Тема урока: Асимптоты функции, их виды и нахождение.
Цели урока:1.Обучающая: Рассмотреть виды асимптот функции и способы их нахождения. 2.Развивающая: Способствовать развитию логического мышления, памяти. 3. Воспитательная: Аккуратное ведение конспектов, самодисциплина.
: Урок изучения нового материала и первичного закрепления.
. I. Оргмомент
II. Актуализация опорных знаний Устный опрос.
II. Целевая установка.
Ход урока. 1. Тема урок
2. Цель урока III. Формирование новых понятий и способов действий. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) при x → a, если выполнено хотя бы одно из условий:, Прямая y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если Прямая y = kx + b, k ≠ 0 называется наклонной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если Аналогично определяются горизонтальная и наклонная асимптоты при x →–∞. Для того, чтобы прямая y = kx + b была асимптотой графика функции y = f (x) при x → +∞, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы
IV. Формирование навыков умственного труда
Пример 1. Для функции найти асимптоты. Решение График условие имеет вертикальную асимптоту х = 1, поскольку при выполняется , а также при выполняется условие . Вертикальная асимптота функции Пример 2. Найти асимптоты графика функции:
Решение 1) х = 1 – вертикальная асимптота
2) Найдём наклонные асимптоты графика , , уравнение наклонной асимптоты. График и его наклонная асимптота Пример 3. Найти асимптоты графика функции: Решение Таким образом, при Теперь найдём асимптоту при . Имеем: наклонной асимптотой служит прямая , уравнение наклонной асимптоты при будет: График и его две наклонных асимптоты V. Итог урока. Подведение итогов, выводы.
Если предварительно построить асимптоты кривой, то многих случаях построение графика функции облегчается.
Судьба асимптоты полна трагизма. Представьте себе, каково это: всю жизнь двигаться по прямой к заветной цели, подойти к ней максимально близко, но так и не достигнуть её. Например, стремиться соединить свой жизненный путь с путём желанного человека, в какой-то момент приблизиться к нему почти вплотную, но даже не коснуться его. Или стремиться заработать миллиард, но до достижения этой цели и записи в книгу рекордов Гиннеса для своего случая не достаёт сотых долей цента. И тому подобное. Так и с асимптотой: она постоянно стремится достигнуть кривой графика функции, приближается к нему на минимальное возможное расстояние, но так и не касается его.
Определение 1. Асимптотами называются такие прямые, к которым сколь угодно близко приближается график функции, когда переменная стремится к плюс бесконечности или к минус бесконечности.
Определение 2. Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние от переменной точки М графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат по какой-либо ветви графика функции.
Кстати, будет полезным открыть в новом окне материал Свойства и графики элементарных функций.
Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Вертикальные асимптоты
Первое, что нужно узнать о вертикальных асимптотах: они параллельны оси Oy.
Определение. Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции, если точка x = a является точкой разрыва второго рода для этой функции.
Из определения следует, что прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции f(x), если выполняется хотя бы одно из условий:
(предел функции при значении аргумента, стремящимся к некоторому значению a слева, равен плюс или минус бесконечности)
(предел функции при значении аргумента, стремящимся к некоторому значению a справа, равен плюс или минус бесконечности).
При этом функция f(x) может быть вообще не определена соответственно при x ≥ a и x ≤ a.
Замечание:
символом обозначается стремление x к a справа, причём x остаётся больше a;
символом обозначается стремление x к a слева, причём x остаётся меньше a.
Из сказанного следует, что вертикальные асимптоты графика функции можно искать не только в точках разрыва, но и на границах области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет.
Пример 1. График функции y=lnx имеет вертикальную асимптоту x = 0 (т.е. совпадающую с осью Oy) на границе области определения, так как предел функции при стремлении икса к нулю справа равен минус бесконечности:
(рис. сверху).
Найти асимптоты графика функции самостоятельно
Пример 2. Найти асимптоты графика функции .
Пример 3. Найти асимптоты графика функции
Пример 4. Найти асимптоты график функции .
Горизонтальные асимптоты
Первое, что нужно узнать о горизонтальных асимптотах: они параллельны оси Ox.
Если (предел функции при стремлении аргумента к плюс или минус бесконечности равен некоторому значению b), то y = b – горизонтальная асимптота кривой y = f(x) (правая при иксе, стремящимся к плюс бесконечности, левая при иксе, стремящимся к минус бесконечности, и двусторонняя, если пределы при стремлении икса к плюс или минус бесконечности равны).
Наклонные асимптоты
Пример 5. График функции
при a 1 имеет левую горизонтальную асимпототу y = 0 (т.е. совпадающую с осью Ox), так как предел функции при стремлении "икса" к минус бесконечности равен нулю:
Правой горизонтальной асимптоты у кривой нет, поскольку предел функции при стремлении "икса" к плюс бесконечности равен бесконечности:
Вертикальные и горизонтальные асимптоты, которые мы рассмотрели выше, параллельны осям координат, поэтому для их построения нам требовалось лишь определённое число - точка на оси абсцисс или ординат, через которую проходит асимптота. Для наклонной асимптоты необходимо больше - угловой коэффициент k, который показывает угол наклона прямой, и свободный член b, который показывает, насколько прямая находится выше или ниже начала координат. Не успевшие забыть аналитическую геометрию, а из неё - уравнения прямой, заметят, что для наклонной асимптоты находят уравнение прямой с угловым коэффициентом. Существование наклонной асимптоты определяется следующей теоремой, на основании которой и находят названные только что коэффициенты.
