Урок-игра«Составление программ на языке программирования Pascal»

В прошлом году я представила вам работу «Фрактальная графика. Построение некоторых геометрических фракталов на языке QBasic». Готовясь к той работе, я узнала много нового и интересного. Кое-чем хочу с вами поделиться….)

Моя работа носит название «Паскаль и информатика»

Слайд2

Карл Густав Юнг в своей работе «Человек и его символы» писал: «Я хорошо помню одного профессора, имевшего видение и подумавшего, что он сходит с ума. Он пришел ко мне в состоянии полнейшей паники. В ответ я просто взял с полки книгу, написанную около четырехсот лет назад, и показал пациенту гравюру по дереву, изображавшую в точности то, что ему привиделось». Этим профессором был Блез Паскаль.

Слайд3

Часто говорят: "Незаменимых людей нет». Эта фраза может и подошла бы, если бы речь шла о копании траншеи или уборке мусора. Всякий же вид деятельности, связанный с творчеством, наоборот, покажет незаменимость и уникальность каждого человека. А когда речь идет о гениях, то мы все должны благодарить судьбу за возможность пользоваться плодами их деятельности, за исходящий от них свет, освещающий пути развития человечества.

Слайд4

И, естественно, среди самых популярных ученых мы по праву видим имя Блеза Паскаля.

Работы Паскаля охватывают самые разные области. Он является одним из создателей математического анализа, проективной геометрии, теории вероятностей, гидростатики…

Слайд5

Ему же принадлежит идея омнибусов - первого вида регулярного общедоступного городского транспорта.

Но я бы хотела вам рассказать о некоторых достижениях Паскаля в области информатики.

Слайд6

Наблюдая за работой своего отца, который был сборщиком налогов и часто выполнял долгие и утомительные расчёты, в 1962 г. , в возрасте 19 лет, Блез Паскаль начал создавать суммирующую машину- «Паскалину».

Она представляла собой легкий латунный ящичек. На верхней крышке—8 круглых отверстий, вокруг каждого нанесена круговая шкала. Шкала крайнего правого отверстия разделена на 12 равных частей, шкала соседнего с ним отверстия— на 20 частей, шкалы остальных 6 отверстий имеют десятичное деление. Такая градуировка соответствует делению ливра — основной денежной единицы того времени — на более мелкие.

В отверстиях видны зубчатые колеса. Число зубьев каждого колеса равно числу делений шкалы соответствующего отверстия. Каждое колесо может вращаться независимо от другого на собственной оси с помощью ведущего штифта, который вставляется между двумя смежными зубьями. С помощью счётной машины можно было проводить операции сложения и вычитания многозначных чисел.

Слайд7

Сохранилось семь арифметических машин. Одна из машин Парижского музея удостоверена собственноручной записью Паскаля и датой изготовления.

Машина Паскаля получила широкое применение: во Франции она оставалась в употреблении до 1799г., а в Англии даже до 1971 года.

Впоследствии были созданы счетные машины, несравненно более дорогие и более сложные, нежели машина Блеза Паскаля; машины, пользу которых для человечества трудно переоценивать…

Слайд8

Первый компьютер – компьютер ENIAC – можно считать  электронной версией    «Паскалины». В нем компоненты, собранные    из    вакуумных ламп, заменили    шестеренчатые    конструкции Блеза    Паскаля, то есть Паскаль изобрел то,    что    спустя почти 300 лет станет    арифметико-логическим    устройством    современных ЭВМ. 

Машина Паскаля произвела на современников огромное впечатление. О ней слагались легенды и писались стихи. Множество людей приходило ее смотреть в Люксембургский дворец, где она была выставлена. 

Слайд9

Но, наверное, самой известной математической работой Блеза Паскаля является трактат об "арифметическом треугольнике", образованном биномиальными коэффициентами, который имеет применение в теории вероятностей и обладает удивительными и занимательными свойствами.

В информатике такие задачи называют комбинаторными. Рассмотрением этого волшебного треугольника мы и займемся.

Слайд10

Мартин Гарднер пишет в книге "Математические новеллы": "Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике".

