Урок по алебре 9 класс

Открытый урок то теме:

«Подготовка к ОГЭ на уроках математики

в 9 классе. Уравнения»

Цели и задачи:

• Повторить все известные нам виды уравнений;

• Вспомнить способы решения этих уравнений;

• Решать уравнения из заданий демонстрационных вариантов ГИА 2017 года.

• Способствовать развитию логического мышления.

• Развивать коммуникативные навыки.

Форма урока: деловая игра.

Оборудование:

• компьютер, проектор, экран;

• тетрадь для подготовки к ГИА.

Продолжительность: 

45 минут.

Ход урока:

I. Организационный момент (3 мин)

- Здравствуйте! Посмотрите, пожалуйста, друг на друга и от всей души улыбнитесь.

Сегодня мы с вами на базе класса формируем организацию, которая занимается транспортными перевозками для сети магазинов «Магнит». Как в каждой организации в «транс-класс» существуют и работают свои структуры, отвечающие за определённый вид деятельности. Это группы, перед которыми стоят, соответствующие их виду деятельности, задачи.

• Администраторы.

• Диспетчерская служба.

• Рекламные агенты.

• Экономисты.

• Водители.

II. Актуализация знаний.

Сначала выберем администратора. (Устный счет.) Кто больше всех знает, того и выберем администратором .

Решите уравнение (x–6)(4x–6) = 0.

Найдите корень уравнения 5(х+4)=–9

Решите уравнение 2(5+х) = 7–х

Решите уравнение15–7х=11х–21

Решите уравнение 7x−9=40

Найдите наименьший корень уравнения x²+4·x+3=0

Найдите наибольший корень уравнения х²+Зх+2=0

- Вот мы с вами выбрали администрацию. Теперь пускай они выберут среди вас рекламщиков, экономистов, водителей, диспетчеров. (Администрация под руководством учителя выбирает группы и ребята садятся на свои места).

III. Основная часть.

1. Виды уравнений. Алгоритмы решения уравнений.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Начнем наш урок с повторения теоретического материала. Вспомним о видах уравнений (слайды7-14).

2. Формирование умений и навыков.

1. Самостоятельные работы группам. Проверка специалистов в соответствии квалификации.

Администраторам: 

Экономистам: 

Рекламным агентам:  .

Диспетчерской службе: 

Водителям: 

Мы с вами справились с задачей, показали свои способности . Теперь можем приступить к своим обязанностям.

IV. Физкультминутка .

- А теперь разминка.

- Повернитесь ко мне. Я проговариваю предложения. Если оно справедливо – вы встаёте, если нет – то остаётесь сидеть.

1) 5х = 7 имеет единственный корень. 

2) 0х = 0 не имеет корней. 
3) Если Д 0, то квадратное уравнение имеет два корня. 
4) Если Д  
5) Количество корней не больше степени уравнения.

V. Закрепление и повторение материала.

Решение задач с помощью составления уравнений.

- Мы научились решать дробные уравнения.

А для чего они нужны? Какие задачи приводят к их появлению?

- Такие ,в которых одна величина выражается через другие при помощи дробного выражения.

Например: время = ;   ;

Cторона прямоугольника= ;

;

 и другие.

Группы получают по одной задаче на группу, решение которой представляют после совместного обсуждения в группах. Предварительно необходимо выбрать руководителя организации (как правило, самого инициативного, имеющего достаточную базу знаний ученика). В течение урока руководитель имеет право консультировать группы, которые столкнулись с проблемами при решении задач.

Задача администраторов: Ваша компания приобрела акции одинаковой стоимости на сумму 110000 рублей. Если бы она отложила покупку акций на год, то приобрела бы на эту сумму на 20 акций меньше, так как цена одной акции данного вида выросла за этот год на 50 рублей. Сколько акций приобрела компания?

Решение:

110000/(х-20)-110000/х=50

50х²-1000х-2200000=0

х²-20х-44000=0

х=220; х=-200- не удовлетворят условию задачи.

Ответ: компания приобрела 220 акций.

