Урок по математике в 10 классе по теме "Применение производной"

Обобщающий УРОК ПО ТЕМЕ: «ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ » В 10 КЛАССЕ

Цели урока:

Учебные:

• Обобщить теоретические знания по теме: «Производная. Геометрический и физический смысл производной.»;

• Показать межпредметную связь на примере математического моделирования. Показать применение производной при решении жизненно важных задач.

Воспитательные:

Обучение навыкам: работы в оптимальном темпе, подведение итогов. Развитие умения оценивать свои способности, контактировать с товарищами.

План урока

I. Организационный этап.

Показатели выполнения психологической задачи этапа:

• Доброжелательный настрой учителя и учащихся; Быстрое включение класса в деловой ритм;

• Организация внимания всех учащихся; Кратковременность организационного момента;

• Полная готовность класса и оборудования к работе.

Урок по теме : «Применение производной»

Урок проводится после изучения физического и геометрического смысла производной, производных элементарных функций . При актуализации знаний предлагаются задания из ЕГЭ.

II. Вступительное слово учителя

Здравствуйте. Садитесь. Сегодня у нас необычный урок. Мы приветствуем гостей. Я надеюсь, что вы сможете показать, как знаете теоретический материал, посвященный данной теме, понимаете геометрический, механический смысл производной. Я уверена, что вы продемонстрируете умение применять полученные знания при решении задач разного уровня сложности, а также навыки самоконтроля и самооценки.

На этом уроке вы можете добавить баллы к своему рейтингу за различные виды работ (у каждого учащегося на парте оценочный лист):

• Фронтальный опрос,

• письменный тест,

• ответы на теоретические вопросы,

• подготовку докладов и исторических сообщений,

• ответы и выполнение практических заданий на рабочих местах.

Я желаю вам на уроке удачи, точных расчетов и вычислений.

Итак начнем. Какой раздел математики изучаем? (дифференциальное исчисление)

Какие вопросы уже рассмотрели?

Как вы думаете что еще нам необходимо рассмотреть? (применение производной).

На одном из первых уроков изучения производной, я вам задала вопрос: «Мы изучаем производную. А так ли это важно в жизни? » Сегодня мы попробуем ответить на этот вопрос.

С 1. Откройте тетради. Запишите число, классная работа, тему урока. Тема нашего урока «Применение производной».

С 2. Эпиграфом к нашему уроку хочу взять слова Лобаческого:

«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира… ».

Как и многие разделы математики, дифференциальное исчисление возникло из необходимости решения практических задач. В основном источником дифференциального исчисления явились задачи двух видов: нахождение наибольших и наименьших значений величин, на вычисление скоростей.

Давайте попробуем поставить цели урока, что нам необходимо сегодня сделать?

С. 3

В ходе изучения данной темы у вас формировались умения нахождения производной. Ответьте на вопросы

1. Что называется приращением аргумента.

2. Что называется приращением функции.

3. Дайте определение производной функции f(x) в точке x_0.

4. Основные формулы дифференцирования

5. Правила вычисления производных

6. Геометрический смысл производной С 4,5

7. Физический смысл производной С 6,7.

Зафиксируйте результат своей работы в оценочном листе.

Немного истории.

Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XV11 веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И.Ньютон и Г.Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время.

И.Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Г.Лейбниц использовал понятие бесконечно малой.

Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XV111 в. С помощью тех же методов математики изучали в XV11 и XV111 вв. различные кривые, нашли кривую, по которой быстрее всего падает материальная точка, научились находить кривизну линий. Большую роль в развитии дифференциального исчисления сыграл Л.Эйлер, написавший учебник «Дифференциальное исчисление».

Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале X1X в. французский математик О.Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела.

Применяемая сейчас система обозначения для производной восходит к Лейбницу и Лагранжу.

В настоящее время понятия производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

Посмотрим как вы умеете применять теоретический материал к решению задач

Тест С 8. (на выполнение теста 5 минут)

1. Найти производную функции: f(x)=3x⁴-7x³+x+5 Решение: f’(x)=12x³-21x²+1

2. f(x)= Решение: f’(x)= = = =

3. f(x)=(3-2x)³ Решение: f’(x)= 3(-2)(3-2x)²=-6(3-2x)²

4. f(x)= f’(x)= = -3*5(5x+1)^-4=

5. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)= t³ -2t²-4t+ 3(где x-расстояние от точки отсчета в метрах, t- время в секундах, измененное с начала движения) В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 38 м/с ? Решение : Найдем закон изменения скорости : V(t)=x’(t)= t²- 4t-4 Чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 38м/с Решим уравнение:

t²-4t-4=38 -8t-84=0 = 14 =-6- не подходит т.к. t0 Ответ: 14 с

Ответы С 9.

1. f’(x)=12x³-21x²+1

2. 

3. 6(3-2x)²

4. 

5. 

Оцените свою работу (заполните лист самооценки).

Теперь покажем важность роли производной в исследовании процессов окружающего мира и еще покажем практическую необходимость темы «Производная».

Каждый из вас получил домашнее задание, выяснить применение производный в той науке, который вы интересуетесь. Посмотрим как вы справились.