Слайд11

Объясняют устройство треугольника Паскаля слова: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. (например 2+1=3…) Все элементарно, но сколько в этом таится чудес.

Слайд12

На вершине треугольника стоит 1. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину. Вдоль диагоналей (насколько у треугольника могут быть диагонали), параллельных сторонам треугольника (на рисунке отмечены зелеными линиями) выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей.

Треугольные числа в самом обычном и привычном нам виде показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника – как классический пример начальная расстановка шаров в бильярде. К одной монетке можно прислонить еще две - итого три - к двум можно приладить еще три - итого шесть. Продолжая наращивать ряды с сохранением формы треугольника получим ряд 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66..., что и показывает вторая зеленая линия.

Следующая зеленая линия покажет нам тетраэдральные числа - один шар мы можем положить на три - итого четыре, под три подложим шесть - итого десять, и так далее.

А следующая зеленая линия (1, 5, 15, 35,...) продемонстрирует попытку выкладывания гипертетраэдра в четырехмерном пространстве - один шар касается четырех, а те, в свою очередь, десяти... В нашем мире такое невозможно, только в четырехмерном, виртуальном. И тем более пятимерный тетраэдр, о котором свидетельствует следующая зеленая линия, он может существовать только в рассуждениях топологов.

А о чем же говорит нам самая верхняя зеленая линия, на которой расположились числа натурального ряда? Это тоже треугольные числа, но одномерные, показывающие, сколько шаров можно выложить вдоль линии - сколько есть, столько и выложите. Если уж идти до конца, то самый верхний ряд из единиц - это тоже треугольные числа в нульмерном пространстве - сколько бы шаров мы не взяли - больше одного расположить не сможем, ибо просто негде - нет ни длины, ни ширины, ни высоты.

Чтобы найти сумму чисел, стоящих на любой диагонали от начала до интересующего нас места, достаточно взглянуть на число, расположенное снизу и слева от последнего слагаемого. Пусть, например, мы хотим вычислить сумму чисел натурального ряда от 1 до 9. "Спустившись" по диагонали до числа 9, мы увидим слева снизу от него число 45. Оно то и дает искомую сумму.

Суммы чисел, стоящих вдоль не столь круто падающих диагоналей (на рисунке отмечены красными линиями) образуют последовательность Фибоначчи, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.

Предположим, что некий шейх, следуя законам гостеприимства, решает отдать вам трех из семи своих жен. Сколько различных выборов вы можете сделать среди прекрасных обитательниц гарема? Для ответа на этот вопрос необходимо лишь найти число, стоящее на пересечении диагонали 3 и строки 7: оно оказывается равным 35.

Сумма чисел первой (самой верхней) строки равна 1. Следовательно, суммы чисел, стоящих в строках треугольника Паскаля, образуют геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем 2: 1, 2, 4, 8, ... .

Слайд13

А сейчас я хочу представить вам программу построения арифметического треугольника на языке программирования паскаль.

Теперь, наконец-то, переходим к самому интересному и удивительному свойству треугольника Паскаля. Заменим каждое число в треугольнике Паскаля точкой. Причем, нечетные точки выведем контрастным цветом, а четные - цветом фона.

Слайд14

Результат окажется непредсказуемо-удивительным: треугольник Паскаля разобьется на более мелкие треугольники, образующие изящный узор. По мере удаления от вершины нам будут встречаться треугольники все возрастающих размеров, не содержащие ни одной жирной точки, то есть "составленные" из одних лишь четных чисел.

Слайд15

Гениальные изобретения и идеи Паскаля не забыты до сегодняшнего дня и внесли неоценимый вклад в развитие науки, в том числе и информатики. Что касается треугольника Паскаля, то от него можно ожидать любых чудес, возможно и в скором будущем.

НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

УЧАЩИХСЯ МОУ СОШ п. Мизур

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

Тема: Паскаль и информатика

Выполнила Ванюшенкова Наталья Владимировна

Класс: 11

Руководитель: Ревазова Фатима Феликсовна

Мизур, 2011

Содержание

1. Введение

2. Основная часть

   1. Суммирующая машина Паскаля – «Паскалина»

   2. Арифметический треугольник

3. Заключение

4. Список литературы

5. Приложение

«Я хорошо помню одного профессора, имевшего
видение и подумавшего, что он сходит с ума.
Он пришел ко мне в состоянии полнейшей паники.
В ответ я просто взял с полки книгу, написанную
около четырехсот лет назад, и показал пациенту
гравюру по дереву, изображавшую в точности
то, что ему привиделось».
Карл Густав Юнг. Человек и его символы.

1. Введение

Уничижительная формулировка "незаменимых людей нет", столь любимая бездарными управленцами, может и подошла бы, если бы речь шла у копании траншеи или уборке мусора. Всякий же вид деятельности, связанный с творчеством, наоборот, покажет незаменимость и уникальность каждого человека. А когда речь идет о гениях, то мы все должны благодарить судьбу за возможность пользоваться плодами их деятельности, за исходящий от них свет, освещающий пути развития человечества. И, естественно, среди самых популярных ученых мы по праву видим имя Блеза Паскаля (1623-1662).

Паскаль умер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, он вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем благодарными потомками названы единица давления (паскаль) и получивший чрезвычайно широкое распространение язык программирования. Работы Паскаля охватывают самые разные области. Он является одним из создателей математического анализа, проективной геометрии, теории вероятностей, гидростатики (широко известен закон Паскаля, в соответствии с которым изменение давления в покоящейся жидкости передается в остальные ее точки без изменений. Паскаль продемонстрировал, что воздух обладает упругостью, и доказал, что он имеет вес, открыл, что показания барометра зависят от влажности и температуры воздуха и потому его можно использовать для предсказания погоды.

Некоторые из практических достижений Паскаля удостоились высшего отличия - сегодня мало кто знает имя их автора. Например, сейчас очень немногие скажут, что самая обыкновенная тачка - это изобретение Блеза Паскаля. Ему же принадлежит идея омнибусов - многоместных конных экипажей с фиксированными маршрутами - первого вида регулярного общедоступного городского транспорта. Уже в шестнадцатилетнем возрасте Паскаль сформулировал теорему о шестиугольнике, вписанном в коническое сечение (теорема Паскаля). (Известно, что позже он получил из своей теоремы около 400 следствий.)

Но я бы хотела вам рассказать о некоторых достижениях Паскаля в области информатики.

2. Основная часть

1. Суммирующая машина Паскаля – «Паскалина»

Наблюдая за работой своего отца, который был сборщиком налогов и часто выполнял долгие и утомительные расчёты, в 1962 г. , в возрасте 19 лет, Блез Паскаль начал создавать суммирующую машину- «Паскалину.

Она представляла собой легкий латунный ящичек размером 350×125×75мм. На верхней крышке—8 круглых отверстий, вокруг каждого нанесена круговая шкала. Шкала крайнего правого отверстия разделена на 12 равных частей, шкала соседнего с ним отверстия— на 20 частей, шкалы остальных 6 отверстий имеют десятичное деление. Такая градуировка соответствует делению ливра — основной денежной единицы того времени — на более мелкие: 1 су = 1 /20 ливра и 1 денье = 1/12 су.

 В отверстиях видны зубчатые колеса, находящиеся ниже плоскости верхней крышки. Число зубьев каждого колеса равно числу делений шкалы соответствующего отверстия (например, у крайнего правого колеса 12 зубьев). Каждое колесо может вращаться независимо от другого на собственной оси: поворот колеса осуществляется от руки с помощью ведущего штифта, который вставляется между двумя смежными зубьями. Поворот колеса передается посредством внутреннего механизма машины цилиндрическому барабану, ось которого расположена горизонтально. На боковой поверхности барабана нанесены два ряда цифр; цифры нижнего ряда расположены в порядке возрастания — О, ... 9, цифры верхнего ряда — в порядке убывания —9, 8,…, 1,0. Они видны в прямоугольных окнах крышки. Планка, которая помещается на крышке машины, может передвигаться вверх идти вниз вдоль окон, открывая либо верхний, либо нижний ряд чисел в зависимости от того, какое математическое действие нужно произвести. Это окна считки. В них видны цифры, нанесенные на горизонтальных цилиндрах. Если планку передвинуть в крайнее нижнее положение, то она закроет окна считки, но откроет другой ряд четырехугольных окон (также окна считки). На планке помещены колесики со стрелками, около каждого окна считки свое колесико. На этих колесниках находятся в том же порядке те же числа, что и на кругах,— на крайнем справа колесике 12 чисел, на следующем — 20, а на всех после дующих по 10. Стрелки на этих колесниках, поворачиваясь, показывают те же цифры, которые появляются в окнах считки.

