Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме "Площадь криволинейной трапеции"

Урок по теме: Площадь криволинейной трапеции

Предмет: алгебра и начала анализа

Класс: 11

Выполнила:

учитель математики

Куфтарева Г.Н.

С. Быструха, 2018г.

Конспект урока

Тема: «Площадь криволинейной трапеции»

Цели:

1. Образовательные:

   1. закрепить навыки нахождения определенного интеграла;

   2. добиться усвоения учащимися понятия «криволинейная трапеция»;

   3. обеспечить усвоение учащимися различных способов нахождения площади криволинейной трапеции;

   4. отработать навыки нахождения площади криволинейной трапеции.

2. Воспитательные:

   1. воспитание положительного отношения к знаниям;

   2. воспитание дисциплинированности;

   3. воспитание эстетических взглядов.

3. Развивающие:

   1. развитие психических качеств учащихся: мышления, умений применять полученные знания на практике;

   2. развитие познавательных умений (выделять главное, вести конспект);

   3. развитие общетрудовых и политехнических умений;

   4. развитие умений учебного труда (читать, писать);

   5. развитие воли, самостоятельности).

Тип: комбинированный

Оборудование: Компьютер, проектор, карточки-задания.

Демонстрационный материал: презентация PowerPoint.

План урока

ХОД УРОКА:

I. Самоопределение к деятельности

Тема нашего урока: «Площадь криволинейной трапеции».

Вы знакомы с понятием «определенный интеграл» и научились его вычислять.

Сегодня мы сформулируем понятие «криволинейная трапеция» и научимся вычислять ее площадь с помощью определенного интеграла.

II. Проверка домашнего задания

На дом было задание:

Вычислить: ( слайд 2)

III. Актуализация опорных знаний

Вспомним материал предыдущих уроков по теме «Первообразная. Определенный интеграл».

1.Устно Найти первообразную: (Слайд 3)

2 Решение теста. Контроль будет осуществляться с помощью тестирования с последующей взаимопроверкой. (слайд 4 ,5) Оценка «5» ставится за 10 правильных ответов, «4» - за 8-9 правильных ответов, «3» - за 6-7 правильных ответов.

Таблица правильных ответов на тест (слайд 6)

Тест

Первообразная. Определенный интеграл

А1. Выберите первообразную для функции .

1) 2) 3) 4)

А2. Какая из данных функций не является первообразной для функции ?

1) 2) 3) 4)

А3. Найдите общий вид первообразных для функции .

1) 2) 3) 4)

А4. Вычислите интеграл . 1) 2) 3) 4)

А5. Вычислите интеграл . 1) 2) 3) 4)

А6. Вычислите интеграл . 1) 2) 3) 4)

А7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .

1) 2) 3) 4)

А8. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 1.

1) 2) 3) 4) Рис. 1

А9. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 2.

1) 2) 3) 4)

Рис. 2

А 10. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 3.

1) 2) 3) 4)

Рис. 3

IV. Новая тема

1) Итак, определенный интеграл – это площадь фигуры, ограниченной графиком положительной функции f(х), осью абсцисс и прямыми х=а, х=в. Такая фигура называется криволинейной трапецией.

Сегодня мы узнаем, что такое криволинейная трапеция и рассмотрим различные способы нахождения ее площади с помощью определенного интеграла.

Запишите в тетрадях тему урока: «Площадь криволинейной трапеции» (слайд 8).

2) Что же такое криволинейная трапеция?

Пусть на отрезке [a; b] оси абсцисс определена функция у=f(х)0. Фигура, ограниченная графиком этой функции, отрезком [a; b] и прямыми х=а, х=b называется криволинейной трапецией (слайд 9). В тетрадях сделайте чертеж и запишите определение.

Какие из фигур являются криволинейными трапециями: (слайд 10)

3) Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции равна: (слайд 11), где пределы интегрирования – это отрезок [a; b] оси абсцисс, на котором мы рассматриваем трапецию, а подинтегральная функция – та, график которой ограничивает трапецию сверху.

