Угол между прямой и плоскостью

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и ее ортогональной проекцией на данную плоскость.

Считают также, что прямая, перпендикулярная плоскости, образует с этой плоскостью прямой угол.

Теорема

Угол между наклонной и плоскостью является наименьшим из всевозможных углов между этой наклонной и прямыми, лежащими в данной плоскости.

Доказательство. Пусть AB - наклонная к плоскости π , A’B - ее ортогональная проекция , c - прямая в плоскости π , проходящая через точку B .

Д ока жем , что угол ABA’ меньше угла ABC . Для этого на прямой с отложим отрезок BC , равный A’B . В треугольниках А BA’ и ABC сторона А B общая, A’B = BC и AA’ AC . Следовательно, угол AB A’ меньше угла A B C .

Упражнение 1

Прямые a и b образуют с плоскостью α равные углы. Будут ли эти прямые параллельны?

Ответ: Нет.

Упражнение 2

Две плоскости образуют с данной прямой равные углы. Как расположены плоскости относительно друг друга?

Ответ: Параллельны или пересекаются.

Упражнение 3

Под каким углом к плоскости нужно провести отрезок, чтобы его ортогональная проекция на эту плоскость была вдвое меньше самого отрезка?

Ответ: 60 о .

Упражнение 4

Может ли катет равнобедренного прямоугольного треугольника образовать с плоскостью, проходящей через гипотенузу, угол в 60°? Каков наибольший угол между катетом и этой плоскостью?

Ответ: Нет, 45 о .

Упражнение 5

Одна из двух скрещивающихся прямых пересекает плоскость под углом 60°, а другая перпендикулярна этой плоскости. Найдите угол между данными скрещивающимися прямыми.

Ответ: 30 о .

Упражнение 6

Будут ли в пирамиде боковые ребра равны, если они образуют равные углы с плоскостью основания?

Ответ: Да.

Упражнение 7

Через сторону квадрата проведена плоскость, составляющая с диагональю квадрата угол 30°. Найдите углы, которые образуют с плоскостью стороны квадрата, наклонные к ней.

Ответ: 45 о .

Упражнение 8

Основание равнобедренного треугольника лежит в плоскости π (плоскость треугольника не совпадает с плоскостью π ). Какой из углов больше: угол наклона боковой стороны к плоскости π или угол наклона высоты, опущенной на основание треугольника, к плоскости π ?

Ответ: Угол наклона высоты.

Упражнение 9

Из вершины A квадрата ABCD перпендикулярно его плоскости проведен отрезок AK , равный 3. Из точки K опущены перпендикуляры на стороны BC и CD . Перпендикуляр из точки K к стороне BC равен 6. Найдите углы, которые образуют эти перпендикуляры с плоскостью квадрата.

Ответ: 30 о .

Куб 1

В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой AA 1 и плоскостью A BC .

Ответ: 90 o .

Куб 2

В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой AA 1 и плоскостью A B 1 C 1 .

Ответ: 45 o .

Куб 3

В кубе A … D 1 найдите тангенс уг ла между прям ой AA 1 и плоскостью BC 1 D .

Ответ:

Куб 4

В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой AB 1 и плоскостью ABC .

Ответ: 45 o .

Куб 5

В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой AB 1 и плоскостью BCC 1 .

Ответ: 45 o .

Куб 6

В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой AB 1 и плоскостью ABC 1 .

Ответ: 30 o .

Куб 7

В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой AB 1 и плоскостью BB 1 D 1 .

Ответ: 30 o .

Куб 8

В кубе A … D 1 найдите синус уг ла между прям ой AC 1 и плоскостью BCC 1 .

Ответ:

Куб 9

В кубе A … D 1 найдите синус уг ла между прям ой AC 1 и плоскостью BB 1 D 1 .

Ответ:

Куб 1 0

В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой AC 1 и плоскостью BA 1 D .

Ответ: 90 o .

Пирамида 1

В правильном тетраэдре ABCD точка E – середина ребра CD . Н айдите у гол между прям ой AD и плоскостью ABE .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 30 о .

Пирамида 2

В правильном тетраэдре ABCD найдите косинус угла между прям ой AD и плоскостью ABC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Пусть E – середина ребра BC. Искомый угол равен углу DAE . В треугольнике DAE имеем: AD = 1, AE = DE =

Используя теорему косинусов, получим

Ответ:

Пирамида 3

В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите у гол между прямой SA и плоскостью ABC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение: Искомый угол равен углу SAC . В треугольнике SAC имеем: SA = SC = 1, AC = Следовательно, искомый угол равен 45 о .

