«Углублённое изучение курса математики 10 класса. Матрица системы линейных уравнений»

Углублённое изучение курса математики 10 класса. Матрица системы линейных уравнений

Учебный курс «Алгебра и начала математического анализа»

Содержательно-методические линии:

• Числа и вычисления
• Функции и графики
• Уравнения и неравенства
• Начала математического анализа
• Множества и логика

Уравнения и неравенства

Решение систем линейных уравнений. Матрица системы линейных уравнений. Определитель матрицы 2×2, его геометрический смысл и свойства, вычисление его значения, применение определителя для решения системы линейных уравнений. Решение прикладных задач с помощью системы линейных уравнений. Исследование построенной модели с помощью матриц и определителей.

Планируемые предметные результаты:

• свободно оперировать понятиями:
• система линейных уравнений, матрица,
• определитель матрицы 2 × 2 и его геометрический смысл, использовать свойства определителя 2 × 2 для вычисления его значения,
• применять определители для решения системы линейных уравнений,
• моделировать реальные ситуации с помощью системы линейных уравнений,
• исследовать построенные модели с помощью матриц и определителей, интерпретировать полученный результат;

Понятие системы линейных уравнений

Действия над уравнениями системы

• Умножать обе части уравнения на число, не равное 0
• Прибавлять(вычитать) к одному уравнению другое, умноженное на некоторое число , не равное 0
• Переставлять уравнения местами
• Вычеркивать уравнения вида 0х 1 + 0х 2 + 0х 3 +…+ 0х n =0
• Переставлять неизвестные местами.

Свойства определителей

(1.6)

Свойство 1.2.1 Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами, т.е.

Действительно, согласно (1.5) получим

и

Из свойства 1.2.1 следует, что свойства, установленные для строк определителя, справедливы и для его столбцов.

Свойства определителей

то

Свойство 1.2.2 При перестановке местами двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак на противоположный.

Действительно, если

Свойства определителей

Свойство 1.2.3 Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

Например,

Свойство 1.2.4 Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.

Пусть это число K

Свойство 1.2.4 означает, что общий множитель всех элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

Свойства определителей

Свойство 1.2.5 Определитель, у которого элементы двух его строк (столбцов)

пропорциональны, равен нулю.

Действительно ,

при любом k.

Свойство определителей

Свойство 1.2.6 Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя есть сумма двух слагаемых,

то определитель равен сумме двух определителей, у одного из них элементами соответствующей строки

являются первые слагаемые, у другого вторые. Оставшиеся элементы этих определителей те же,

что и у данного.

Пусть

.

Свойство определителей

Свойство 1.2.7 Определитель не изменится, если к элементам какой-либо его строки (столбца) прибавить

соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Действительно, пусть

Тогда, согласно свойствам 1.2.5 и 1.2.6, получим