Урок по алгебре

Тема: Преобразования выражений, содержащих арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

Учитель: Смирнова А.А.

Класс: 10А

Цель урока: расширить и систематизировать знания, учащихся об обратных тригонометрических функциях

Задачи урока:

1. освоение предметных компетенций: закрепление понятия обратных тригонометрических функций; знакомство с их новыми свойствами

2. развитие у учащихся ключевых компетенций: учебных, исследовательских, социально-личностных, коммуникативных, коммуникационных.

3. формирование нравственных качеств личности.

1. Организационный момент

Приветствие, постановка учебной задачи: сегодня мы будем заниматься тождественными преобразованиями выражений, содержащих обратные тригонометрические функции

2. Актуализация опорных знаний

Вспомним основные определения и свойства.

Ответы: 1),2) 4, 3)не сущ.,4) , 5) , 6) ˗ , 7) , 8) , 9) , 10) не сущ., 11) , 12) ;

, .

, .  

.или .

Пример 1.  Вычислить sin ( arccos (- ))

Решение: Используем формулу: sin (arccos а) = ;

 sin ( arccos (- ) = =

Пример 2. Вычислить  sin (2 arccos )

Решение: По формуле двойного аргумента получим

sin (2 arccos ) = 2 sin ( arccos ) cos ( arccos ) = 

Примеры для самостоятельного решения:

№1.

cos (arcsin (˗) );

Решение:

1. Пусть arcsin (˗) =, ˗ ≤≤, sin=; 2. sin² + cos²=1

= ===; 3. Т. к. ˗ ≤≤, то cos0, т. е. cos=;

Ответ: cos (arcsin (˗ ))=.

№ 2

а) sin (arctgx) =;

Решение:

1. Пусть arctgx = α, тогда tgα =x, α; 2. sin²α=1 ˗ cos², cos² = ,

cos² = , sin²α=1 ˗ =, = ; 3. Т. к. ˗ ≤≤, то sin0, т. е. sin=;

Ответ: sin (arctgx) =.

б) tg(arcsinx) =;

Решение:

1. Пусть arcsinx = α  sinα = x, α[]; 2. sin²α =1 ˗ cos², =˗ 1,

cos²α=1 ˗ , =˗1,=; 3. Т. к. ˗ ≤≤, то tg0, т. е. tg=.

Ответ: tg(arcsinx) =.

Вычислите:

1. tg (arccos ˗ arcctg ); 2. sin (arcctg(˗ )); 3. сtg (arcsin (˗0, 8));

Проверьте равенство: 4. tg(˗ arcsin(˗))=1

Вычислите:

1. tg (arccos ˗ arcctg );

План решения 1:

Вычислить значение выражения в скобках. Вычислить значение tg от выражения, полученного в скобках;

1. sin (arcctg(˗ ));

2. сtg (arcsin (˗0, 8));

План решения 2:

1. Обозначить выражение в скобках за , из опрделения . Определить какой четверти принадлежит .

2. Применить формулы, связывающие значения различных тригонометрических функций.

3. Исходя из того, какой четверти принадлежит , определить знак значения данного выражения.

Вычислите:

1. tg (arccos ˗ arcctg );

Решение:

arccos= ; arcctg = ; tg (arccos ˗ arcctg ) = ;

1. sin (arcctg(˗ ));

Решение:

1. Обозначить выражение в скобках за , из опрделения ctg= . Определить какой четверти принадлежит .

Пусть , тогда ctg= , ˗ .

2. Применить формулу, показывающую связь между котангенсом и синусом.

,

sin= .

3. Исходя из того, какой четверти принадлежит , определить знак значения данного выражения.

Т. к ˗ , то sin 0, т. е. sin= .

1. сtg (arcsin (˗0, 8));

Решение:

1. Обозначить выражение в скобках за , из опрделения sin= . Определить какой четверти принадлежит .

Пусть , тогда sin= , ˗ .

2. Применить формулу, показывающую связь между котангенсом и синусом.

,ctg= .

3. Исходя из того, какой четверти принадлежит , определить знак значения данного выражения.

Т. к ˗ , то ctg 0, т. е. ctg= .

1. tg (arccos ˗ arcctg ) = tg ( ˗ ∙ ) = tg ( ˗ ) = tg0

2. sin (arcctg(˗ ));

Решение: Пусть arcctg(˗ )=, тогда ctg=˗ , ˗ II четверть. 1 + ctg² = , = ; = ,= ; Т. к. ˗ II четверть, то sin0, т. е. = ; Ответ: =

1. сtg (arcsin (˗0, 8));

Решение:

Пусть arcsin (˗0, 8)=, тогда sin=˗ , ˗ IV четверть. 1 + ctg² = , = ˗1 ; = ,= ;

1. Т. к. ˗ II четверть, то tg0, т. е. = ˗ ; Ответ: = ˗

1. tg(˗ arcsin(˗))=1

tg(˗ arcsin(˗))=tg(˗ arcsin(˗))=tg(arcsin);

Решение:

1. Пусть arcsin =, тогда sin=, ˗ I четверть.

2. 1 + tg² = , cos²=1˗ = ;

= ,= ;

1. Т. к. ˗ I четверть, то tg0, т. е. = ;

tg (arcsin)=∙=1;

Ответ:

1. tg (arccosx) ∙ tg(arcsinx) =1;

Решение:

tg (arccosx);

1. Пусть arccos x=, тогда cos=x,α [].

2. 1 + tg² = , = ; = ,=;

3. Т. к. α [], то tg0, т. е. =;

tg (arcsinx);

1. Пусть arcsin x=, тогда sin=x, α[];

2. 1 + tg² = , = ; =,=;

3. Т. к. α[], то tg0, т. е. =;

tg (arccosx) ∙ tg(arcsinx) =∙=1.

Ответ:

1. sin(arccosx) ∙ ctg (arctgx) = ;

Решение:

sin(arccosx);

1. Пусть arccos x=, тогда cos=x, α [];

2. sin²α =1 ˗ cos², sin²α =1 ˗ x² , =;

3. Т. к. α[], то sin0, т. е. =;

ctg (arctgx) ;

1. Пусть arctg x=, тогда tg=x, α();

2. tgα∙ctgα=1, ctgα= , =;

3. Т. к. α(), то ctg0, т. е. = ;

sin(arccosx) ∙ ctg (arctgx)=∙ = ;

Ответ:= .