Ответ: 45 о .

Пирамида 4

В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите у гол между прямой SA и плоскостью SBD .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение: Искомый угол равен углу SOA , где O – середина BD . В прямоугольном треугольнике SOA имеем: SA = 1, AO = Следовательно, искомый угол равен 45 о .

Ответ: 45 о .

Пирамида 5

В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAD .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Пусть E , F – середины ребер AD и BC. Искомый угол равен углу SEF . В треугольнике SEF имеем: EF = 1, SE = SF =

Используя теорему косинусов, получим

Ответ:

Пирамида 6

В правильной 6- ой пирамиде SA … F , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, н айдите угол между прямой SA и плоскостью ABC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Искомый угол равен углу SAD . Треугольник SAD равносторонний. Следовательно, = 60 о .

Ответ: 60 о .

Пирамида 7

В правильной 6- ой пирамиде SA … F , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, точка G – середина ребра SB . Н айдите угол между прямой AG и плоскостью ABC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Искомый угол равен углу GAH . Треугольник SAD прямоугольный равнобедренный. Следовательно, угол равен 45 о .

Ответ: 45 о .

Пирамида 8

В правильной 6- ой пирамиде SA … F , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, н айдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAF .

Решение. Пусть O – центр основания , G – середина AF. Искомый угол равен углу между прямой FO и плоскостью SAF . Опустим из точки O перпендикуляр OH на плоскость SAF . Тогда равен углу OFH . В треугольнике SOG имеем:

OG = , SO = , SG = .

Следовательно, OH = .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

В треугольнике OFH FH = , OF = 1. Следовательно,

Ответ:

Пирамида 9

В правильной 6- ой пирамиде SA … F , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, н айдите косинус угла между прямой BC и плоскостью SAF .

Решение. Пусть O – центр основания , G – середина AF. Искомый угол равен углу между прямой AO и плоскостью SAF . Опустим из точки O перпендикуляр OH на плоскость SAF . Тогда равен углу OAH . Из решения предыдущей задачи имеем:

OH = . В треугольнике OAH

OF = 1, AH = . Следовательно,

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

Пирамида 10

В правильной 6- ой пирамиде SA … F , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, н айдите косинус угла между прямой AC и плоскостью SAF .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

Призма 1

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямой AA 1 и плоскостью AB 1 C 1 .

Ответ:

Призма 2

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямой AA 1 и плоскостью A BC 1 .

Ответ:

Призма 3

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AB и плоскостью BB 1 C 1 .

Ответ: 60 o .

Призма 4

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой AB и плоскостью A 1 BC 1 .

Решение: Искомый угол равен углу B 1 A 1 O , где O – основание перпендикуляра, опущенного из точки B 1 на плоскость A 1 BC 1 . Из прямоугольного треугольника BB 1 D находим

Следовательно,

Призма 5

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой AB 1 и плоскостью BB 1 C 1 .

Решение: Искомый угол равен углу B 1 AD , где D – середина ребра BC . Следовательно,

Призма 6

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой AB 1 и плоскостью и ABC 1 .

Решение: Достроим треугольную призму до четырехугольной. BEE 1 B 1 – сечение, перпендикулярное CD . B 1 O перпендикулярен BE 1 . Искомый угол равен углу B 1 AO . Из прямоугольного треугольника BB 1 E 1 находим

Следовательно,

Призма 7

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между п рямой AA 1 и плоскостью ABC .

Ответ: 90 о .

Призма 8

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между п рямой AB 1 и плоскостью ABC .

Ответ: 45 о .

Призма 9

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между п рямой AC 1 и плоскостью ABC .

Решение: Искомый угол φ равен углу C 1 AC.

В прямоугольном треугольнике ACC 1 CC 1 = 1, AC 1 = 2. Следовательно, φ = 30 о .

Ответ: 30 о .

Призма 10

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между п рямой AD 1 и плоскостью ABC .

Решение: Искомый угол φ равен углу D 1 AD.

В прямоугольном треугольнике ADD 1 имеем: DD 1 = 1, AD = 2 .

Следовательно,

Ответ:

Призма 11

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между п рямой AA 1 и плоскостью AB D 1 .

Решение: Искомый угол φ равен углу A 1 AE 1 . В прямоугольном треугольнике A 1 AE 1 имеем: AA 1 =1; A 1 E 1 = . Следовательно, φ = 60 о .

Ответ: 60 о .

Призма 12

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите синус угла между п рямой AB 1 и плоскостью AB D 1 .

