Урок геометрии по теме " Тетраэдр и параллелепипед. Задачи на построение сечений"

Тетраэдр

• Рассмотрим произвольный треугольник АВС и точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника.

Далее

Содержание

• Соединив точку D отрезками с вершинами треугольника АВС , получим треугольники D АВ , D ВС и DСА .

Содержание

Далее

О п р е д е л е н и я.

• Поверхность, составленная из четырёх треугольников АВС, D АВ, D ВС и DСА, называется тетраэдром и обозначается так: DАВС .
• Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями , их стороны - рёбрами , а вершины - вершинами тетраэдра.

Содержание

Далее

• Тетраэдр имеет четыре грани, шесть рёбер и четыре вершины. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными . На рисунке противоположными являются рёбра А D и ВС , В D и АС , СD и АВ .
• Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют её основанием, а три другие - боковыми гранями .

Содержание

Далее

• Тетраэдр изображается обычно так, как показано на рисунках 34 и 35 , т.е. в виде выпуклого или невыпуклого четырёхугольника с диагоналями . При этом штриховыми линиями изображаются невидимые рёбра . На рисунке 34 невидимым является только ребро АС , а на рисунке 35 - рёбра EK , K F и KL .

Содержание

• Рассмотрим два равных параллелограмма АВС D и А 1 В 1 С 1 D 1 , расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , DD 1 параллельны.

Далее

Содержани е

Тетраэдр

Параллелепипед

Задачи

на построение

сечений

Выход

• Четырёхугольники АВВ 1 А 1 , ВСС 1 В 1 , С DD 1 C 1 , DAA 1 D 1 также являются параллелограммами , т.к. каждый из них имеет попарно параллельные противоположные стороны (в четырёхугольнике АВВ 1 А 1 стороны АА 1 и ВВ 1 параллельны по условию, а стороны АВ и А 1 В 1 - по свойству линий пересечения двух параллельных плоскостей третьей.

Содержание

Далее

• Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 и четырёх параллелограммов, называется параллелепипедом и обозначается так: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .
• Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями , их стороны - рёбрами , а вершины параллелограммов - вершинами параллелепипеда.

Далее

Содержание

• Параллелепипед имеет шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин.
• Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро , называются смежными , а не имеющие общих рёбер - противоположными .

• На рисунке противоположными являются грани ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 , ABB 1 A 1 и DCC 1 D 1 , ADD 1 A 1 и BCC 1 B 1 . Две вершины, не принадлежащие одной грани, называются п р отив о пол о жн ы ми .

• Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется д иа г она л ью п а ра л леле п ипе д а .
• Каждый параллелепипед имеет четыре диагонали. На рисунке диагоналями являются отрезки AC 1 , BD 1 , CA 1 и DB 1 .

• Часто выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями , а остальные грани - боковыми гранями параллелепипеда.
• Рёбра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называются боковыми рёбрами . Если выбрать грани ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 , то боковыми гранями будут параллелограммы , а боковыми рёбрами - отрезки AA 1 , BB 1 , CC 1 и DD 1 .

• 1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны .
• Докажем, параллельность и равенство граней ABB 1 A 1 и DCC 1 D 1 параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

Доказательство .

• Т.к. ABCD и ADD 1 A 1 - параллелограммы, то AB II DC и AA 1 II DD 1 . Таким образом, две пересекающиеся прямые AB и AA 1 одной грани соответственно параллельны двум прямым CD и DD 1 другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоскостей следует, что грани ABB 1 A 1 и DCC 1 D 1 параллельны.

• Докажем теперь равенство этих граней . Т.к. все грани параллелепипеда - параллелограммы, то AB=DC и AA 1 =DD 1 . По этой же причине стороны углов A 1 AB и D 1 DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким образом, две смежные стороны и угол между ними параллелограмма ABB 1 A 1 соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними параллелограмма DCC 1 D 1 , поэтому эти параллелограммы равны .

• 2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам .

• Рассмотрим четырёхугольник A 1 D 1 CB , диагонали которого A1C и D 1 B являются диагоналями параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Т.к. A 1 D 1 II BC и A 1 D 1 =BC , то A1D1CB - параллелограмм. Поэтому диагонали A 1 C и D 1 B пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам.