 Паскаль продолжал  работать над   усовершенствованием машины, в частности   пытался сконструировать   устройство для извлечения   квадратного корня. Работа   продолжалась вплоть до   1652 года. Еще через   несколько месяцев он   отправит свою   машину   юной шведской  королеве Христине,   славившейся умом,   эксцентричностью и      ученостью, а затем   навсегда отойдет от   занятий   вычислительной   техникой.

Одну из первых удачных моделей своей машины Паскаль преподнес канцлеру Сегье. Покровительство Пьера Сегье помогло у ченому получить 22 мая 1649 года королевскую привилегию, которая устанавливала его приоритет в изобретении и закрепляла за ним право производить и продавать машины. С 1646 по 1649 год Паскаль изготовил некоторое количество машин, и часть их продал.

Сохранилось семь арифметических машин, четыре из которых находятся в Парижском музее искусств и ремесел, одна — в музее города Клермона, две — в частных коллекциях. Одна из машин Парижского музея удостоверена собственноручной записью Паскаля и датой изготовления (1652): «Еstо ргоbаti instrumenti sуmbоium hос: Вlаsius Раsсаi агуеnus, invеntог, 20 mау 1652».

Машина Паскаля получила широкое применение: во Франции она оставалась в употреблении до 1799г., а в Англии даже до 1971 года.

Впоследствии были созданы счетные (вычислительные), машины, несравненно более дорогие и более сложные, нежели машина Блеза Паскаля; машины, пользу которых для человечества трудно переоценивать... Однако их начало следует искать в скромном паскалевском колесе.

  Идея, положенная в основу машины, во второй половине XVII века широко использовалась многими учеными, например Фельтом, Однером, Перро, Лейбницем. В своей машине Паскаль использовал различные приспособления, которые затем широко применялись в конструкции счетных машин. Одним из них является храповое соединение. Храповое устройство соединяет два колеса таким образом, что, когда одно колесо вращается в определенном направлении, другое принуждено вращаться вместе с ним, но если первое колесо вращается в обратном направлении, второе остается неподвижным. Достигается это благодаря закругленным зубчатым колесам и защелки (храповика), которая прижимается к зубчатому колесу при помощи пружины. 

Идея «паскалева колеса» положена в основу работы механических часов.

 У Паскаля были и непосредственные преемники, которые усовершенствовали или несколько видоизменяли его машину. В частности, испанец Р. Перейра, известный своей системой обучения глухонемых, сконструировал две счетные машины, которые хотя и были основаны на принципах работы машины Паскаля, но в результате некоторых изменений оказались более совершенными, чем она.

Компьютер ENIAC (первая     электронная машина) был на самом     деле  электронной версией    «Паскалины»,  созданной на 300 лет    раньше, в нем компоненты, собранные    из    вакуумных ламп, заменили    шестеренчатые    конструкции Блеза    Паскаля, то есть Паскаль изобрел то,    что    спустя почти 300 лет станет    арифметико-логическим    устройством    современных ЭВМ.

 Машина Паскаля произвела на современников огромное впечатление. О ней слагались легенды и писались стихи. Множество людей приходило ее смотреть в Люксембургский дворец, где она была выставлена. 