Решение: Из точки B 1 опустим перпендикуляр B 1 H на прямую BD 1 . Искомый угол φ равен углу B 1 AH . В прямоугольном треугольнике BB 1 D 1 имеем: BB 1 =1; B 1 D 1 = , BD 1 = 2. Следовательно, угол BD 1 B 1 равен 30 о и, значит, B 1 H =

В прямоугольном треугольнике AB 1 H имеем: AB 1 = , B 1 H = .

Следовательно,

Ответ:

Призма 13

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между п рямой AA 1 и плоскостью ABC 1 .

Решение: Искомый угол φ равен углу A 1 AO , где O – основание перпендику - ляра, опущенного из точки A 1 на прямую C 1 F 1 .

В прямоугольном треугольнике A 1 AO имеем: AA 1 =1; A 1 O = .

Следовательно,

Ответ:

Призма 14

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите синус угла между п рямой AB 1 и плоскостью AB С 1 .

Решение: Проведем прямые C 1 F 1 , B 1 D 1 и обозначим G 1 их точку пересечения. Из точки B 1 опустим перпендикуляр B 1 H на прямую BG 1 . Искомый угол φ равен углу B 1 AH . В прямоугольном треугольнике BB 1 G 1 имеем:

BB 1 =1; B 1 G 1 = , BG 1 = .

Из подобных треугольников BB 1 G 1 и B 1 HG 1 находим B 1 H =

В прямоугольном треугольнике AB 1 H имеем B 1 H = , AB 1 = .

Следовательно,

Ответ:

Призма 15

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между п рямой AA 1 и плоскостью AC D 1 .

Решение: Искомый угол φ равен углу A 1 AF 1 . В прямоугольном треугольнике A 1 AF 1 имеем: AA 1 =1; A 1 F 1 = 1 . Следовательно, φ = 45 о .

Ответ: 45 о .

Призма 16

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите синус угла между п рямой BC 1 и плоскостью BDE 1 .

Решение: Плоскость CFF 1 перпендикулярна плоскости BDE 1 и пересекает ее по прямой GG 1 . Прямая GG 1 образует с прямой C 1 F 1 угол 45 о . Из вершины C 1 опустим перпендикуляр C 1 H на прямую GG 1 . В прямоугольном треугольнике C 1 G 1 H имеем: C 1 G 1 = , C 1 G 1 H = 45 о .

Следовательно, C 1 H = .

В прямоугольном треугольнике BC 1 H имеем: BC 1 = ; C 1 H = . Следовательно,

Ответ:

Призма 17

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите тангенс между п рямой AA 1 и плоскостью AC E 1 .

Решение: Из точки E 1 опустим перпендикуляр E 1 G на прямую AC . Искомый угол φ равен углу EE 1 G . В прямоугольном треугольнике EE 1 G имеем: EE 1 =1; EG =

Следовательно,

Ответ:

Призма 18

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите синус угла между п рямой AB 1 и плоскостью AC E 1 .

Решение: Плоскость BB 1 E 1 перпендикулярна плоскости ACE 1 и пересекает ее по прямой QE 1 . В прямоугольном треугольнике QB 1 E 1 имеем: QB 1 = , B 1 E 1 = 2.

Высота B 1 H этого треугольника равна

В прямоугольном треугольнике AB 1 H имеем: AB 1 = , B 1 H =

Следовательно,

Ответ:

Призма 19

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между п рямой AA 1 и плоскостью AD E 1 .

Решение: Из точки F 1 опустим перпендикуляр F 1 G на прямую AD . Искомый угол равен углу FF 1 G .

В прямоугольном треугольнике FF 1 G имеем: FF 1 =1; FG =

Следовательно,

Ответ:

Призма 20

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите синус угла между п рямой AB 1 и плоскостью AD E 1 .

Решение: Плоскость BB 1 F 1 перпендикулярна плоскости ADE 1 и пересекает ее по прямой QF 1 . В прямоугольном треугольнике QB 1 F 1 имеем: QB 1 = 2, B 1 F 1 = . Высота B 1 H этого треугольника равна .

В прямоугольном треугольнике AB 1 H имеем: AB 1 = , B 1 H = ,

Следовательно,

Ответ:

Призма 21

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите синус угла между п рямой AC 1 и плоскостью AD E 1 .

Решение: Прямая B 1 С 1 параллельна плоскости ADE 1 . Следовательно, расстояние от точки C 1 до плоскости ADE 1 равно расстоянию от точки B 1 до этой плоскости и равно .

В прямоугольном треугольнике A С 1 H имеем: A С 1 = 2 , C 1 H = .

Следовательно,

Ответ: