Конспект урока по алгебре "Решение логарифмических уравнений и неравенств"(11 класс)

Тема: Решение логарифмических уравнений и неравенств.

Класс: 11.

Предмет: Алгебра и начала анализа.

Тип урока:  урок обобщения и систематизации знаний, умений и навыков по данной теме.

Цели:

• обеспечить повторение, обобщение, систематизацию материала по теме;

• создать условия контроля, самоконтроля усвоенных знаний и умений;

• создать условия для развития познавательного интереса учащихся;

• воспитывать  ответственность за качество и результат выполняемой работы на уроке, математическую активность, умение работать в группах, общую культуру.

Задачи:

Образовательная. Повторить теоретический материал. Обратить особое внимание на ОДЗ  логарифмической функции.

Систематизировать методы решения логарифмических уравнений, неравенств.

Развивающая. Способствовать развитию математического языка, наглядно – образного мышления, коммуникативных умений учащихся.

Воспитательная. Воспитание интереса к предмету посредством использования на уроке ПК; активности, умения общаться, общей культуре.

Оборудование урока:

- карточки с индивидуальными заданиями для самостоятельной работы;

- карточки с заданиями для домашней работы;

- карточки с заданиями для групп;

- документ – камера

- мультимедийный проектор, компьютер.

- листы для самоконтроля

Формы работы:

- фронтальная;

- работа в группах;

- индивидуальная.

Ход урока.

1.Орг.момент.

2.Актуализация знаний.

Учащиеся работают устно по упражнениям, представленным на экране с помощью проектора.

1. вариант 2 вариант

Вычислите

1. 1)

2. 2)

3. 3)

4. 4)

5. 5)

-Какое уравнение называют простейшим  логарифмическим уравнением? Сколько решений имеет уравнение   Какие методы решения логарифмических уравнений вам известны?

3. Работа в разноуровневых группах.

Со всеми учащимися класса рассматриваются решения уравнений.

1. Решите уравнение log ₂ 4 + 2 log ₂ х = log ₂ (6х + 18)

Учащиеся могут привести одно из представленных решений:

а) Используя переход к равносильной системе:

Ответ:3

б) Выполняя проверку найденных корней уравнения: 4х² = 6х + 18, х = -1,5 или х = 3.

Проверка.

х = -1,5, log 24 + 2log 2(-1,5) = log 2(6(-1,5) + 18) - неверно;

х = 3, log 24 + 2log 23 = log 2(6· 3 + 18),

log 236 = log 236 - верно

Ответ:3

-Далее первая группа учащихся самостоятельно выполняет задания №1.

Группа № 1.

1. Решите уравнение (1-3).

1.  log₃ (2х - 4) = log₃ (х + 3)

2.  2log₄ x = log₄ 169

3. lg (2х² - 4х + 12) = lgх + lg(х + 3).

(1.7. 2 13. 3. 3; 4.)

2. Решите неравенство. log _0,2(3х - 5) log _0,2(х + 1). (5/3

-В это время учитель с учащимися второй и третьей группы рассматривает задания повышенного уровня сложности.

2. Решите уравнение lg(х + 4) + lg(2х + 3) = lg(1 - 2х).

Решение. 1. Найдём ОДЗ:

2. Преобразуем уравнение к виду:

lg((х + 4)(2х + 3)) = lg(1 - 2х), 2х² + 13х + 11 = 0, отсюда х₁ = -1, х₂ = -5,5.

Так как - 1,5 -1.

Учащиеся второй группы приступают к самостоятельному выполнению заданий №1.

Группа № 2

1.Решите уравнение (1-2).

1.  log ₂(х + 1) + log ₂(х + 3) = 3.

2. log₃ (x² - 1) = 1

(1. 1. 2. -2; 2.).

2. Решите неравенство. lg² x ≥ 9 (0; 0,001]U[1000;∞)

-С учащимися третьей группы учитель рассматривает следующее уравнение:

3. Решите уравнение log_1/3x log_1/3 (3x-2)= log_1/3 (3x-2)

Решение.

О. Д. З.: ; ; ;

Log_1/3x log_1/3 (3x-2)= log_1/3 (3x-2)

Log_1/3x log_1/3 (3x-2) - log_1/3 (3x-2)=0

Log_1/3 (3x-2) ( log_1/3 х-1)=0

Log_1/3 (3x-2) =0 или log_1/3 х-1=0

3х-2=1 log_1/3x=1

3x=3 x= - посторонний корень

х=1

Ответ: х=1.

• Далее учащиеся третьей группы выполняют своё задание № 1самостоятельно.

Группа № 3.