В 1649 г. Паскаль получил на свою счетную машину королевскую привилегию, в которой, в частности, говорилось: «Главное изобретение и существенное движение состоит в том, что каждое колесо или стержень некоторого разряда, совершая движение на десять арифметических цифр, заставляет двигаться следующее только на одну цифру»

Французский астроном и математик Бине писал по поводу машины Паскаля: «Мысль Паскаля, особенно для того времени, следует назвать необычайно смелой, так как он задался целью заменить посредством чисто механических приспособлений деятельность нашего соображения и памяти. Но практический вопрос все еще остается открытым. Медленность хода механизма, придуманного Паскалем, очевидна»

Построив свою машину, Паскаль пришел к выводу, что ум человека действует автоматически и что некоторые умственные процессы не отличаются от механических. В этих выводах видно влияние философских взглядов Декарта. Интересно отметить, что в Энциклопедии (1751 г.) и собрании сочинений Паскаля, из данных в 1779 г., описание его счетной машины сделал Д. Дидро.

2.2. Треугольник Паскаля

Но, наверное, самой известной математической работой Блеза Паскаля является трактат об "арифметическом треугольнике", образованном биномиальными коэффициентами (треугольник Паскаля), который имеет применение в теории вероятностей и обладает удивительными и занимательными свойствами. Рассмотрением этого волшебного треугольника мы и займемся.

В действительности, треугольник Паскаля был известен задолго до 1653 года - даты выхода "Трактата об арифметическом треугольнике". Так, этот треугольник воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанном в начале XVI Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета. Изображен треугольник и на иллюстрации в книге одного китайского математика, выпущенной в 1303 году.

Омар Хайям, бывший не только философом и поэтом, но и математиком, знал о существовании треугольника около 1100 года, в свою очередь, заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.

Мартин Гарднер пишет в книге "Математические новеллы" (М., Мир, 1974): "Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике".

П редположим, что вы входите в город как показано на схеме синей стрелкой, и можете двигаться только вперед, точнее, все время выбирая, вперед налево, или вперед направо. Узлы, в которые можно попасть только единственным образом, отмечены зелеными смайликами, точка, в которую можно попасть двумя способами, показана красным смаликом, а тремя, соответственно, розовым. Это один из вариантов построения треугольника, предложенный Гуго Штейнгаузом в его классическом "Математическом калейдоскопе".

А еще проще объясняют устройство треугольника Паскаля слова: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Все элементарно, но сколько в этом таится чудес.

На вершине треугольника стоит 1. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину. Вдоль диагоналей (насколько у треугольника могут быть диагонали, но не будем придираться, такая терминология встречается в публикациях), параллельных сторонам треугольника (на рисунке отмечены зелеными линиями) выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей.

Треугольные числа в самом обычном и привычном нам виде показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника - как классический пример начальная расстановка шаров в бильярде. К одной монетке можно прислонить еще две - итого три - к двум можно приладить еще три - итого шесть. Продолжая наращивать ряды с сохранением формы треугольника получим ряд 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66..., что и показывает вторая зеленая линия. Этот замечательный ряд, каждый член которого равен сумме натурального ряда чисел (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10), содержит также множество знакомцев, хорошо известных любителям математики: 6 и 28 - совершенные числа, 36 - квадратное число, 3 и 21 - числа Фибоначчи.

Следующая зеленая линия покажет нам тетраэдральные числа - один шар мы можем положить на три - итого четыре, под три подложим шесть (напрягитесь и представьте!) - итого десять, и так далее.

А следующая зеленая линия (1, 5, 15, 35,...) продемонстрирует попытку выкладывания гипертетраэдра в четырехмерном пространстве - один шар касается четырех, а те, в свою очередь, десяти... В нашем мире такое невозможно, только в четырехмерном, виртуальном. И тем более пятимерный тетраэдр, о котором свидетельствует следующая зеленая линия, он может существовать только в рассуждениях топологов.

А о чем же говорит нам самая верхняя зеленая линия, на которой расположились числа натурального ряда? Это тоже треугольные числа, но одномерные, показывающие, сколько шаров можно выложить вдоль линии - сколько есть, столько и выложите. Если уж идти до конца, то самый верхний ряд из единиц - это тоже треугольные числа в нульмерном пространстве - сколько бы шаров мы не взяли - больше одного расположить не сможем, ибо просто негде - нет ни длины, ни ширины, ни высоты.

