Урок алгебры по теме "Логарифмические уравнения и методы их решения"

Алгебра. 11 класс

Тема: Логарифмические уравнения и методы их решения (2 урока)

Тип урока: комбинированный

Цель урока: ознакомить учащихся с логарифмическими уравнениями и методами их решения

Задачи:

Образовательные: повторить знания учащихся о логарифме числа, его свойствах; ввести понятие и определение логарифмического уравнения; сформировать алгоритм решения логарифмических уравнений; изучить способы решения логарифмических уравнений и закрепить их при выполнении упражнений.

Развивающие: развивать математическую грамотность и самостоятельность учащихся, умение пользоваться алгоритмом, развивать уметь анализировать и сравнивать;

Воспитательные: содействовать развитию мотиваций и самосовершенствования личности учащегося;

Ход урока

1. Организационный момент

• Взаимное приветствие;

• Фиксация отсутствующих;

• Объявление темы урока;

• Постановка целей и задач урока учащимися.

1. Актуализация знаний

Фронтальный опрос учащихся:

1. Дайте определение логарифма.

2. От любого ли числа можно найти логарифм?

3. Какое число может стоять в основании логарифма?

4. Функция y=log_0,8 x является возрастающей или убывающей? Почему?

5. Какие значения может принимать логарифмическая функция?

6. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?

7. Назовите основные свойства логарифмов.

8. Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать?

9.Устный счёт

а) log₆4 + log₆9 =

б) log_1/336 – log_1/312 =

в) log₂11 - log ₂44=

г) log₂16 =

д) lоg₃ √3=

е) log₇1 =

ж) log₅ (¹/₆₂₅)=

з) log₈14 + log ₈32/7=

и) log₃5 ∙ log₅3=

к) 5 ^log₅ ⁴⁹ =

л) 8 ^lоg ₈⁵ -1=

м) 25 ^–log ₅¹⁰=

1. Изучение нового материала

Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение log_a х =с (а 0, а≠ 1)
Методы решения логарифмических уравнений

1. Решение уравнений на основании определения логарифма.

log_a х = с (а 0, а≠ 1) имеет решение х = а^с.

На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых:

• по данным основаниям и числу определяется логарифм,

• по данному логарифму и основанию определяется число,

• по данному числу и логарифму определяется основание.

Примеры:

log₂ 128= х, log₁₆х = ¾, log_х 27= 3,

2^х= 128, х =16 ^¾ , х³ =27,

2^х = 2⁷, х =2 ³ , х³ = 3³ ,

х =7 . х = 8. х =3.

С классом решить следующие уравнения:

а) log₇(3х-1)=2 (ответ: х=3 1/3) б) log₂(7-8х)=2 (ответ: х=3/8).

1. Метод потенцирования.

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их т.е.

log_a f(х) = log_a g(х), то f(х) = g(х), при условии, что f(х)0, g(х)0 , а 0, а≠ 1.

Пример: Решите уравнение =

ОДЗ:

5х-10; х0,2

2х+80.

5х-1=2х+8

3х=9, х=3

3 1/3 - верно

Ответ: х=3

С классом решить следующее уравнение: lg(х²-2) = lg х (ответ: х=2)

1. Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества.

Пример: Решите уравнение =log₂(6-х)

ОДЗ:

6-х0;

х0;

х≠1;

log₂х²0;

х²0.

Решение системы: (0;1)Ụ (1;6).

= log₂(6-х)

х² = 6-х

х²+х-6=0

х=-3 не принадлежит ОДЗ.

х=2 принадлежит ОДЗ.

Ответ: х=2

С классом решить следующее уравнение: ⁼ (ответ: х=1)

1. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию.

Пример: Решите уравнение log₁₆х+ log₄х+ log₂х=7

ОДЗ: х0

¼ log₂х+½ log₂х+ log₂х=7

7/4 log₂х=7

log₂х=4

х=16 – принадлежит ОДЗ.

Ответ: х=16.

С классом решить следующее уравнение : + =3 (ответ: х=5/3)

1. Уравнения, решаемые с помощью применения свойств логарифма.

Пример: Решите уравнение log₂ (х +1) - log₂ (х -2 ) = 2.

ОДЗ:

х+10;

х-20. х1.

Воспользуемся формулой преобразования разности логарифмов логарифм частного, получаем log₂ = 2, откуда следует = 4.

Решив последнее уравнение, находим х = 3, 31 - верно

Ответ: х = 3.

С классом решить следующие уравнения:

а)log₅ (х +1) + log₅ (х +5) = 1 (ответ: х=0).

