Умные и необычные способы вычисления

УМНЫЕ И НЕОБЫЧНЫЕ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Выполнил : Агафонов Даниил,

ученик 7е класса

Руководитель работы : Шмакова Галина Николаевна,

учитель математики МАОУ «ФМШ №56» г. Улан-Удэ

Объект исследования:

устный счёт

Предмет исследования:

способы вычислений

Проблема:

найти и рассмотреть нестандартные приёмы устного быстрого счёта, не рассматриваемые непосредственно в школьном курсе математики

Гипотеза:

овладение приемами устного счета позволит повысить качество и скорость вычислений одноклассников

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

• поисковый  метод с использованием литературы и сети Интернет;
• практический  метод выполнения вычислений с применением нестандартных способов вычислений;
• анализ  полученных данных в ходе исследования.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

Показать различные способы устных вычислений

ЗАДАЧИ:

• изучить литературные источники и интернет-источники, в которых встречаются различные приемы быстрого счета;
• найти как можно больше различных необычных способов вычислений;
• научиться применять на практике самые интересные или более лёгкие способы вычислений;
• развить навыки самостоятельной работы: поиск информации, отбор и оформление найденного материала;
• провести практический эксперимент, пробный математический диктант в 7е классе;
• сделать вывод о подтверждении или опровержении выдвинутой гипотезы.

АКТУАЛЬНОСТЬ

• Сейчас, в наш век высоких технологий и повсеместного использования компьютера умение быстро и правильно производить в уме достаточно сложные вычисления ни в коем случае не утратило своей актуальности. Гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, например, быстро производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление. Такие навыки помогут человеку в учебе, в быту, в профессиональной деятельности. Кроме того, быстрый счет - настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения.
• За простыми действиями сложения, вычитания, умножения и деления скрываются тайны истории математики. Захотелось узнать эти тайны и доказать, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических компетенций.

ВВЕДЕНИЕ

Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики, в первую очередь, нас учат выполнять действия над числами. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе.

В своей работе я решил показать не только то, что сам процесс выполнения действия может быть интересным, но и что, хорошо усвоив приёмы быстрого счета, можно поспорить и с компьютером.

НЕМНОГО ИСТОРИИ

• Подсчитывать предметы люди научились ещё в древнем каменном веке - палеолите, десятки тысяч лет назад. Как это происходило? Вначале человек научился выделять единичные предметы. Например, из стаи волков, стада оленей он выделял одного вожака, из выводка птенцов - одного птенца и т. д. Научившись выделять один предмет из множества других, говорили: "один", а если их было больше - "много".
• Частые наблюдения множеств, состоящих из пары предметов (глаза, уши, крылья, руки), привели человека к представлению о числе два. До сих пор слово "два" на некоторых языках звучит так же, как "глаза" или "крылья".

СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

• Сложение путём округления. Приёмы вычитания. Сложение с использованием свойств действий с числами
• Сложение путём округления.
• Приёмы вычитания.
• Сложение с использованием свойств действий с числами

• Сложение с использованием свойств действий с числами
• Вычитание с использованием свойств действий с числами.
• Умножение двузначного числа на 11, 101, на 10101.
• Умножение на 5, 25,50
• Умножение на 9, 99, 999.

СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

• Умножение трёхзначных чисел от 101 до 109.
• Применение распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания к множителям, один из которых представлен в виде суммы или разности.
• Квадрат двузначных чисел, оканчивающихся на 5
• Умножение на 37
• Умножение на 22, 33, 99
• Крестьянский способ умножения
• Последовательное деление.
• Деление на 4,8
• Деление на 5, 50, 500.
• Деление на 25, 125.

РАССМОТРИМ НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ

Умножение двузначного числа на 11, 101, на 10101.

Чтобы число умножить на 11, к нему приписывают 0 и прибавляют исходное число.

Пример: 68х11 = 680 + 68 = 748

Пример: 312х11 = 3120 + 312 = 3432

Чтобы умножить число на 101, нужно приписать данное число к самому себе один раз, а на 10101 приписать к самому себе два раза

Пример: 99х101=9999.

Пример: 65х10101=656565

СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ

Умножение на 5, 25,50

1 . Чтобы умножить число на 5,нужно его умножить на10 и разделить на 2.

Пример: 120 х5=120 х10:2=1200:2=600.

2. Чтобы умножить число на 50,нужно его умножить на100 и разделить на 2

Пример: 24 х50=24х100:2=2400:2=1200.

3. Чтобы умножить число на 25, нужно его умножить на100 и разделить на 4

Пример: 36 х 25=36х100:4=3600:4=900

СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ

Умножение на 9, 99, 999.

• Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0, на 99 –два 0, на 999- три 0 и отнимают исходное число.

Пример: 241х 9 = 2410 – 241 = 2169

Пример: 18х99=1800-18=1782.

Пример: 23х999=23000-23=22977.

Умножение трёхзначных чисел от 101 до 109.

• Если к одному из чисел прибавить единицы второго числа, то это

будут первые цифры ответа, затем перемножить единицы - это будут

последние цифры ответа.

Пример: 105х107=11235.

СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ

Применение распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания к множителям, один из которых представлен в виде суммы или разности.

Пример: 8х318=8х(300+10+8)=2400+80+64=2544

Квадрат двузначных чисел, оканчивающихся на 5

Для этого умножают число десятков на число, на единицу большее, к произведению приписывают 25.