Чтобы найти сумму чисел, стоящих на любой диагонали от начала до интересующего нас места, достаточно взглянуть на число, расположенное снизу и слева от последнего слагаемого. (слева для правой диагонали, для левой диагонали будет справа, а вообще - ближе к середине треугольника). Пусть, например, мы хотим вычислить сумму чисел натурального ряда от 1 до 9. "Спустившись" по диагонали до числа 9, мы увидим слева снизу от него число 45. Оно то и дает искомую сумму. Чему равна сумма первых восьми треугольных чисел? Отыскиваем восьмое число на второй диагонали и сдвигаемся вниз и влево. Ответ: 120. Но, кстати, 120 - тетраэдральное число.

Суммы чисел, стоящих вдоль не столь круто падающих диагоналей (на рисунке отмечены красными линиями) образуют последовательность Фибоначчи.

Предположим (пример от Мартина Гарднера), что некий шейх, следуя законам гостеприимства, решает отдать вам трех из семи своих жен. Сколько различных выборов вы можете сделать среди прекрасных обитательниц гарема? Для ответа на этот волнующий вопрос необходимо лишь найти число, стоящее на пересечении диагонали 3 и строки 7: оно оказывается равным 35. Если, охваченные радостным волнением, вы перепутаете номера диагонали и строки и будете искать число, стоящее на пересечении диагонали 7 со строкой 3, то обнаружите, что они не пересекаются. То есть сам метод не дает вам ошибиться!

В общем случае, число, показывающее, сколькими способами можно выбрать n элементов из множества, содержащего r различных элементов, стоит на пересечении n-ной д иагонали и r-ой строки.

Число возможных сочетаний из n элементов по m определяется формулой

Где n!=1*2*3*4*....*n так называемый факториал числа n. И тех же трех жен из семи можно выбрать столькими вариантами: C³7 =7!/3!/4!=1*2*3*4*5*6*7/1*2*3/1*2*3*4=5040/6/24=35, что мы раньше и получили. А значения биномиальных коэффициентов определяются по формуле причем, они же и являются, как мы выяснили, строками треугольника Паскаля, связывая непостижимым образом этот треугольник с комбинаторикой и разложением двучлена по степеням.

Кстати, из формулы сочетаний следует, что количество вариантов выбора трех из семи равно количеству вариантов выбора четырех из семи, или, число вариантов заполнения карточек Спортлото 5 из 36 равно количеству выбора 31 из 36, поразмышляйте об этом приятном предмете.

Связь между комбинаторикой и теорией вероятностей станет ясной, если мы рассмотрим восемь возможных исходов бросания трех монет: ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ, РГР, РРГ, РРР. Нетрудно видеть, что три герба выпадают лишь в одном случае, два герба - в трех случаях, один герб - также в трех случаях и ни одного герба - в одном случае. Числа благоприятных испытаний для получения 3, 2, 1 и 0 гербов равны 1, 3, 3, 1. Именно эти числа стоят в третьей строке треугольника Паскаля. Предположим теперь, что мы хотим узнать вероятность выпадения ровно 5 гербов при одновременном бросании 10 монет. Прежде всего, необходимо подсчитать, сколько существуют различных способов, позволяющих выбрать 5 монет из 10. Ответ мы получим, найдя число, стоящее на пересечении 5-й диагонали и 10-й строки. Оно равно 252. Сложив все числа, стоящие в 10-й строке, мы найдем число возможных исходов, вычисления можно намного сократить, если воспользоваться следующим свойством биномиальных коэффициентов: сумма коэффициентов бинома (х+у)ⁿ, а именно они и стоят в n-й строке треугольника Паскаля, равна 2ⁿ. Действительно, сумма чисел, стоящих в любой строке треугольника, вдвое больше суммы чисел, стоящей в предыдущей строке, поскольку при построении каждой строки числа, стоящие в предыдущей, сносятся дважды. Сумма чисел первой (самой верхней) строки равна 1. Следовательно, суммы чисел, стоящих в строках треугольника Паскаля, образуют геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем 2: 1, 2, 4, 8, ... . Десятая степень числа 2 равна 1024. Следовательно, вероятность выпадения пяти гербов при бросании 10 монет равна 252/1024= 63/256 .