б)log₉( 37-12х ) log_7-2х 3 = 1,

37-12х 0, х

7-2х 0, х

7-2х≠ 1; х≠ 3; х≠ 3;

log₉( 37-12х ) / log₃ (7-2х ) = 1,

½ log₃( 37-12х ) = log₃ (7-2х ) ,

log₃( 37-12х ) = log₃ (7-2х )² ,

37-12х= 49 -28х +4х² ,

4х²-16х +12 =0,

х²-4х +3 =0, Д=19, х₁=1, х₂=3, 3 –посторонний корень.

Ответ: х=1 корень уравнения.

в) lg(х²-6х+9) - 2lg(х - 7) = lg9.

(х²-6х+9) 0, х≠ 3,

х-7 0; х 7; х 7.

lg ((х-3)/(х-7))² = lg9

((х-3)/(х-7))² = 9,

(х-3)/(х-7) = 3, (х-3)/(х-7)= - 3 ,

х- 3 = 3х -21 , х -3 =- 3х +21,

х =9. х=6 - посторонний корень.

Проверка показывает 9 корень уравнения.

Ответ: 9

1. Уравнения, решаемые введением новой переменной.

Если, в уравнение неоднократно, встречается некоторое определенное выражение, то оно решается введением новой переменной

Пример 1. Решим уравнение

ОДЗ: x 0. Введем новую переменную тогда получим квадратное уравнение:

y² – y = 2,

y² – y – 2 = 0,

y₁ = 2 или y₂ = -1

или

x = 25 или x = 5^-1

x =

Ответ: 25;

С классом решить следующее уравнение:

log₆² х + log₆ х +14 = (√16 – х²)² +х²,

16 – х² ≥0 ; - 4≤ х ≤ 4;

х 0 , х 0, О.Д.З. [ 0,4).

log₆² х + log₆ х +14 = 16 – х² +х²,

log₆² х + log₆ х -2 = 0

заменим log₆ х = t

t ² + t -2 =0 ; D = 9 ; t₁ =1 , t₂ = -2.

log₆ х = 1 , х = 6 посторонний корень .

log₆ х = -2, х = 1/36 , проверка показывает 1/36 является корнем .

Ответ : 1/36.

1. Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители.

Пример: Решите уравнение log₄(2х-1)∙ log₄х=2 log₄(2х-1)

ОДЗ:

2х-10;

х 0. х½.

log₄(2х-1)∙ log₄х - 2 log₄(2х-1)=0

log₄(2х-1)∙(log₄х-2)=0

log₄(2х-1)=0 или log₄х-2=0

2х-1=1 log₄х = 2

х=1 х=16

1;16 – принадлежат ОДЗ

Ответ: 1;16

С классом решить следующее уравнение:

log₃х ∙log₃(3х-2)= log₃(3х-2) (ответ: х=1)

1. Метод логарифмирования обеих частей уравнения.

П ример:

Решите уравнения

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3.

Получим log₃ = log₃ (3х)

получаем: log₃ х² log₃ х = log₃ (3х),

2log₃ х log₃ х = log₃ 3+ log₃ х,

2 log₃² х = log₃ х +1,

2 log₃² х - log₃ х -1=0,

заменим log₃ х = р , х 0

2 р ² + р -2 =0 ; D = 9 ; р₁ =1 , р₂ = -1/2

log₃ х = 1 , х=3,

log₃ х = -1/ 2 , х= 1/√3.

Ответ: 3; 1/√3

С классом решить следующее уравнение:

log₂ х - 1

х = 64 (ответ: х=8; х=1/4)

9.Функционально – графический метод.

Пример 1. Решите уравнение log₂x = 3 – x

В одной и той же системе координат строим графики функции у= log₂x и у = 3 – x

Ответ: 2.

Обычно графически метод применяется, если трудно найти других методов. Графически метод менее точный. Целесообразно его использовать, если стоит вопрос «Сколько корней имеет уравнение».

10.Метод использования монотонности функции

Есть способ, позволяющий не строить графики. Он заключается в следующем: если одна из функции y = f(x) возрастает, а другая y = g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение f(x) = g(x) имеет не более одного корня на промежутке Х.

Если корень имеется, то его можно угадать.

Пример 1. Решить уравнение: log₃ x

Решение: ОДЗ х 0.

Так как функция у= log₃ х возрастающая, а функция у = 4-х убывающая на (0; + ∞ ),

то заданное уравнение на этом интервале имеет один корень. Подбором определяем х = 3. Ответ: 3.

Пример 2. Решите уравнение : log₃(x + 1) + log₄(5x + 6) = 3. ОДЗ: х -1

Решение: у = log₃(x + 1) – возрастающая функция, y = log₃(x + 1) – тоже возрастающая. Сумма двух возрастающих функции дает возрастающую функцию. В правой части постоянная функция у = 3. Значит уравнение имеет не более одного корня. Подбором определяем х = 2.

Ответ: 2.

1. Подведение итогов урока. Рефлексия

2. Информация о домашнем задании