• Рассмотрим четырёхугольник AD 1 C 1 B . Он также является параллелограммом, и, следовательно, его диагонали AC 1 и D 1 B пересекаются и точкой пересечения делятся пополам . Но серединой диагонали D 1 B является точка O . Таким образом, диагонали A 1 C , D 1 B и AC 1 пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.

• Рассматривая четырёхугольник A 1 B 1 CD , точно так же устанавливаем, что и четвёртая диагональ DB 1 параллелепипеда проходит через точку О и делится ею пополам .

• Секущей плоскостью тетраэдра называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра (параллелепипеда). Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам .

• Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда).

• Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырёхугольники .

• Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырёхугольники (рис.39,а), пятиугольники (рис.39,б) и шестиугольники (рис.39,в).

• На рисунке 39,б секущая плоскость пересекает две противоположные грани ( левую и правую) по отрезкам AB и CD , а две другие противоположные грани ( переднюю и заднюю) - по отрезкам AE и BC , поэтому AB II CD и AE II BC .

• По той же причине на рисунке 39,в AB II ED , AF II CD , BC II EF . Для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра(параллелепипеда), после чего остаётся провести отрезки , соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.

• Задача1 . На рёбрах AB , BD и CD тетраэдра ABCD отмечены точки M , N и P . Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP .

• Решение .
• Построим сначала прямую, по которой плоскость MNP пересекается с плоскостью грани ABC . Точка М является общей точкой этих плоскостей. Для построения ещё одной общей точки продолжим отрезки NP и BC до их пересечения в точке Е , которая и будет второй общей точкой плоскостей MNP и ABC .

• Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой ME . Прямая ME пересекает ребро AC в некоторой точке Q . Четырёхугольник MNPQ - искомое сечение .

• Если прямые NP и BC параллельны, то прямая NP параллельна грани ABC , поэтому плоскость MNP пересекает эту грань по прямой ML , параллельной прямой NP . Точка Q , как и в первом случае, есть точка пересечения ребра AC с прямой ML .

• Точка М лежит на боковой грани ADB тетраэдра DABC . Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно основанию ABC .

• Решение .

• Так как секущая плоскость параллельна плоскости ABC , то она параллельна прямым AB , BC и CA . Следовательно, секущая плоскость пересекает боковые грани тетраэдра по прямым, параллельным сторонам треугольника ABC .
• Отсюда вытекает следующий способ построения искомого сечения. Проведём через точку М прямую, параллельную отрезку AB .

• Обозначим буквами P и Q точки пересечения этой прямой с боковыми рёбрами DA и DB . Затем через точку P проведём прямую, параллельную отрезку AC , и обозначим буквой R точку пересечения этой прямой с ребром DC . Треугольник PQR - искомое сечение .

Далее

• На рёбрах параллелепипеда даны три точки A , B и C . Построить сечение параллелепипеда плоскостью ABC .

• Решение . Построение искомого сечения зависит от того, на каких рёбрах параллелепипеда лежат точки A , B и C . Когда эти точки лежат на рёбрах, выходящих из одной вершины, нужно провести отрезки AB , BC и CA , и получится искомое сечение - треугольник ABC .

• Если три данные точки A , B и C расположены так, как показано на рисунке, то сначала нужно провести отрезки AB и BC , а затем через точку A провести прямую, параллельную BC , а через точку C - прямую, параллельную AB . Пересечения этих прямых с рёбрами нижней грани дают точки E и D . Остаётся провести отрезок ED , и искомое сечение - пятиугольник ABCDE - построено.

• Более трудный случай, когда данные точки A , B C расположены так, как показано на рисунке. В этом случае сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания.
• Для этого проведём прямую AB , до пересечения с этой прямой в точке M . Далее через точку M проведём прямую, параллельную прямой BC . Это и есть прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания.

• Эта прямая пересекается с рёбрами нижнего основания в точках E и F . Затем через точку E проведём прямую, параллельную прямой AB, и получим точку D . Проводим отрезки AF и CD , и искомое сечение - шестиугольник ABCDEF - построено.