Треугольник Паскаля позволяет объяснить принцип действия так называемой доски Гамильтона - механического устройства служащего для демонстрации приближенного гауссовского распределения.

Теперь, наконец-то, переходим к самому интересному для нас удивительному свойству треугольника Паскаля. Заменим каждое число в треугольнике Паскаля точкой. Причем, нечетные точки выведем контрастным цветом, а четные - прозрачным, или цветом фона. Результат окажется непредсказуемо-удивительным: треугольник Паскаля разобьется на более мелкие треугольники, образующие изящный узор. Узоры эти таят в себе много неожиданностей. По мере удаления от вершины нам будут встречаться треугольники все возрастающих размеров, не содержащие ни одной жирной точки, то есть "составленные" из одних лишь четных чисел. У вершины треугольника Паскаля "притаился" треугольник состоящий из одной - единственной точки, затем идут треугольники, содержащие 6, 28, 120, 496, ... точек. Три из названных чисел - 6, 28 и 496 - известны как совершенные, поскольку каждая из них равно сумме всех своих делителей, отличных от самого числа. Например, 6=1+2+3. Неизвестно, существует ли бесконечно много совершенных чисел, а также существует ли хоть одно нечетное совершенное число.

У мэтра популярной математики Мартина Гарднера найдём, что ещё в 1905 году на ежегодной математической олимпиаде в Венгрии предлагалась задача: "Квадрат разделён на 9 частей (как для игры крестики-нолики) и центральный квадрат удалён. Затем каждый из оставшихся 8 квадратов разделён на 9 частей, центральный квадрат удалён и процедура повторяется многократно. Найти предел, к которому стремится площадь полученной фигуры". Так вот - полученная фигура и есть ковёр Серпинского - квадрат настолько дырявый, что он уже ближе к линии. Аналогично можно получить и увиденный нами треугольник - первоначально у треугольника соединяются середины сторон и полученный треугольник удаляется.

На втором этапе эта же операция проводится с тремя оставшимися треугольниками, потом с девятью оставшимися и так далее. Сможете ли вы найти предел, к которому стремится оставшаяся площадь? И как объяснить совпадение двух моделей?

А если раскрасить треугольник Паскаля? Для этого представим, что красный цвет зависит от четности числа, зеленый - от делимости его на 9, а синий - от делимости на 11.

И вот результат. Не правда ли красиво? Видны красные треугольные "зоны Серпинского", которые, накладываясь на зеленые окошки от девяток, дают желтые зоны, а с синими участками от деления на 11 дают сиреневые участки. Имеет ли эта красота прикладное значение кроме узора для обоев пока не ясно.

Мы начинали рассмотрение треугольника Паскаля с вариантов движения, ими и закончим.

Знание вариантов маршрута короля позволяет мастерам спасать совершенно проигрышные позиции. (Приведен знаменитый этюд Рети, в котором король удивительным образом успевает повоевать в двух противоположных участках доски.) А связь с нашей темой в том, что количество вариантов маршрутов короля для достижения каждого поля подчиняется закономерности треугольника Паскаля! Смотрите диаграмму, как пишут в шахматных учебниках. И используйте это в ваших эндшпилях.

И самый последний вопрос, связанный одновременно с треугольником Паскаля и с шахматами. Чему равна сумма всех чисел, стоящих выше какого-либо ряда? Рассмотрите сами, начиная сверху эти суммы, и увидите значения 1, 3, 7, 15, 31,... Не надо обладать большой фантазией, чтобы увидеть простую закономерность: сумма всех чисел для n рядов равна 2ⁿ-1. А причем здесь шахматы? По общеизвестной легенде раджа обещал создателю шахмат любую награду, которую тот попросит. Когда же первый шахматист попросил положить на первый квадрат доски одно пшеничное зерно, на второй - два, на третий - четыре, и так продолжая удваивать, до 64-го квадрата, то раджа даже обиделся сначала мизерностью просимой награды. Когда же его завхозы-кладовщики прикинули просимое количество, то оказалось, что этим зерном можно было бы засыпать всю Землю по колено, это намного больше, чем было и будет собрано во всех урожаях человечества. (Кстати, можно прикинуть высоту слоя зерна, задавшись объемом зернышка, например, 1 мм³, умножить на 2⁶⁴, непременно отнять 1 и разделить на площадь земной поверхности.) Так вот - на каждой клетке доски лежало (бы) количество зерен, равное сумме чисел в соответствующей строке треугольника Паскаля, а сумма всех зернышек на первых n клетках равнялась (бы) сумме чисел на этих n строках этого волшебного треугольника. На этой изобильной фантазии и завершим его рассмотрение.

