство - мы не можем сказать, в какой именно клетке сидят два зайца, а знаем только, что такая клетка есть. Также формулировки отличаются в зависимости от языка. В английском и некоторых других языках утверждение известно как «принцип голубей и ящиков», когда объектами являются голуби, а контейнерами - ящики. В немецком языке оно называется «принцип ящиков».

1. Решение задач на принцип Дирихле.

Далее, после того, как я узнал, как звучит принцип Дирихле, мне захотелось применить свои знания на практике. В подаренном мне сборнике олимпиадных заданий оказалось достаточно задач на принцип Дирихле. Также я посмотрел задачи, которые предлагает «Интернет».

Задача 1

На плоскости нарисовали 5 прямых. Докажите, что угол между какими-то двумя из них не больше 36°. (Если какие-нибудь прямые параллельны, считайте, что угол между ними равен 0°.)

Решение

Отметим на плоскости произвольную точку и переместим все прямые так, чтобы они проходили через эту точку. Величины углов между прямыми при этом не изменятся. Теперь мы получили пять прямых, проходящих через одну точку, которые образовали 10 углов (внутренние области которых не пересекаются). Сумма величин этих углов равна 360°. Если бы все эти величины были больше 36°, то их сумма была бы больше 360°. Следовательно, величина, хотя бы одного из этих десяти углов, не превышает 36°.

Задача 2

По кругу записаны 7 натуральных чисел. Известно, что в каждой паре соседних чисел одно делится на другое. Докажите, что найдётся пара несоседних чисел с таким же свойством.

Решение

Соединим пары соседних чисел так, чтобы стрелка шла от кратного к делителю (если соседние числа равны, то направление стрелки выбираем произвольно). Общее количество стрелок нечётно (семь), поэтому их направления не могут чередоваться. Следовательно, какие-то две соседние стрелки направлены в одну сторону, скажем, X → Y → Z. Отсюда следует, что X делится на Z, но X и Z не соседние.

Задача 3

Олимпиаду писали 70 школьников. Аркаша набрал 33 балла, остальные меньше. Докажите, что по крайней мере три школьника набрали одинаковое количество баллов.

Решение

Предположим, что не нашлось таких трёх школьников. Тогда одинаковое количество баллов (от 0 до 32) набрали не более двух школьников. Тогда школьников, не считая Аркаши, не более 33·2 = 66, а их 69. Противоречие.

Задача 4

Докажите, что в любой компании есть двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании.

Решение

Пусть в компании n человек. Тогда у каждого человека имеется от 0 до n − 1 друзей. Таким образом, количество друзей может принимать n различных значений: 0, 1, 2, ..., n − 1. Поэтому если бы n человек имели различное число друзей, то в компании присутствовало бы по одному человеку, имеющему 0, 1, 2, ..., n − 1 друзей. С другой стороны, если есть человек, имеющий n − 1 друга, то он дружит со всеми, следовательно, нет человека, который имеет 0 друзей. Противоречие.

Задача 5

Можно ли таблицу 5×5 заполнить числами −1, 0, 1 так, чтобы суммы во всех строках, во всех столбцах и на главных диагоналях были различны?

Решение

Каждая из этих сумм состоит из 5 слагаемых, принимающих одно из значений −1, 0, 1, поэтому каждая из сумм принимает целочисленное значение в диапазоне от −5 до 5. Всего возможных значений сумм — 11. Поскольку 11

Замечание

В общем случае: в таблице n × n можно получить лишь 2n + 1 разных сумм, т. к. каждая из сумм принимает значения от − n до n, а необходимо 2n + 2.

Ответ: нельзя

Вывод

Несмотря на то, что принцип Дирихле кажется очевидным, его применение очень эффективно. Таким образом, многие задачи в большинстве случаев решаются просто и изящно. Применяя принцип Дирихле важно правильно определить: что взять за «зайцев», а что - за «клетки». Во время моего исследования я познакомился с биографией известного немецкого математика, изучил разнообразие формулировок принципа Дирихле и попробовал свои силы в решении необычных задач. В итоге, гипотеза «принцип Дирихле позволяет решать сложные логические задачи, ответ на которые тяжело найти другим способом» подтверждена. Я считаю, что проделанная мною работа, дала положительные результаты. Так как большое количество логических задач можно решить только этим способом. Этот метод необходимо знать и применять его на практике. Я собираюсь продолжить мои исследования дальше и найти еще новые способы решения логических задач.

Список использованной литературы

1. А. В. Спивак Математический кружок. 6-7 классы. Москва: МНЦМО, 2018

2. М. Аксенова, В. Володин Энциклопедия для детей. Аванта, 1998

3. Ю. С. Осипов Большая Российская энциклопедия. Большая Российская энциклопедия, 2004

4. А. Н. Боголюбов Математики. Механики. Биографический справочник. Киев: Наукова думка, 1983

5. А. И. Бородин Биографический словарь деятелей в области математики. Киев: Радянська школа, 1979

6. https://ru.wikipedia.org –свободная энциклопедия «Википедия»

7. http://mmmf.msu.ru – Малый мехмат МГУ

8. https://multiurok.ru – образовательная площадка «Мультиурок»

Приложение 1

Разбиение шахматной доски на 32 пары клеток при решении задачи 7