Урок по математики для 9-11 классов на тему "Замечательные теоремы Чевы"

Занятие №1

Теорема Чевы.

Историческая справка.

Джованни Чева родился в 1647 году в Италии. Он окончил иезуитский колледж в Милане, после чего стал студентом Университета в Пизе, где позже и начал работу профессором математики.

С 1686 года Чева работал в Университете в Мантуе,

В 1678-м Чева опубликовал свою, ставшую знаменитой, теорему 'О взаимнопересекающихся прямых' о синтетической геометрии треугольника

Определение. Отрезки, соеди­няющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах (или их продолжениях), называют чевианами, если они пересекаются в одной точке.

Возможны два варианта расположения чевиан. В одном варианте точка

пересечения – внутренняя, а концы чевиан лежат на сторонах треугольника. Во втором варианте точка пересечения внешняя, конец одного чевиана лежит

на стороне, а у двух других чевиан концы лежат на продолжениях сторон (смотри чертежи).

Медиана – отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок.

Биссектриса – луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Высота – перпендикуляр, опущенный на сторону треугольника.

Теорема 3. (Прямая теорема Чевы) В произвольном треугольнике АВС на сторонах ВС, СА, АВ или их продолжениях взяты соответственно точки А₁, В₁, С₁, такие, что прямые АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в некоторой общей точке, тогда

.

Теорема 4. (Обратная теорема Чевы). Если для выбранных на сторонах треугольника ABC или их продолжениях точек A₁, В₁ и C₁ выполняется условие Чевы:

• ,

то прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Следствие1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Следствие 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие3. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Следствие4. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 5. Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

Решение задач.

№1. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение: Доказательство.

Так как точки А1, С1, В1 лежат на сторонах треугольника, достаточно доказать, что выполняется равенство :

Так как ВВ_1, СС₁, АА₁ медианы, то:

Тогда в силу теоремы Чевы прямые ВВ1, СС1, АА1 пересекаются в одной точке. Ч.т.д

№2. Докажите что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

Для примера рассмотрим решение задачи С-4 из тренировочной работы № 10 (Сборник «ЕГЭ, 2014. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2 (С)/ под редакцией А.Л.Семёнова, И.В.Ященко.- М.: Издательство «Экзамен», 2014.-215»).

Задача. Точки В₁ и С₁ лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника АВС, причём АВ₁:В₁С=АС₁:С₁В. Прямые ВВ₁ и СС₁ пересекаются в точке О. (рис 2)

а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника АВ₁ОС₁ к площади треугольника АВС, если известно, что АВ₁:В₁С=АС₁:С₁В=1:2

Доказательство:

Значительно упрощает доказательство применение теоремы Чевы. Итак, если все три прямые пересекаются в одной точке, то по теореме выполняется равенство:

.

Так как по условию , то получим . Откуда или , что и требовалось доказать.

Для того, чтобы найти при условии будем рассуждать следующим образом (рис 3).

1. Пусть , , , . ( по второму признаку). Следовательно, .

2. ( по двум углам). .

3. ( как площади треугольников, имеющих общий угол). Значит,

1. ( как площади треугольников, имеющих общую высоту). Значит, .

2. . Тогда .

«Замечательные теоремы»

Теорема Чевы

Москва 2014 год

«ГЕОМЕТРИЯ ЯВЛЯЕТСЯ САМЫМ МОГУЩЕСТВЕННЫМ СРЕДСТВОМ ДЛЯ ИЗОЩРЕНИЯ НАШИХ УМСТВЕННЫХ СПОСОБНОСТЕЙ И ДАЁТ НАМ ВОЗМОЖНОСТЬ ПРАВИЛЬНО МЫСЛИТЬ И РАССУЖДАТЬ»

(Г. ГАЛИЛЕЙ)

Москва 2014 год

План Урока

• Историческая справка

• Теорема Чевы

• Следствия из теоремы Чевы

• Решение задач с помощью

Теоремы Чевы

Москва 2014 год

Дата Рождения: 07.12.1647 года

Дата Смерти: 15.06.1734 года

Гражданство: Италия

Профессия: Инженер

Итальянский математик. Старался возродить греческую геометрию. Основной заслугой является построение учения о секущих, которое положило начало новой синтетической геометрии. Оно изложено в сочинении «О взаимопересекающихся прямых»(1678).

Москва 2014 год

Прямые, исходящие из вершин треугольника принадлежащие одному пучку (то есть пересекаются в одной точке или параллельные), называются прямыми Чевы или чевианами.

А

В

С 1

А 1

В

А 1

А

С

В 1

С

С 1

В 1

Москва 2014 год

Теорема Чевы

Пусть А 1 ,В 1 ,С 1 , - три точки ,лежащие соответственно на сторонах BC, CA и AB треугольника. Для того, чтобы прямые AА 1 ,BB 1, CC 1 пересеклись в одной точке

или были все параллельны, необходимо и достаточно:

С

В 1

А 1

А

С 1

В

Москва 2014 год

Доказательство теоремы

Доказать :

А 2

2.отрезки А А 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной

точке.

С

В 2

Доказательство:

• Пусть отрезки АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке О .
• Докажем, что выполнено равенство (3).

По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике ( На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки К и М так, что АК:КС=m:n, BM:MC=p:q. Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О) имеем:

А 1

О

В 1

В

А

С 1

Левые части этих равенств одинаковы, значит, равны и правые части.

Приравнивая их, получаем:

Разделив обе части на правую часть, приходим к равенству (3).

Москва 2014 год

Теорема Чевы и ее следствия:

Следствие1 . Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Следствие 2 . Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие3 . Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника .

Следствие4 . Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 5. Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергона .

Москва 2014 год

Перейдем к решению задач

Москва 2014 год