Пример: 35 2 =(3х4) в конец произведения подписываем 25 = 1225

УМНОЖЕНИЕ НА 37

• Прежде чем научиться (устно) умножать на 37, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 3. Чтобы устно умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111.
• 12 · 37 = (12 : 3) · 37 · 3 = 4 · 111 = 444;
• 54 · 37 = (54 : 3) · 111 = 18 · 111 = 1998;
• 234 · 37 = (234 : 3) · 111 = 78 · 111 = 8658

• Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, 44…, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 33 = 3 · 11; 44 = 4 · 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

42 · 22 = 42 ·2 · 11 = 84 · 11 = 924;

16 · 33 = 16 · 3 · 11 = 48 · 11 = 528;

23 · 44 = 23 · 4 · 11 = 92 · 11 = 1012;

15 · 55 = 15 · 5 · 11 = 75 · 11 = 825;

12 · 66 = 12 · 6 · 11 = 72 · 11 = 792;

24 · 99 = 24 · 9 · 11 = 216 · 11 = 2376.

УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ НА 4, НА 8, НА 16

• Чтобы умножить число на 4, его дважды удваивают.

213 · 4 = (213·2) · 2 = 426 · 2 = 852;

537 · 4 = (537 · 2) · 2 = 1074 · 2 = 2148 .

• Чтобы число разделить на 4 , его дважды делят на 2.

256 : 4 = (256 : 2) : 2 = 128 : 2 = 64;

2648 : 4 = (2648 : 2) : 2 = 1324 : 2 = 662 .

• Чтобы умножить число на 8 его трижды удваивают.

121· 8 = ((121· 2) · 2) · 2 = 484· 2 = 968;

243· 8 = ((243· 2) · 2) · 2 = 972· 2 = 1944.

• При делении числа на 8 необходимо его трижды поделить на 2. 256 : 8 = ((256 : 2) : 2) : 2 = 64 : 2 = 32;

2648 : 8 = ((2648 : 2) : 2) : 2 = 662 : 2 = 331 .

• Чтобы умножить число на 16 его четырежды удваивают и т.д.
• При делении числа на 16 необходимо его четыре раза поделить на 2.

ЕГИПЕТСКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ НА 9, НА ПАЛЬЦАХ

• Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например 7 × 9 – загните 7 палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 7 × 9 – это 6), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 3). Ответ – 63.

СПОСОБЫ ДЕЛЕНИЯ

2.12.Последовательное деление.

Если делитель составное число, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем последовательное деление.

Пример: 720:45=720:9:5=80:5=16

  2.13.Деление на 4.

Чтобы число разделить на 4 его последовательно делят на 2.

Пример: 324:4=324:2:2=162:2=81.

СПОСОБЫ ДЕЛЕНИЯ

• 2.14.Деление на 5, 50, 500.

Чтобы разделить число на 5, 50, 500 нужно его разделить на10, 100, 1000 и умножить на 2

Пример : 23600:50=23600:100х2=236х2=472.

• 2.15. Деление на 25, 125.

Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4. Чтобы число разделить на 125, надо это число умножить на 8 и разделить на 1000.

Пример 42 12100:25=12100:100х4=484

Пример 43 9000:125=9000:1000х8=72.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Изучив в литературных и Интернет источниках приёмы устного счёта, я отобрал самые распространённые и общедоступные. По согласованию с учителем математики, я составил задание, опираясь на данные свойства. На уроке с разрешения учителя, я провел самостоятельную работу. В эксперименте принимали участие 26 человек.

Образец работы:

1) 23х5

2) 213х4

3) 84х101

4) 45²

5) 28х11

6) 17х99

7) 256: 8

8) 25х24

9) 810:45

10) 240:5

11) 54х25

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

ВЫВОД

По результатам исследовательской работы можно сделать следующие выводы:

• При использовании приёмов быстрого счёта у участников эксперимента уменьшилось время на выполнение теста (81%), при этом улучшилось качество выполнения вычислений.
• Гипотеза о том, что знание и использование приёмов быстрого счёта позволит увеличить скорость и качество вычислений подтвердилась.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

• Работая над этой темой, я узнал, что существует много различных, забавных и интересных способов вычислений.
• Из всех найденных мною необычных способов счета более интересными показались способы умножения на 9, 11,101, 50, возведение в квадрат двухзначных чисел, заканчивающихся на 5.
• Самым простым мне показался метод «удвоения и раздвоения», который использовали русские крестьяне. Я его использую при умножении не слишком больших чисел (очень удобно его использовать при умножении двузначных чисел).
• Используя  упрощенные приёмы устных вычислений я научился  производить наиболее трудоёмкие  арифметические действия  без применения калькулятора и компьютера.
• Наша первоначальная гипотеза о том, что знание и использование приемов быстрого счета позволит существенно увеличить скорость и качество счета, подтвердилась.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

• «Устный счёт – гимнастика ума» Г.А.Филиппов.
• «Алгоритмы ускоренных вычислений» Л.В. Бикташева.
• «Математическая шкатулка» Ф.Ф.Нагибин, Е.С.Канин.
• «Развитие вычислительной культуры учащихся»

НЛ. Мельникова

• Библиотечка «Первое сентября».
• http ://sch69.narod.ru/mod/1/6506/hystory.html .
• https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/nestandartnie_priemi_ustnogo_scheta_111544.html.
• https://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2016/06/09/issledovatelskaya-rabota-nekotorye-nestandartnye-priemy-ustnogo-schetaю

Спасибо за внимание!