Теорема. Для того, чтобы кривая y = f(x) имела асимптоту y = kx + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы k и b рассматриваемой функции при стремлении переменной x к плюс бесконечности и минус бесконечности:
(1)
и
(2)
Найденные таким образом числа k и b и являются коэффициентами наклонной асимптоты.В первом случае (при стремлении икса к плюс бесконечности) получается правая наклонная асимптота, во втором (при стремлении икса к минус бесконечности) – левая. Правая наклонная асимптота изображена на рис. снизу.
При нахождении уравнения наклонной асимптоты необходимо учитывать стремление икса и к плюс бесконечности, и к минус бесконечности. У некоторых функций, например, у дробно-рациональных, эти пределы совпадают, однако у многих функций эти пределы различны а также может существовать только один из них.
При совпадении пределов при иксе, стремящемся к плюс бесконечности и к минус бесконечности прямая y = kx + b является двусторонней асимптотой кривой.
Если хотя бы один из пределов, определяющих асимптоту y = kx + b, не существует, то график функции не имеет наклонной асимптоты (но может иметь вертикальную).
Нетрудно видеть, что горизонтальная асимптота y = b является частным случаем наклонной y = kx + b при k = 0.
Поэтому если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.
Пример 6. Найти асимптоты графика функции
Решение. Функция определена на всей числовой прямой, кроме x = 0, т.е.
Поэтому в точке разрыва x = 0 кривая может иметь вертикальную асимптоту. Действительно, предел функции при стремлении икса к нулю слева равен плюс бесконечности:
Следовательно, x = 0 – вертикальная асимптота графика данной функции.
Горизонтальной асимптоты график данной функции не имеет, так как предел функции при стремлении икса к плюс бесконечности равен плюс бесконечности:
Выясним наличие наклонной асимптоты:
Получили конечные пределы k = 2 и b = 0. Прямая y = 2x является двусторонней наклонной асимптотой графика данной функции (рис. внутри примера).
Пример 7. Найти асимптоты графика функции
Решение. Функция имеет одну точку разрыва x = −1. Вычислим односторонние пределы и определим вид разрыва:
,
.
Заключение: x = −1 - точка разрыва второго рода, поэтому прямая x = −1 является вертикальной асимптотой графика данной функции.
Ищем наклонные асимптоты. Так как данная функция - дробно-рациональная, пределы при и при будут совпадать. Таким образом, находим коэффициенты для подстановки в уравнение прямой - наклонной асимптоты:
Подставляя найденные коэффициенты в уравнение прямой с угловым коэффициентом, получаем уравнение наклонной асимптоты:
y = −3x + 5.
Пример 8. Найти асимптоты графика функции
.
Решение. Так как данная функция непрерывна, её график не имеет вертикальных асимптот. Ищем наклонные асимптоты:
.
Таким образом, график данной функции имеет асимптоту y = 0 при и не имеет асиптоты при .
Пример 9. Найти асимптоты графика функции
.
Решение. Сначала ищем вертикальные асимптоты. Для этого найдём область определения функции. Функция определена, когда выполняется неравенство и при этом . Знак переменной x совпадает со знаком . Поэтому рассмотрим эквивалентное неравенство . Из этого получаем область определения функции: . Вертикальная асимптота может быть только на границе области определения функции. Но x = 0 не может быть вертикальной асимптотой, так как функция определена при x = 0.
Рассмотрим правосторонний предел при (левосторонний предел не существует):
.
Точка x = 2 - точка разрыва второго рода, поэтому прямая x = 2 - вертикальная асимптота графика данной функции.
Ищем наклонные асимптоты:
Итак, y = x + 1 - наклонная асимптота графика данной функции при . Ищем наклонную асимптоту при :
Итак, y = −x − 1 - наклонная асимптота при .
Пример 10. Найти асимптоты графика функции
Решение. Функция имеет область определения . Так как вертикальная асимптота графика этой функции может быть только на границе области определения, найдём односторонние пределы функции при :
,
.
Оба предела нашли, используя первый замечательный предел. Заключение: x = 0 - точка устранимого разрыва, поэтому у графика функции нет вертикальных асимптот.
Ищем наклонные асимптоты:
Таким образом, при наклонной асимптотой графика данной функции является прямая y = x. Но при найденные пределы не изменяются. Поэтому при наклонной асимптотой графика данной функции также является y = x.
Пример 11. Найти асимптоты графика функции
.
Решение. Сначала найдём вертикальные асимптоты. Для этого найдём точки разрыва функции и их виды. Знаменатель не может быть равным нулю, поэтому должно соблюдаться условие . Функция имеет две точки разрыва: , . Чтобы установить вид разрыва, найдём односторонние пределы:
Так как все пределы равны бесконечности, обе точки разрыва - второго рода. Поэтому график данной функции имеет две вертикальные асимптоты: x = 2 и x = −2.
Ищем наклонные асимптоты. Так как данная функция является дробно-рациональной, пределы при и при совпадают. Поэтому, определяя коэффициенты прямой, ищем просто пределы:
Подставляем найденные коэффициенты в уравнение прямой с угловым коэффициентом, получаем уравнение наклонной асимптоты y = 2x. Таким образом, график данной функции имеет три асимптоты: x = 2, x = −2 и y = 2x.
Найти асимптоты графика функции самостоятельно
Пример 12. Найти асимптоты графика функции .
Пример 13. Найти асимптоты графика функции .