1. Заключение

Гениальные изобретения и идеи Паскаля не забыты до сегодняшнего дня и внесли неоценимый вклад в развитие науки, в том числе и информатики. Что касается треугольника Паскаля, то от него можно ожидать любых чудес, возможно и в скором будущем.

1. Список литературы (Интернет-источники):

http://arbuz.uzpak.uz/u_treug.html

http://ru.wikipedia.org/wiki/

http://schools.keldysh.ru/sch444/museum/

http://historyvt.narod.ru/bles.htm

http://www.vokrugsveta.ru/encyclopedia/

http://www.univ-bpclermont.fr/annuaire.php

1. Приложение

Программа формирования треугольника Паскаля для заданного количества строк.

program Treugolnik_Pascala;

uses Crt;

const max=100;

var

a :array[0..max,0..max] of word;

n :byte;

i,j :byte;

begin

ClrScr;

Write('количество строк');Readln(n);

n:=n+1;

a[1,1]:=1;

for j:=2 to n do

for i:=1 to j do begin

a[i,j]:=a[i-1,j-1]+a[i,j-1];

end;

ClrScr;

for j:=1 to n do

for i:=1 to j do begin

TextColor(0);

GotoXY(i*5-4+round(trunc(2.5*(n-j))),j);

Writeln(a[i,j]);

TextColor(1);

GotoXY((n+1)*5-4,j);Writeln(j-1);

end;

ReadKey;

end.

18

Паскаль и информатика

Работа ученицы 11 класса МОУ СОШ пос. Мизур Ванюшенковой Наташи

«Я хорошо помню одного профессора, имевшего видение и подумавшего, что он сходит с ума. Он пришел ко мне в состоянии полнейшей паники. В ответ я просто взял с полки книгу, написанную около четырехсот лет назад, и показал пациенту гравюру по дереву, изображавшую в точности то, что ему привиделось.» Карл Густав Юнг. Человек и его символы.

Исаак Ньютон

Альфред Эйнштейн

Христиан Гюйгенс

Андре-Мари Ампер

Блез Паскаль (1623-1662).

Омнибус.

О́мнибус (от лат. Omnibus — «для всех») — вид городского общественного транспорта, характерный для второй половины XIX века. Многоместная (15—20 мест) повозка на конной тяге, предшественник автобуса.

«Паскалина»

« Esto probati instrumenti simbolum hoc: Blasius Pascal aryenus, inventor, 20 may 1652 »

Компьютер ENIAC (первая     электронная машина)

Арифметический треугольник (Треугольник Паскаля).

Мартин Гарднер пишет в книге "Математические новеллы" (М., Мир, 1974):

"Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике".

a[i,j]=a[i-1,j-1]+a[i , j-1]

3=2+1

1

1

1

2

Числа Фибоначчи

3

2

5

8

4

13

21

8

…

16

a n = a 1 q n-1

program Treugolnik_Pascala;

uses Crt;

const max=100;

var

a :array[0..max,0..max] of word;

n :byte;

i,j :byte;

begin

ClrScr;

Write(‘ количество строк ');Readln(n);

n:=n+1;

a[1,1]:=1;

for j:=2 to n do

for i:=1 to j do begin

a[i,j]:=a[i-1,j-1]+a[i,j-1];

end;

ClrScr;

for j:=1 to n do

for i:=1 to j do begin

TextColor(0);

GotoXY(i*5-4+round(trunc(2.5*(n-j))),j);

Writeln(a[i,j]);

TextColor(1);

GotoXY((n+1)*5-4,j);Writeln(j-1);

end;

ReadKey;

end.