Углы, образованные параллельными прямыми

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Геометрия, Глава III, 7 класс

К учебнику Л.С.Атанасяна

Автор: Софронова Наталия Андреевна,

учитель математики высшей категории

МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»

Оршанского района Республики Марий Эл

Теорема, обратная данной

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны .

Теорема: Если треугольник – равнобедрен-ный, то в нём углы при основании равны .

Условие теоремы (Дано): треугольник - равнобедренный

Заключение теоремы (Доказать): углы при основании равны

Условие теоремы : углы при основании равны

Заключение теоремы : треугольник - равнобедренный

НОВОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ

Обратная

теорема

Если в треугольнике два угла

равны, то он - равнобедренный .

Теорема, обратная данной

Всегда ли обратное утверждение верно?

Теорема

Обратная теорема

Если сумма двух углов равна 180 0 , то углы - смежные

Сумма смежных углов

равна 180 0 .

Если углы равны,

то они - вертикальные

Вертикальные углы равны

Если в треугольнике биссектриса, проведенная к одной из его сторон, является и медианой, проведенной к этой стороне, то этот треугольник -равнобедренный

В равнобедренном треугольнике, биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой

Если в треугольнике биссектриса, проведенная к одной из его сторон, является и высотой, проведенной к этой стороне, то этот треугольник -равнобедренный

Е сли треугольник - равнобедренный, то биссектриса, проведенная к основанию , является и медианой и высотой

Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей

Всегда ли обратное утверждение верно?

Теорема

Обратная теорема

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны то прямые параллельны .

c

P

M

а

1

2

N

b

Но это противоречит аксиоме параллельных , значит наше допущение неверно

c

P

M

а

1

МЕТОД ОТ

ПРОТИВНОГО

N

2

b

1

2

Выдвигаем предположение, противоположное тому, что надо доказать

Путем рассуждений приходим к противоречию с известной аксиомой или теоремой

3

Делаем вывод о неверности нашего предположения и верности утверждения теоремы

Но это противоречит аксиоме параллельных

Следовательно, наше допущение неверно

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны

СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ

Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой

c

а

1

2

b

Углы, образованные

двумя параллельными прямыми и секущей

Теорема

Обратная теорема

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны , то прямые параллельны .

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны

с

1

а

3

2

b

Углы, образованные

двумя параллельными прямыми и секущей

Теорема

Обратная теорема

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 0 , то прямые параллельны .

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 0

с

а

1

3

2

b

Прямые а и b параллельны.

Найдите угол 2.

c

c

c

а

а

а

1

2

2

b

b

b

2

1

1

Прямые а и b параллельны.

Найдите неизвестные углы

а

а

1

1

2

2

4

4

3

3

b

b

5

5

6

6

8

8

7

7

Прямые а и b параллельны.

Найдите неизвестные углы

а

1

4

b

3

2

Найдите неизвестные углы

а

1

4

b

3

2

Найдите неизвестные углы

а

4

2

b

3

1

Найдите неизвестные углы

m

n

а

1

8

7

b

6

2

5

с

3

4

Прямые а и b параллельны. Найдите неизвестные углы, если сумма двух накрест лежащих углов равна 100 0 .

а

1

Прямые а и b параллельны. Найдите неизвестные углы, если сумма двух соответст-венных углов равна 260 0 .

2

4

3

b

5

6

Прямые а и b параллельны. Найдите неизвестные углы, если разность двух одно-сторонних углов равна 50 0 .

8

7