Урок по алгебре и начала анализа в 10 классе на тему «Функциональные зависимости вокруг нас»

Урок по алгебре и начала анализа в 10 классе на тему «Функциональные зависимости вокруг нас»

Цели и задачи:

 образовательные: обобщить понятие функциональной зависимости; формировать навыки исследования различных функций, интегрируя с предметами школьного образовательного цикла.

 развивающие: развивать интерес у учащихся к предмету; развивать логическое мышление, исследовательские навыки, умение сравнивать, обобщать, делать выводы; развивать культуру устной речи.

 воспитательные: формировать мотивы познавательной деятельности.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний (интегрированный урок в 10 классе).

Оборудование: компьютер, проектор, экран, диски.

Формы организации: индивидуальная работа, групповая работа, коллективная работа, самостоятельная работа.

Ход урока:

1. Вступительное слово учителя:

- Сегодня на уроке мы завершаем разговор о степенной функции. Каждый изученный нами раздел математики я стараюсь завершить ответом на ваши вопросы: «Зачем изучать математику?» и «Где мне это пригодиться в жизни?» (слайд 1) Этот урок не исключение.

Вспомним ещё раз, что же такое функциональная зависимость? (функцией называют зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной). А сегодня я хочу вам показать, как функциональную зависимость можно установить в физических явлениях, биологии, рисовании, музыке, литературе и многом другом (слайд 2). Давайте разделимся на группы (по 4-5 человек).

2. Физика. Физическое понятие электричество напрямую связано с тригонометрическими функциями: y=sin x и y=cos x. А если побывать на заводе по производству часов или в часовом ателье, то можно увидеть как мастер внимательно выверяет ход маятниковых часов, так как период колебаний маятника зависит от его длины, что и является в свою очередь функциональной зависимостью y=√x и графически выглядит так (слайд 3). Чем больше длина маятника, тем больше его период колебаний.

3. Биология. Почему нет слонов в 3 раза большего размера, чем существуют, но тех же пропорций?» (слайд 4) (послушать какие версии предложат ребята). А потом предложить подумать вместе : стань слон в 3 раза больше, его вес тогда увеличился бы в 3³ =27 раз (как куб размера), а площадь сечения костей – только в 3² =9 раз (как квадрат размера). Прочности костей уже не хватило бы, чтобы выдержать непомерно увеличившийся вес. Такой слон был бы просто раздавлен собственной тяжестью. А ведь в основу рассуждений положены 2 строгие математические зависимости (слайд 5): I устанавливает соответствие между размерами подобных тел и их объёмами (объём изменяется как куб размера); II связывает размеры подобных фигур и их площади (площадь изменяется как квадрат размера). То есть, если попробовать совместить эти графики, то можно увидеть, что увеличение размеров просто невозможно (происходит несоответствие двух величин).

4. Рисование. Давайте установим зависимость между множеством всех натуральных чисел (Сколько их?) и цветом спектра. (Сколько в спектре цветов? Какие?) Вспомните присказку, по которой запоминают цвета радуги (слайд 6).Так вот, числу 1 поставим в соответствие красный цвет, числу 2-оранжевый, 3-жёлтый, и т.д. Начиная с 8, всё повторяется. А как определить, например, какого цвета число 30? Надо найти остаток от деления: 30:7=4(ост.2)-оранжевый, т.е. и число 30-оранжевого цвета. А теперь я попрошу вас самостоятельно определить какого цвета 1000. 1000:7=142 и 6(ост.) 6 синего цвета, значит и 1000-синего. Здесь мы с вами наблюдали зависимость цвета от соответствующего числа. То есть можно сделать вывод, что здесь установлена функциональная зависимость.

В начале занятия я попросила вас разделиться на группы. Предлагаю поработать художникам. У вас на столах лежат пронумерованные бумажные детали. Попрошу вас определить цвет и раскрасить деталь. Каждая деталь жёлтого или оранжевого цвета прикрепляется на подсолнух на рисунке.

(Можно поступить по-другому (слайд 7-14). На лепестках цветка написаны числа. Помогите мне узнать цвет каждого лепестка. Получился цветик-семицветик. Загадайте желание и пусть оно у вас сбудется.

5. Музыка. Давайте попробуем установить функциональную зависимость между натуральными числами и нотами. Сколько всего нот? Перечислите их, пожалуйста. Поставим числу 1 в соответствие ноту «до», 2-«ре»,3-«ми» и т.д. Можно составить следующую таблицу (слайд 15).

А теперь обратите внимание на другую таблицу (слайд 16).

-Что это за таблица? (таблица умножения). А теперь я в этой таблице кое – что добавлю (слайд 17). Что же у нас получилось? А получилось то, что таблицу умножения можно сыграть на музыкальном инструменте. Я продемонстрирую таблицу умножения на 2, например (играю), а теперь кто – нибудь из группы музыкантов – на 7 .

А теперь посмотрите на ту же таблицу, но несколько интерпретированную (слайд 18).

-По какому принципу она раскрашена?

Действительно, мы ранее установили зависимость цвета от числа и зависимость ноты от соответствующего числа. А теперь можно заметить , что множество цветов в спектре находятся в зависимости с множеством нот в гамме: до-красный, ре-оранжевый, ми-жёлтый и т.д. Некоторые проекты цветомузыки предполагают, что на экране вспыхивают цвета, соответствующие нотам мелодии. Таким образом, появляется возможность «увидеть» музыку, ощутить её не только посредством слуха.

Художники поработали, теперь дело за музыкантами. У вас на столах лежат карточки с числами. Здесь зашифрована мелодия (слайд 19). Ваша задача расшифровать эти музыкальные фразы (слайд 20). Получилась мелодия. А вот как она звучит (играю «По Дону гуляет казак молодой»).

Таким образом, видно, что каждому числу соответствует цвет радуги и нота. Можно получить по-некоторому ряду чисел красивую картинку и приятную мелодию.

6. Литература. Функция – это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. Давайте вспомним, какими свойствами характеризуется функция. Чтобы проиллюстрировать эти свойства, обратимся к пословицам. Ведь пословица – это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа.

Рассмотрим пословицу: «Кашу маслом не испортишь» (слайд 21). Функцией является зависимость качества каши от количества масла в ней. Согласно пословице, это качество не уменьшается с добавкой масла в ней. Функцию такого рода называют монотонно неубывающей.

Помогите мне разобраться, как графически изобразить пословицу: «Тише едешь – дальше будешь». В данной пословице функцией является путь, зависящий от скорости объекта. Чем меньше скорость, тем дальше объект (слайд 22). Эта функция обратной пропорциональности, которая является монотонно убывающей.

Теперь работа для литераторов. У вас так же на столах лежат листики с координатными плоскостями. Изобразите, пожалуйста, графически такую пословицу: «Каков казак – таков рысак». Вы все абсолютно верно справились с заданием. Это график функции прямой пропорциональности (слайд 23). Конечно, здесь можно предложить целое множество других пословиц и поговорок: «Светит, да не греет» (прямая, параллельная оси абсцисс), «Ни кола, ни двора» (точка – начало координат) и т.д.

1. Рефлексия:

- О чем шла речь на уроке? (о степенной функции с различными показателями)

- Что нового узнали? (из сегодняшнего занятия мы могли заметить, что функциональную зависимость можно установить между любыми областями жизнедеятельности). Это ещё раз подтверждает гармонию окружающего нас мира. Недаром ещё в 6 веке до н.э. пифагорейцы пришли к выводу: «Числа правят миром».