Урок геометрии "Конус"

Геометрия 11 класс

Тема урока:

Конус

Конической поверхностью называется поверхность, образованная движением прямой линии АВ,

которая перемещается в пространстве так, что при этом постоянно проходит через неподвижную точку S и пересекает данную линию CD.

Прямая АВ называется образующей , линия CD - направляющей , а точка S – вершиной конической поверхности.

Конусом называется тело, ограниченное частью конической поверхности, расположенной по одну сторону от вершины и плоскостью, пересекающей

все образующие по ту же сторону от вершины.

Часть конической поверхности, ограниченная этой плоскостью, называется боковой поверхностью , а часть плоскости, отсекаемая боковой поверхностью – основанием конуса.

Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания, называется высотой конуса.

Конус называется прямым круговым ,

если его основанием является круг, а высота проходит через центр основания.

Прямой круговой конус можно получить путем вращения прямоугольного треугольника

вокруг одного из его катетов.

На рисунке конус образуется вращением прямоугольного треугольника ABC вокруг катета AB как оси. При этом гипотенуза AC описывает боковую поверхность, а катет BC - основание конуса.

C ечением прямого кругового конуса плоскостью, параллельной основ анию , является круг.

Осевыми сечениями прямого кругового конуса являются равнобедренные треугольники, которые равны между собой.

• Объем конуса равен:

где R - радиус основания конуса, H - высота конуса.

• Площадь боковой поверхности конуса равна:

где R - радиус основания конуса, l - длина образующей конуса .

• Площадь полной поверхности конуса равна:

где S Б - площадь боковой поверхности конуса, S ОСН - площадь основания.

Усеченным конусом называется часть конуса, ограниченная его основаним и сечением, параллельным плоскости основания. Усеченный конус ограничен двумя кругами (его основаниями) и боковой поверхностью.

Расстояние между основаниями является высотой усеченного конуса.

Осевое сечение усеченного конуса – равносторонняя трапеция.

• Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

где r и R - радиусы оснований, l - длина образующей.

• Объем усеченного конуса с радиусами оснований R 1 и R 2 и высотой Н вычисляется по формуле:

Задача № 1

Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник, радиус основания конуса равен R.

Найти площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми составляет 30º.

Задача № 2

Через середину высоты конуса, равной 20 см, параллельно основанию проведена плоскость. Площадь сечения равна 30 см 2 . Определить объем полученного усеченного конуса.