Задача диспетчерской службы: Ваша организация получает заказ на 5400 перевозок. Фактически она производила ежедневно на 30 перевозок больше, чем предполагалось, и выполнила заказ на 9 дней раньше срока. За сколько дней был выполнен заказ?

Решение:

5400/х-5400/(х+30)=9

5400(х+30)-5400х=9х(х+30)

х²+30х-18000=0

Д=270²

Х=120; х=-150 – не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: заказ был выполнен за 120 дней.

Задача службы рекламы: Для оформления офиса необходимо изготовить настенное панно, где бы разместилась фотография размером 12см на 18 см и вокруг получилась рамка одинаковой ширины. Определите ширину рамки, если всё панно имеет площадь 280 см².

Ре шение:

х – ширина рамки

(2х+12)(2х+18)=280

4х²+60х-64=0

х²+15х-16=0

х=1; х=-16 –не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: ширина рамки равна 1-у сантиметру.

Задача для водителей: Чтобы ликвидировать опоздание рейса на 1 час, водитель маршрутного такси на перегоне в 720 километров, увеличил скорость, с которой шёл по расписанию, на 10 км/ч. Какова скорость такси по расписанию?

Решение:

720/х-720/(х+10)=1

720(х+10)-720х=х(х+10)

Х²+10х-7200=0

Д=7225

Х=80; х=-90 – не удовлетворяет условию задачи

Ответ: скорость такси по расписанию 80 км/ч.

Задача для экономистов: В связи с повышением стоимости топлива в «Транс-класс» возникла необходимость повысить стоимость проезда. На данный момент она составляет 3500 рублей. Какой из способов повышения более выгоден для компании?

1 способ: Повысить стоимость в два этапа: сначала на 15%, затем ещё на 10%.

2 способ: Повысить стоимость проезда сразу на 25%.

Решение:

1 способ: 1) 3500*1,15=4025 (руб.)- стоит билет после 1-ого повышения

2) 4025*1,1= 4427,5 (руб.) – стоит билет после 2-ого повышения

2 способ: 3500*1,25=4375 (руб.)

Ответ: Компании выгоднее повышать стоимость проезда в два этапа. Выгода составляет 52,5 рубля.

4. Вывод: Сформулировать алгоритм решения задач на составление уравнений:

• Составить краткую запись (таблицу).

• Составить уравнение

• Решить полученное уравнение

• Отбросить посторонние корни

• Записать ответ

VI. Итог урока.

Итак, вы могли убедиться, что людям разных профессий приходится иметь дело с задачами на уравнения.

И на свете нет профессий
Вы заметьте-ка
Где бы нам не пригодилась Ма-те-ма-ти-ка!

Задание на дом: п. 26 №293, №301+ индивидуальные задания в карточках

Администраторам:

Экономистам:

Рекламным агентам:

Диспетчерской службе:

Водителям:

Из одной точки круговой трассы, длина которой 19 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 95 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля.

Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью на 9 км/ч больше скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста.

Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого автомобилиста на 9 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 60 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 40 км/ч.

Вертолет пролетел по ветру расстояние 120 км и обратно вернулся, потратив на весь путь 6 час. Найдите скорость ветра если скорость в штиль составляет 45 км/час.

Из одной точки круговой трассы, длина которой 19 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 95 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля.

40 мин = 40/60 часа = 2/3 часа
Пусть скорость второго автомобиля х км/ч
2/3·х км – проехал второй автомобиль
2/3·95 =190/3 км – проехал первый автомобиль
Зная, что через 2/3 часа первый автомобиль опережал второй на 19 км составим уравнение:
190/3–2/3·х=19
2/3·х=190/3–19
2/3·х=190/3–57/3
2/3·х=133/3
х=133/3:2/3
х=(133·3)/(3·2)
х=66,5
Значит, скорость второго автомобиля равна 66,5 км/ч

Задание 22. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью на 9 км/ч больше скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста.

Решение.