1.Решите уравнение log₂(3x+1) log₃x=2 log₂(3x+1)

2. Решите неравенство.

Решение заданий группы №3.1.Решение: О.Д.З.: 3x + 10 и х 0 ↔ х 0

log₂ (3x+1)log₃ x - 2log₂(3x+1)=0;

log₂ (3x+1) (log₃x -2) = 0;

log₂(3x+1)=0 или log₃x=2

3x+1=1; x=3²;

3x=0 x₂=9

x₁=0- посторонний корень.

Ответ: х=9.

2. Решение. Прологарифмируем обе части неравенства по основанию10. Поскольку у = lg x

функция монотонно возрастает, смысл неравенства при логарифмировании не меняется.

решим квадратное уравнение относительно

Ответ (0,1;1000).

Учитель проверяет правильность выполнения заданий № 1 у учащихся первой и второй групп и если появляется необходимость, корректирует решения.

По завершении проверки со всеми учащимися класса рассматривается следующее задание.

4. Решите неравенство log _0,5 (х + 1) log _0,5 (2 - х).

Решение. Функция у = log _0,5 х убывает. Поэтому:

Ответ: (-1; 0,5).

Учитель предлагает учащимся первой группы приступить к самостоятельному выполнению заданий № 2. С учащимися второй и третьей группы учитель рассматривает следующее задание.

5. Решите неравенство: 2 log_{3x -6} 9 - log₃ (x-2) ≥ 1

Решение. Перепишем неравенство в виде: 2log₃ 9 /log₃ 3(x-2) - log₃ (x-2)≥1 ↔

4/(1 + log₃ (x - 2)) – log₃ (x- 2) ≥ 1 Пусть log₃ (x- 2) = a, тогда 4/ (a +1) – a ≥ 1 ↔

(4 – (a + 1)²)/(1 + a) ≥ 0 ↔ (a + 3)(a - 1)/(1 + a) ≤ 0

Далее воспользуемся методом интервалов. Получим a ≤ -3 или -1 ˂a ≤ 1. Oсталось решить совокупность неравенств: log₃ ( x - 2) ≤ -3 или -1 ˂ log₃ ( x - 2) ≤ 1 ↔ 0 ˂x - 2≤ 1/27 или

1/3 ˂ x -2 ≤ 3 ↔ 2 ˂ x ≤ 55/27 или 7/3 ˂ x ≤ 5.

Ответ: (2; 55/27] U( 7/3; 5]

Далее вторая и третья группы учащихся самостоятельно выполняют задания № 2. Пока учащиеся второй и третьей группы выполняют задания, учитель проверяет решения учащихся первой группы, комментирует их при необходимости, после чего проверяются ответы у учащихся второй и третьей групп.

4. Физминутка.

Сцепили руки в “замок”, вытянули перед собой, подняли вверх и хорошо потянулись. Врачи утверждают, что в этот момент выделяется “фермент счастья”.

5. Разноуровневая самостоятельная работа

(Слайд на экране и карточки у каждого ученика). Учащимся предлагается оценить свои возможности и выбрать уровень заданий базовый А, повышенный В. 

1 вариант 2 вариант

А. 1.Решите уравнение А. 1.Решите уравнение

log ₂ (x + 1) = 4 lg (x - 10) =1

2. Решите неравенство 2. Решите неравенство

log ₅  (2х + 1)  ≥  log ₅ (х - 1).

B. B.

1.Решите уравнение 1.Решите уравнение

2. Решите неравенство 2. Решите неравенство

log²_0,2 х - 5 log _0,2 х ² _0,1 х + 3 log _0,1 х 4.

Выполнив работу, учащиеся сдают ее на проверку. На экран выводятся ответы и краткое решение. Учащимся предлагается проверить и оценить свою работу, выставив оценку за самостоятельную работу.

Ответы: 1 вариант. А. 1. 15; 2.(1; ∞) В. 1. 4, 2; 2. (0,008; 0,04)

2 вариант. А. 1. 20; 2. (- 5; 1,75) В. 1. 9, 1/3. 2. (0; 0,1)U(10000; ∞)

6. Домашнее задание. карточки с заданиями для домашней работы.

7. Итог урока. Рефлексия

Итак, мы сегодня с вами решали логарифмические уравнения и неравенства. А теперь давайте обобщим, какие методы решения мы применяли?

Выставление оценок по количеству «+» в тетради, за решение на доске и по карточкам. Определение результативности работы учащихся.

Наш урок подошел к концу. Достигли ли мы поставленных целей?

Готовясь к экзамену, никогда не думай, что не справишься с заданием, а, напротив, мысленно рисуй себе картину успеха и тогда у тебя обязательно все получится!

