Урок алгебры в 10 классе "Логарифмы и их свойства"

Урок алгебры в 10 классе "Логарифмы и их свойства"

"Возьми столько, сколько ты можешь и хочешь,
но не меньше обязательного".

Учитель математики: Коваль Е.В.

Цели и задачи урока:

• рассмотреть понятие логарифма числа и свойства логарифмов;

• дать понятие десятичного и натурального логарифма;

• овладеть знаниями и умениями использовать основное логарифмическое тождество, формулы перехода от одного основания к другому в процессе решения упражнений;

• развивать мышление учащихся при выполнении упражнений;

• вычислять значения несложных логарифмических выражений;

• научить учащихся определять логарифм числа и его свойства

• развивать творческие способности учащихся.

Методы работы:

• проблемный;

• частично-поисковый.

Тип урока: усвоение новых знаний.

Виды работ:

• индивидуальная;

• коллективная;

• индивидуально-коллективная;

• фронтальная.

Методическое обеспечение:  учебники, индивидуальные карточки.

Ход занятия

1. Организационный момент

Приветствие учащихся, определение отсутствующих. Сообщается тема и цель урока.

2. Актуализация знаний

В кратком вступительном слове преподаватель акцентирует внимание о важной роли логарифмов в курсе математики, при этом подчеркивает значение десятичных и натуральных логарифмов.

3. Повторение изученного материала.

Экспресс-опрос

Учитель задает вопросы:

а) Что такое степень; что такое основание степени; что такое показатель степени.

б) Работа над основными свойствами степеней. Рассмотреть связь между показателями степеней в равенствах

в) Решить устно примеры:

4. Изучение нового материала

4.1. Логарифм числа. Основные свойства логарифмов.

4.2. Основное логарифмическое тождество.

4.3. Формула перехода одного основания логарифмов к другому.

4.4. Десятичный логарифм.

4.5. Натуральный логарифм.

4.1. Логарифм числа

Понятие логарифма числа связано с решением показательных уравнений.

Остановимся на решении двух показательных уравнений. Решение уравнения  не вызывает труда. Так как то данное уравнение примет вид  Поэтому уравнение имеет единственное решение 

А теперь попробуем решить уравнение  По теореме о корне это уравнение также имеет единственное решение. Однако, в отличие от предыдущего уравнения, это уравнение является иррациональным числом. Докажем, что корень данного уравнения является числом рациональным, т.е. Тогда выполняется равенство  или  Но  в любой натуральной степени будет числом четным, а  в любой натуральной степени – число нечетное. Получаем противоречие, которое и доказывает, что корень уравнения – число иррациональное. Обдумывая, ситуацию с показательным уравнением  математики ввели в рассмотрение новый символ – логарифм. С помощью этого символа корень уравнения  записали так: (читается : логарифм числа  по основанию 

Остановимся теперь на понятии логарифма числа. Очень часто приходится решать задачу: известно, что  необходимо найти показатель степени  т.е. решить задачу, обратную возведению числа в степень. При нахождении этого показателя степени  и возникает понятие логарифма числа  по основанию  

дается определение логарифма

Например

а) log ₃ 81 = 4, так как 3⁴ = 81;

б) log ₅ 125 = 3, так как 5³ = 125;

в) log _0,5 16 = -4, так как (0,5)^-4 = 16;

г) , так как ==

4.2. Введение основного логарифмического тождества 

Обратите внимание на то, что  является корнем уравнения  , а поэтому =8

Таким образом и получается основное логарифмическое тождеств

Это равенство является краткой символической записью определения логарифмов.

Решить примеры согласно тождеству: 

=5;   .

Подчеркнем, что  и  одна математическая модель

4.3. Основные свойства логарифмов 

Вы замечательно справились с примерами. А теперь вычислите следующие задания, записанные на доске:

а) log ₁₅3 + log ₁₅5 = …, в) log ₄8 =…,
б) log ₁₅45 – log ₁₅3 = …, г) 7 = … .

А как вы думаете, что мы должны знать, чтобы выполнять действия с логарифмами?
Если у учащихся возникают затруднения, то задать вопрос: “Чтобы выполнять действия со степенями, что надо знать?” (Ответ: “Свойства степени”). Ещё раз задать первоначальный вопрос. (Свойства логарифмов)

Перед вами таблица со свойствами логарифмов. Надо дать название каждому свойству и правильно сформулировать их”.

Решить примеры устно. Найти x

1.  Ответ: 

2.  Ответ: 

3.  Ответ:

4.  Ответ: 

5.  Ответ:

4.4. Десятичные и натуральные логарифмы 

На практике рассматриваются логарифмы по различным основаниям, в частности по основанию 10.

Логарифмом положительного числа  по основанию 10 называют десятичным логарифмом числа в и обозначается,  т.е. вместо  пишут .

Например,   

Натуральным логарифмом (обозначается In) называется логарифм по основанию e

Примеры вычисления десятичных логарифмов

1.  так как 

2. , так как 

3.  так как 

4.  так как 

5.  так как 

6.  так как 

4.5. Формулы перехода от одного основания логарифм к другому 

На практике рассматривается логарифм по различным основаниям. Отсюда возникает необходимость формулы перехода от одного основания к логарифму по другому основанию.

Решить пример типа: Упростить выражения:

a) 

б)

в) 

Ответ. a) ; б); в) 

Работа по карточкам.

Выполнить упражнения.

6. Подведение итогов

1. Выставление и комментирование оценок на уроке

2. Домашнее задание.

7. Рефлексия

• Какая тема была изучена на уроке?

• Что вам сегодня больше всего запомнилось на уроке, что понравилось?

• Достигнута ли цель урока?

3