С 10. Производная в химии.

С 11. Задача по химии:

Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью:

р(t) = t²/2 + 3t –3 (моль)

Найти скорость химической реакции через 3 секунды.

С 12. Решение:

С 13. Производная в биологии.

С 14. Биологическая задача.

По известной зависимости численности популяции x(t). Определить относительный прирост в момент времени.

С 15 Что такое популяция?

Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определенный участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.

С 16. Решение

Прирост популяции равен производной численности в момент времени t P=x’(t).

С 17. Производная в географии

С 18. Задача :

• Вывести формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t.

С 19. Решение:

Пусть у=у(t)- численность населения. Рассмотрим прирост населения за Dt=t-t₀

Dy=k y Dt, где к=к_р – к_с –коэффициент прироста (к_р – коэффициент рождаемости,

к_с – коэффициент смертности) Dy/ Dt=k y

При Dt®0 получим lim Dy/ Dt=у’

у’=к у

С 20. Производная в физике

С помощью производной можно определить оптимальную скорость расхода горючего.

С 21. Задача.

Экспериментально установлено что расход горючего автомобилем зависит от скорости его движения и определяется формулой

f(x)=18-0.3x+0.003x² 30≤x≤100,

Где х км/ч – скорость, f (х) - расход горючего на 100 км пути,

Определить скорость сгорания топлива при скоростях 75;100 и 40км/ч

Решение

Найдем производную функцию f (x) f^I (x)=-0.3+0.006x

Отсюдаf ^I(75) = 0.15; f ^I (100)=0.3; f ^I (40) = -0.06

Знак «-» указывает на то, что скорость расхода горючего уменьшается.

Проверим это:

f (40) = 18-12+4.8=10.8л

f (41) = 18-12.3+5.04=10.74л

Т.е. расход уменьшается на 0.06л.

Таким образом изменение скорости х по- разному влияет на расход горючего.

Если движение автомобиля ускоряется при малых скоростях, расход горючего уменьшается, а при больших – увеличивается. Очевидно, что для каждого автомобиля существует такая скорость, при которой расход горючего постоянен. Эту скорость назовем «критической».

Для определения критической скорости прировняем f(x) к нулю:

-0.3+0.006х=0

Х=50км/ч

Следователь при скорости движения до 50км/ч расход горючего уменьшается, а затем увеличивается.

Математическая притча «Скорость жизни»

Существует формула: время, умноженное на скорость, равно расстоянию. Будучи распространена на жизненный путь человека, эта формула означает: чем с большей скоростью «идет» человек по жизни, тем длиннее его жизненный путь. Можно прожить короткую жизнь, но за отведенное время пройти в своем развитии громадное расстояние. Пушкин прожил всего 37лет, но сделал за свою жизнь столько, сколько другой человек не сделал бы и за несколько жизней. Конечно, много зависит от врожденных способностей, но немало зависит и от самого человека. Так давайте двигаться по жизни с оптимальной скоростью.

ФИЗМИНУТКА С 21

- Знаете ли вы, что такое «царственная осанка»?

- Попробуем принять царственную позу: спина прямая, мышцы головы без напряжения, выражение лица очень значительное: ведь вы знаете такое количество табличных производных, правила дифференцирования, которое не по силам даже царственным особам. Очень быстро активизируем свой мозг. Для этого интенсивно промассажируем межбровную точку: указательным пальцем правой руки делаем 5 круговых движений в одну сторону и в другую. Повторим это 3 раза

С 22 . Теперь посмотрим как данная тема представлена на ЕГЭ

С.24

С 25.

С 26

С 27

С 28

С 29. И, наконец, после “всяких умных вещей” немного юмора. На экране представлены графики зависимости уровня ваших знаний от времени, в интервале от начала урока до его завершения. Пожалуйста, выберите тот график, который, на ваш взгляд, наиболее близок вам, принимая во внимание их разный характер.

Имеют ли они отношение к теме нашего урока?

Можно ли по этим графикам судить о скорости приращения наших знаний в ходе урока? Если - да, то как? Какой же график выбран вами? Если вы выбрали график 1 – это означает, что мы достигли цели и решили задачи, поставленные в начале урока

С 30. Рефлексия Синквейн.

С 31. Итоги урока:

Каким вопросам был посвящен урок? Что нового узнали на уроке? Какие теоретические факты обобщались на уроке? Какие рассмотренные задания ЕГЭ оказались наиболее сложными? Почему?

С 32. Домашнее задание

Подобрать нерассмотренные задания ЕГЭ, создать презентацию интересных заданий.

Самооценки и оценки на основании листа.

В заключении урока, я хочу вам прочитать стихотворение:

« Музыка может возвышать или умиротворять душу,

Живопись – радовать глаза,

Поэзия – пробуждать чувства,

Философия – удовлетворять потребности разума,

Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей, а математика способна достичь всех этих целей»

так сказал американский математик Морис Клайн.

Спасибо за урок!

Оценка

Критерии

8-10 баллов –оценка 3

11-13 баллов – оценка 4

14-и выше – оценка 5