Урок по теме: "Арифметическая и геометрическая прогрессии"

Урока обобщения

по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Класс 9.

Цели урока: создание условий для:

• повторения, обобщения и систематизации изученного теоретического материала: понятий арифметической и геометрической прогрессий, рекуррентные формулы, формулы п-го члена, формулы суммы п-первых членов прогрессий;

• развитие способности к обобщению, сравнению; эмоциональному восприятию математических объектов;

• формирование представлений о математике как способе познания, сохранения и гармоничного развития мира, как части общечеловеческой культуры.

Планируемые результаты:

• личностные:

• умение понимать смысл поставленной задачи, ясно и чётко излагать свои мысли в устной речи, выстраивать аргументацию;

• самооценка результатов деятельности, осознание границ применения усвоенных знаний;

• ценностно-эмоциональное отношение к изучаемому математическому содержанию с общекультурных позиций.

• Метапредметные:

• умение выделять главное, сравнивать, обобщать;

• осознанное чтение текста;

• способность к интерпретации;

• представление о математике как средстве моделирования явлений окружающего мира.

• предметные:

• навык строить речевые высказывания с использованием специальной терминологии ( а_п ; а_п-1; а_п+1 и т.п.);

• навык распознавания арифметической и геометрической прогрессии в примерах из реальной жизни;

• навык решения задач c применением формул п-го члена и суммы п-первых членов прогрессии

• навык решения задач на сложные проценты из реальной практики ( с использованием программы Excel) ;

Ход урока.

I этап. Целевой. Постановка индивидуальных целей с выходом на общую цель урока. Мотивация учебной деятельности.

1.1.Учитель сегодня к уроку я приготовила вам древнюю индийскую легенду о знаменитой «шахматной» задаче. Слушая её, постарайтесь увидеть вопрос задачи, а так же тот потайной смысл, который несёт сама легенда. (слайд 1).

Итак, когда царь Шерам познакомился с игрой в шахматы, он пришёл в неописуемой восторг от столь мудрого изобретения. Узнав, что её придумал его подданный по имени Сета, он решил достойно наградить его за хитроумную выдумку. Сета долго отказывался от награды, но увидев, что повелитель начинает проявлять нетерпение, он попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую- два, за третью- четыре и так далее, за все 64 клетки, удваивая каждый раз количество зёрен. Царь был разочарован такой скромной просьбой, а Сета, лукаво улыбнувшись, отправился домой.

Какой же вопрос можно поставить в этой задаче?

Примерный ответ: Сколько всего зёрен придётся отдать царю.

Учитель: Давайте вычислим.

Учащиеся: Это очень большое число.

Учитель: В результате получилось 18 446 744 073 709 551 615 зёрен. Для такого урожая необходимо поле, которое превосходит сушу земного шара в 28 раз.

Учитель: Каков же заложен потайной смысл в легенде?

Примерный ответ ученика: Умение применять математику может пригодиться в самой неожиданной ситуации.

Учитель:Сегодня у нас завершающий урок по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»(слайд 2) .Подумайте и запишите в тетрадях, чуму бы вы ещё хотели научиться.

Ученики выполняют постановку индивидуальных целей.

Учитель. Ребята озвучьте свои цели.

Предполагаемые ответы учеников:

Хочу научиться решать любые задания по данной теме, которые встречаются в сборнике по подготовке к экзаменам.

Надеюсь успешно применить полученные знания при выполнении контрольной работы.

Хочу узнать, где мне могут пригодиться знания по данной теме.

Учитель. Я думаю, что каждый из вас к концу урока сможет достичь того результата, который важен для вас. Итак, цель нашего урока – обобщить и систематизировать знания по теме: «Арифметическая и геометрическая прогрессии»(слайд 3).

Учитель: Эпиграфом к нашему уроку я подобрала высказывание Иоганна Гёте «Недостаточно только получить знание, надо найти ему приложение».

Примерный ответ ученика: Всё, что не применяется, очень быстро забывается, так как становится ненужным.

Учитель: Прошу вас обратить внимание на листы самооценки, которые находятся у вас на столах. В конце урока вы должны будете оценить свою работу на уроке.

II этап. Операциональный

2.1. Систематизация опорных знаний.

Фронтальная работа с классом

Учитель: Дайте определения арифметической и геометрической прогрессий.

Ученик: Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа.

Ученик :Геометрической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же не равное нулю число.

Учитель: Назовите общее в определениях арифметической и геометрической прогрессий.

Предполагаемый ответ ученика: Общим в определениях является то, что обе прогрессии это числовые последовательности, которые строятся по определённому правилу.

Учитель: А чем эти определения отличаются?

Предполагаемый ответ ученика: Различие – в самом правиле: в арифметической прогрессии к каждому предыдущему члену последовательности прибавляется одно и то же число, а в геометрической – каждый предыдущий умножается на одно и тоже число.

Учитель: Используя раздаточный материал, составьте логические пирамиды для арифметической и геометрической прогрессий, используя принцип от простого к сложному (интерактивная доска – лист 1.)

а_п+1=а_п+d

S_n=(q^n-1-1)/(q-1)

q_n=q_1*q^n-1

в₁,в₂,…в_п,q

а_п+1=а_п+d

Учитель: составьте логическую пирамиду для арифметической прогрессии на интерактивной доске.

Примерный ответ ученика: В основе лежит определение арифметической прогрессии, понятие разности; далее рекуррентная формула, показывающая зависимость между двумя соседними членами прогрессии, далее формула п-го члена, позволяющая определять любой член прогрессии, зная первый член последовательности, разность и номер, далее формула суммы п-первых членов прогрессии.

