Урок по теме "Формула Пика"

«Формула Пика»

Цели работы:

• Выяснение существования иной, отличной от школьной программы, формулы нахождения площади решетчатого многоугольника.
• Области применения искомой формулы.

Введение.

Математическое образование, получаемое в общеобразовательных школах, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека.

На данном этапе, школьная система рассчитана на одиннадцатилетнее обучение.

Всем учащимся в конце одиннадцатого класса предстоит сдавать Единый Государственный Экзамен, который покажет уровень знаний, полученный во время учебы в школе. Но школьная программа не всегда предоставляет самые рациональные способы решения каких-либо задач .

Например, просматривая результаты ЕГЭ 2010 года видно, что многие ученики теряют баллы из-за задания В6.

Мы задались целью, как же можно сэкономить время и правильно решить это задание.

Задание В6.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см на 1 см изображены фигуры(см. рисунок). Найдите их площади в квадратных сантиметрах.

Итак, чтобы все-таки решить это задание мне нужно применить формулы нахождения площади, которые мы изучаем в 8классе.Но на это уйдет очень много времени, а мне нужно ответить на поставленный вопрос как можно быстрее, ведь время на экзамене строго ограниченно.

Поэтому, проведя исследования, я выяснила, что существует теорема Пика, которая в школьной программе не изучается, но которая поможет мне быстрее справиться с заданием.

Историческая справка.

Георг Александр Пик (10 августа, 1859 - 26 июля 1942) был австрийским математиком. Он умер в концлагере Терезин. Сегодня он известен из-за формулы Пика для определения площади решетки полигонов. Он опубликовал свою формулу в статье в 1899 году, она стала популярной, когда Хьюго Штейнгауз включил её в 1969 году в издание математических снимков.

Пик учился в Венском университете и защитил кандидатскую в 1880 году. После получения докторской степени он был назначен помощником Эрнеста Маха в Шерльско-Фердинандском университете в Праге. Он стал преподавателем там в 1881 году. Взяв отпуск в университете в 1884 году, стал работать с Феликсом Клейном в Лейпцигском университете. Он оставался в Праге до своей отставки в 1927 году, а за тем вернулся в Вену.

Пик возглавлял комитет в(тогда) немецком университете Праги, который назначил Альберта Эйнштейна профессором кафедры математической физики в 1911 году.

Пик был избран членом Чешской академии наук и искусств, но был исключен после захвата нацистами Праги.

После ухода на пенсию в 1927 году, Пик вернулся в Вену, город, где он родился. После аншлюса, когда нацисты вошли в Австрию 12 марта 1938 года, Пик вернулся в Прагу. В марте 1939 года нацисты вторглись в Чехословакию. Георг был отправлен в концентрационный лагерь Терезин 13 июля 1942. Он умер через две недели.

Теорема Пика.

Теорема Пика — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел.

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна сумме

В + Г/2 – 1, где

В есть количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Доказате льст во теоремы Пика.

Любой такой многоугольник легко разбить на треугольники с вершинами в узлах решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на сторонах. Можно показать, что площади всех этих треугольников одинаковы и равны 1/2, а, следовательно, площадь многоугольника равна половине их числа Т.

Чтобы найти это число, обозначим через n число сторон многоугольника, через i — число узлов внутри его и через b — число узлов на сторонах, включая вершины. Общая сумма углов всех треугольников равна nТ. Теперь найдём эту сумму другим способом.

Сумма углов с вершиной в любом внутреннем узле составляет 2n, т. е. общая сумма таких углов равна 2ni; общая сумма углов при узлах на сторонах, но не в вершинах равна (b – n) n, а сумма углов при вершинах многоугольника — (n – 2) n. Таким образом, nТ = 2in + (b – n) n + (n – 2) n, откуда получаем выражение для площади S многоугольника, известное как формула Пика. Например, на рисунке b = 9, i = 24, а следовательно, площадь многоугольника равна 27,5.

Применение.

Итак, вернемся к заданию В6. Теперь, зная новую формулы, мы легко сможем найти площадь этого четырехугольника.

Так как В – 5; Г – 14, то 5+14:2-1=11 (см в квадрате)

Площадь данного четырехугольника равна 11 см в квадрате.

По той же формуле мы можем найти площадь треугольника.

Так как В-14, Г-10,то 14+10:2-1=18 (см в квадрате)

Площадь данного треугольника равна 18 см в квадрате.

Если В-9, Г-12, тогда: 9+12:2-1=14 (см в квадрате)

Площадь данного четырехугольника равна 14 см в квадрате.

Области применения формулы.

Помимо того, что формула применяется в различного рода экзаменах, заданиях и так далее, она сопровождает весь окружающий нас мир.

По формуле Пика S = В + ½Г – 1 1) туловище В = 9, Г = 26, S = 9 + ½·26 – 1 = 9 + 13 – 1 = 21 2) хвост В = 0, Г = 8, S = 0 + ½·8 – 1 = 3 3) S = 21 + 3 = 24

По формуле Пика S = В + ½Г – 1 В = 36, Г = 21

S = 36 + ½·21 – 1 = 36 + 10,5 – 1 = 45,5

Заключение.

В итоге, мы пришла к выводу, что существует много различных способов решения задач на нахождение площади, не изучаемых в школьной программе, и показала их на примере формулы Пика.

Справочник.

• Многоугольник без самопересечений называется решётчатым, если все его вершины находятся в точках с целочисленными координатами (в декартовой системе координат).
• Точка координатной плоскости называется целочисленной, если обе её координаты целые.