Пусть x км/ч – скорость первого автомобилиста. Весь путь примем за 2, тогда первую часть пути (то есть 1) второй автомобилист проехал за   часов, а вторую – за   часов (так как его скорость на второй половине пути была больше на 9 км/ч скорости первого автомобиля). Суммарное время второго автомобилиста в пути   часов равно времени в пути первого автомобилиста, равное   часов. Получаем уравнение:

,

которое перепишем в виде

,

откуда

Решаем квадратное уравнение, получаем два корня:

Так как скорость автомобиля является величиной положительной, то получаем решение 36 км/ч.

Ответ: 36.

Задание 22. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого автомобилиста на 9 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 60 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 40 км/ч.

Решение.

Пусть x км/ч скорость первого автомобиля. Весь путь условно примем за 2 (чтобы удобно было представлять половины этого пути). Так как первый автомобилист ехал с постоянной скоростью, то его время в пути составило   часов. Второй автомобилист первую часть пути ехал со скоростью x-9 км/ч, а вторую часть со скоростью 60 км/ч, следовательно, в пути он провел   часов. Так как оба автомобилиста прибыли в пункт В одновременно, то время в пути у них было одинаковым. Получаем уравнение:

,

упрощаем, имеем:

Решаем квадратное уравнение, получаем два корня:

По условию задачи скорость первого автомобилиста больше 40 км/ч, следовательно, из двух корней остается только 45 км/ч.Ответ: 45.

Вертолет пролетел по ветру расстояние 120 км и обратно вернулся, потратив на весь путь 6 час. Найдите скорость ветра если скорость в штиль составляет 45 км/час. Решение: 
Обозначим скорость ветра через х км/час. Тогда за ветром скорость вертолета составит (45+х) км/час, и в обратном направлении (45-х) км/час. По условию задачи вертолет потратил 6 часов на дорогу. 
Разделив расстояние на скорость и просуммировав получим время

Получили дробно рациональное уравнение схема решения которого неоднократно повторялась 
 

Решением второго уравнения будут значения x=-45; x=45.

Корни числителя найдем после упрощений 

С физических соображений первое решение отвергаем.

Ответ: скорость ветра 15 км/ч

Решение: Задано дробное рациональное уравнение. Находим сначала корни числителя, для этого решаем квадратное уравнение

Вычисляем дискриминант

и корни уравнения

Получили три нуля числителя  .
Квадратное уравнение в знаменателе проще и можем решить по теореме Виета

Числитель и знаменатель не имеют общих корней поэтому все три найденные значения   будут решениями.

Пример 3. Найти корни уравнения

Решение: Переносим слагаемое за знак равенства

и сводим к общему знаменателю 
Раскрываем в числителе скобки и сводим к квадратному уравнениюПолученное дробно рациональное уравнение эквивалентно системе двух уравнений
Корни первого вычисляем через дискриминант
Нули второго находим без проблем
Исключаем из решений числителя значение   и получим.

Ответ: х=3.

Решить дробно-рациональные уравнения:

Переносим все слагаемые в левую часть уравнения и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

Пришли к уравнению типа «дробь равна нулю» Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, поэтому это уравнение равносильно системе:

Находим значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль, и исключаем их из области допустимых значений:

  Теперь находим значения переменных, при которых числитель обращается в нуль:

  Это — квадратное уравнение. Его корни

 Оба корня удовлетворяют условиям x≠2, x≠ -4.Ответ: 5; -6.

Переносим все слагаемые в одну сторону и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

  - при этих значениях переменной знаменатель обращается в нуль, поэтому их исключаем из ОДЗ.

  Из двух корней квадратного уравнения

  - второй не входит в ОДЗ. Поэтому в ответ включаем лишь первый корень.

Ответ: -4.

Переносим все слагаемые в одну сторону и приводим дроби к НОЗ:

 Значение переменной, при котором знаменатель обращается в нуль, исключаем из ОДЗ:

  Уравнение

 - частный случай линейного уравнения. Оно имеет бесконечное множество решений: какое бы число мы не подставили вместо x, получим верное числовое равенство. Единственное значение x, который не входит в множество решений данного уравнения — 3.

Ответ: x — любое число, кроме 3.

  Переносим все слагаемые в левую часть и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

- при этих значениях переменной дробь не имеет смысла, поскольку знаменатель обращается в нуль.

Так как 2 не входит в ОДЗ, данное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.