4) Рассмотрим следующие фигуры. (Раздать учащимся карточки с готовыми фигурами)

а) Фигура ограничена графиком функции у = f(x), отрезком [a, в] и прямыми х = а, х = в. Заштрихуйте фигуру, ограниченную этими линиями.

Как можно определить площадь этой фигуры? (Проинтегрировать функцию у = f(x) на отрезке [a, в]).

Но эта фигура находится «ниже» оси Ох и вычисляя интеграл мы получим отрицательное значение, чего не может быть при вычислении площади.

Следовательно, площадь равна: (прописать).

Запишите в тетрадях правило нахождения площади рассмотренной фигуры.

б) Покажите криволинейную трапецию, ограниченную графиками функций g(x) и f(x).

На каком отрезке рассматривается данная фигура?

Как найти концы этого отрезка? (Концы отрезка – это точки пересечения графиков. Чтобы найти абсциссы этих точек функции надо приравнять).

А как вычислить площадь этой фигуры? (Эта фигура является разностью фигур с площадями S₁ и S₂).

Следовательно, S=S₁–S₂ (прописать).

Запишите в тетрадях правило нахождения площади рассмотренной фигуры.

Заштрихуйте фигуру, ограниченную графиками функций g(x) и f(x) и осью абсцисс.

В чем особенность этой фигуры? (Она состоит из двух частей, одна сверху ограничена графиком функции f(x) и рассматривается на отрезке [а,0], другая – графиком g(x) на отрезке[0, в]).

Следовательно, S=S₁+S₂.

г) Заштрихуем фигуру, ограниченную графиком функции f(x). Эта фигура состоит из 4-х одинаковых фигур. Если проинтегрировать функцию у=f(x) на отрезке [0; а] и умножить на 4, то получим искомую площадь.

Следовательно, S = 4S₁.

Запишите в тетрадях правило нахождения площади рассмотренных фигур

Докажите, что площади криволинейных трапеций, заштрихованных на рисунке равны (слайд 19)

V. Применение знаний, формирование умений

Решение разноуровневых задач.

Задача 1. – базовый уровень (оценка «3»)

Задача 2. – средний уровень (оценка «4»)

Задача 3. – высокий уровень (оценка «5»)

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

Задача 1. y = x ² y = 0 x – 0 x = 2

Задача 2. y = sin x y = 0 x = π x = - π\2

Задача 3. y = x ² -1 y = 2x +

VI. Самостоятельная работа

Работа в тетрадях. Ответы (краткие) сдать на листочках.

1. На каком рисунке изображена фигура, не являющаяся криволинейной трапецией?

2. С помощью формулы Ньютона-Лейбница вычисляют:

А. Первообразную функции;                  Б. Площадь криволинейной трапеции;                  В. Интеграл;                  Г. Производную.

3. Найдите площадь заштрихованной фигуры:

А. 0;                 Б. –2;                В. 1;                 Г. 2.

4. Найдите площадь фигуры ограниченной осью Ох и параболой у = 9 – х²

А. 18;                 Б. 36;                  В. 72;                  Г. Нельзя вычислить.

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = sin x, прямыми х = 0, х = 2  и осью абсцисс.

А. 0;     Б. 2;      В. 4;     Г. Нельзя вычислить.

Ответы: 1. Б;Г    2. Б,В;  3. Г       4. Б;       5. В.

VI. Подведение итогов урока, домашнее задание

Собрать выполненные самостоятельные работы.

Кто выполнял задание на «5», кто – на «4», кто – на «3»? Оценки за самостоятельную работу вы узнаете на следующем уроке, а сегодня на уроке получили оценки:

а) тест –«5»- 2, «4» -3, «3»-2

Д/З: № 49.15(а) 49.11(б) 49.23(а)

Дополнительное задание:

Найти в Интернет примеры практического применения вычисления площади криволинейной трапеции.