Группа № 1.

1. Решите уравнение (1-3).

1. log ₂(х + 1) + log ₂(х + 3) = 3.

2. log₃ (x² – 1) = 1

3. lg (2х² - 4х + 12) = lgх + lg(х + 3).

(1.1. 2. . 3.3; 4.)

2. Решите неравенство. log _0,2(3х - 5) log _0,2(х + 1). (5/3

Группа № 2

1.Решите уравнение (1-2).

1. log ₄(х² - 1) - log ₄(х -1)² = log ₄│2 - х│.

2. log ₂х⁴ + log ₂х² = 6.

(1.2+ 3. 2. -2; 2.)

2. Решите неравенство. lg² x ≥ 9 (0; 0,001]U[1000;∞)

Группа № 3.

1.Решите уравнение

2. Решите неравенство.

1 вариант 2 вариант

А. 1.Решите уравнение А. 1.Решите уравнение

log ₂ (x + 1) = 4 lg (x - 10) =1

2. Решите неравенство 2. Решите неравенство

log ₅  (2х + 1)   log ₅ (х - 1).

B. B.

1.Решите уравнение 1.Решите уравнение

2. Решите неравенство 2. Решите неравенство

log²_0,2 х - 5 log _0,2 х ² _0,1 х + 3 log _0,1 х 4.

C. C.

1.Решите уравнение 1.Решите уравнение

log_{3x + 7} (5x + 3) + log_{5x + 3}(3x + 7) = 2

2. Решите неравенство 2. Решите неравенство

1/(5 -lg х ) + 2/(1 + lg х)

1 вариант 2 вариант

А. 1.Решите уравнение А. 1.Решите уравнение

log ₂ (x + 1) = 4 lg (x - 10) =1

2. Решите неравенство 2. Решите неравенство

log ₅  (2х + 1)   log ₅ (х - 1).

B. B.

1.Решите уравнение 1.Решите уравнение

2. Решите неравенство 2. Решите неравенство

log²_0,2 х - 5 log _0,2 х ² _0,1 х + 3 log _0,1 х 4.

C. C.

1.Решите уравнение 1.Решите уравнение

log_{3x + 7} (5x + 3) + log_{5x + 3}(3x + 7) = 2

2. Решите неравенство 2. Решите неравенство

1/(5 -lg х ) + 2/(1 + lg х)

1 вариант 2 вариант

А. 1.Решите уравнение А. 1.Решите уравнение

log ₂ (x + 1) = 4 lg (x - 10) =1

2. Решите неравенство 2. Решите неравенство

log ₅  (2х + 1)   log ₅ (х - 1).

B. B.

1.Решите уравнение 1.Решите уравнение

2. Решите неравенство 2. Решите неравенство

log²_0,2 х - 5 log _0,2 х ² _0,1 х + 3 log _0,1 х 4.

C. C.

1.Решите уравнение 1.Решите уравнение

log_{3x + 7} (5x + 3) + log_{5x + 3}(3x + 7) = 2

2. Решите неравенство 2. Решите неравенство

1/(5 -lg х ) + 2/(1 + lg х)

ДИАГНОСТИЧЕСКАЯ КАРТА УЧАЩЕГОСЯ.

ВАРИАНТ 1. ВАРИАНТ 2.

Выполнял:__________________________________________________

1. Устная работа.

   1 задание	2 задание	3 задание	4 задание	5 задание	6 задание	7 задание

2. Решение уравнений и неравенств в группе № ___ .

   1задание	2задание	3задание	4задание	1задание	2задание	3задание	4задание
   +/–	+/–	+/–	+/-	+/–	+/–	+/–	+/ -

3. Самостоятельная работа.

   1 задание		2 задание		3 задание
   В.1.	В.2.	В.1.	В.2.	В.1.	В.2.

4. Индивидуальные задания.

ДИАГНОСТИЧЕСКАЯ КАРТА УЧАЩЕГОСЯ.

ВАРИАНТ 1. ВАРИАНТ 2.

Выполнял:__________________________________________________

1. Устная работа.

   1 задание	2 задание	3 задание	4 задание	5 задание	6 задание	7 задание

2. Решение уравнений и неравенств в группе № ___ .

   1задание	2задание	3задание	4задание	1задание	2задание	3задание	4задание
   +/–	+/–	+/–	+/-	+/–	+/–	+/–	+/ -

3. Самостоятельная работа.

   1 задание		2 задание		3 задание
   В.1.	В.2.	В.1.	В.2.	В.1.	В.2.

4. Индивидуальные задания.