Уравнение прямой, плоскости и сферы

Тема 1: Уравнение прямой в пространстве.

З адание: записать конспект и выполнить самостоятельную работу.

Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:

М₁(3; 5; 2) и М₂(4; 8; 1).

М₁(х₁;у₁;z₁) М₂(х₂;у₂;z₂)

Решение.

Подставив в уравнение прямой соответствующие координаты, получим:

Упростим:

Ответ:

Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:

М₁(3; 4; -2) и М₂(5; 2; -1).

М₁(х₁;у₁;z₁) М₂(х₂;у₂;z₂)

Решение.

Подставив в уравнение прямой соответствующие координаты, получим:

Упростим:

Ответ: Самостоятельная работа

Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:

М₁(2; 4; 8) и М₂(1; 5; 7).

Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:

М₁(7; 3; 4) и М₂(2; 6; 9).

Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:

М₁(4; -2; 4) и М₂(5; -6; 3).

Тема 2: Уравнение плоскости в пространстве

Задание: записать конспект и выполнить самостоятельную работу

П ример 1: Принадлежит, ли точка В (-1; 2; 7) плоскости, заданной уравнением 2х+3у-z+3=0

Решение: Подставим координаты точки в уравнение и проверим верно ли равенство.

2х+3у-z+3=0

2·(-1)+3·2-7+3=-2+6-7+3=0 – верно.

Ответ: точка В (-1; 2; 7) принадлежит плоскости.

Пример 2: Принадлежит, ли точка Е(0; 4; -6) плоскости, заданной уравнением х-5у-4z+2=0

Решение: Подставим координаты точки в уравнение и проверим верно ли равенство. х-5у-4z+2=0

0-5·4-4·(-6)+2=0-20+24+2=6≠0 не верно

Ответ: точка Е(0; 4; -6) не принадлежит плоскости.

Пример 3: При каком D точка А(1; 5;-2) принадлежит плоскости -3х+2у-z+D=0

Решение: Подставим координаты точки в уравнение и найдем D.

-3·1+2·5-(-2)+D=0,

-3+10+2+ D=0,

9+ D=0,

D=-9.

Ответ: D=-9.

Самостоятельная работа

Пример 1: Принадлежит, ли точка В (-2; 3; 8) плоскости, заданной уравнением

3х+2у-4z+1=0

Пример 2: Принадлежит, ли точка Е(3; 4; -2) плоскости, заданной уравнением

х-3у-5z+6=0

Пример 3: При каком D точка А(2; 4;-1) принадлежит плоскости -2х+5у-z+D=0

Тема 3: Уравнение сферы.

Задание:

1. Записать конспект

2. Решить задания №1, №2

Конспект:

О пределение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии R от данной точки О.

R – радиус сферы, т. О – центр сферы.

(х-х₀)²+(у-у₀)²+(z-z₀)²=R² , где

точка О(x₀, y₀, z₀) – центр сферы.

Пример 1.

Написать уравнение сферы с центром в точке О(1; 2; -5) и радиусом R=3.

Решение:

О(x₀, y₀, z₀)

О((1; 2; -5). Значит x₀=1, y₀=2, z₀=-5, R=3.

Подставим в уравнение сферы: (х-1)²+(у-2)²+(z-(-5))²=3².

Упростим: (х-1)²+(у-2)²+(z+5)²=9.

Ответ: (х-1)²+(у-2)²+(z+5)²=9.

Пример 2. Дано уравнение сферы: (х-6)²+(у+3)²+(z-4)²=64. Найти координаты центра и радиус сферы.

Решение:

1)найдем координаты центра: (х-6)²+(у-(-3))²+(z-4)²=64

x₀=6, y₀=-3, z₀=4

2)найдем радиус: R²=64, R=√64=8,

Ответ: О(6, -3, 4), R = 8.

Решить задания:

Задание 1. Написать уравнение сферы с центром в точке О(5; -2; 3) и радиусом R= 6

Задание 2. Дано уравнение сферы (х-3)²+(у+7)²+(z-8)²=25. Найти координаты центра и радиус сферы.