Учитель: Составьте логическую пирамиду для геометрической прогрессии.

Учитель: Возьмите карточки для самостоятельной работы. Анализируя условие, определите ключевые фразы, которые помогут найти решение задачи.

Обсуждение проведите в группах, затем представитель от каждой группы выскажет ваше мнение.

Самостоятельная работа в мини-группах ( 5 мин.).

1. Из следующих последовательностей выпишите арифметические прогрессии, укажите их разность.

а)12,14, 16; б) 2,4,8; в)1,-2, -5; г)1,-1,1.

2. Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а её десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии.

3. Турист в первый день прошёл 20 км, а в каждый следующий – на 2 км меньше, чем в предыдущий. Какое расстояние прошёл турист за 7 дней?

4. Третий член геометрической прогрессии равен 9, пятый член равен 81. Сколько нужно взять членов этой прогрессии, чтобы их сумма равнялась 40?

5.Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии : 2,4… .

6. Найдите шестой член геометрической прогрессии, если её первый член равен -2, а знаменатель равен 3.

Ответ : 1 тип - №1, 2 тип- № 6, 2* , 3 тип- № 3,5, 4*.

Примерные ответы учеников: Задача №1 относится к первой ступени так, как в ней задана числовая последовательность, необходимо определить её вид, воспользовавшись определением найти разность.

Выслушиваются ответы представителей групп.

2.2: Интеграция содержания темы в целостную систему знаний учащихся.

Учитель: Каждый из вас, изучая что-то новое, всегда задаётся вопросом: «Для чего мне это нужно?». На вопрос «В каких областях применяются прогрессии?» ответит Абраменко Е., которая выполнила дома исследовательское задание. Во время презентации подумайте над такими вопросами:

В каких областях науки применяются прогрессии?

Довольно часто, рассказывая о некоторых процессах в жизни, стараясь подчеркнуть некий смысл, говорят, что они растут в геометрической прогрессии. Какой в этом заложен смысл?

Чем обосновано применение темы «Прогрессии» в различных науках?

Презентация: «Применение прогрессий».

Учитель: Так где же ответ к вопросу, зачем говоря о некоторых процессах упоминают геометрическую прогрессию?

Примерный ответ ученика: Из примеров видно, что всё, что увеличивается в геометрической прогрессии, растёт очень быстро. Говоря об этом, подчёркивают, что скорость изменения очень велика. Очень наглядными стали примеры из химии, физики, биологии.

Учитель: Я думаю, что все вы сегодня ещё раз убедились, что математика является помощником человека на пути познания законов природы и человеческого общества. Идеи математики способствуют развитию всех наук.

Однако, каждый из вас, изучая что-либо, наверно, думает: «А конкретно мне в жизни, где пригодятся эти знания, полученные сегодня на уроке?». Решив следующую задачу, вы точно ответите на этот вопрос.

Решим такую задачу: Для обучения на платном отделении по специальности «Экономика» в техническом университете абитуриенту потребовался образовательный кредит. Он обратился в три банка. Банк Омега предложил 250тыс. на срок 5лет под 25% годовых, банк Дельта предложил 250тыс. рублей на срок 10 лет под 15% годовых, а банк Тета на срок 8 лет по 20% годовых.

Каждая группа подсчитает, сколько придётся вернуть абитуриенту.

Решение: данная зависимость строится по закону геометрической прогрессии. Для вычисления необходимой суммы воспользуемся формулой сложных процентов. Необходимые вычисления в ручную займут много времени, поэтому воспользуемся программой Excel.

В банк Омега придётся вернуть 762 939руб, в банк Дельта- 1 011 389 руб., в банк Тета- 895 795руб. .

Ответ: лучше кредит взять в банке Омега.

Учитель: Градообразующее предприятие нашего посёлка сельско-хозяйственное предприятие «Комсомольское», основным направлением деятельности которого является выращивание картофеля. Для получения высокого урожая проводится комплекс мероприятий, проведение одного из которых повышает урожайность на 23%:

1. Отбор здоровых клубней.

2. Зеленение посадочного материала осенью.

3. Обработка клубней стимулирующими растворами.

4. Весенняя обработка противогрибковыми средствами.

5. Раннее проращивание ростков.

Если не проводить ни одного мероприятия , то с 5га будет получен урожай 50т. Рассчитайте, каков будет урожай, если провести весь комплекс.

Решение: Найдём 23% от 50т.

5_*0,23=11,5т. – 23%

Данная последовательность является арифметической прогрессией. Необходимо найти 6 член прогрессии.

50+11,6_*(6-1)=108т. урожай, который будет получен при выполнении всего комплекса.

Учитель: Вы хорошо справились с практическими задачами. Вообще, вся наша жизнь состоит из решения каких-либо задач. Скоро в вашей жизни вам предстоит решить одну из важных, пройти итоговую аттестацию, в том числе и по математике. Очень важно научиться находить идею решения даже самой непростой задачи.

2.3. Рассмотрение способов решения сложных задач по теме.

Творческая группа ребят подготовила сегодня презентацию решения некоторых сложных задач из «Сборника для подготовки к ГИА».

Слушая, постарайтесь определить критерии, по которым можно определить путь решения задачи.

Ученик 1. Между числами 2 и 18 вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия.

Ученик 2. Решите уравнение (х+1) +(х+5)+(х+9)+…+(х+157)=3200

Ученик 3. : Сколько существует натуральных трёхзначных чисел, которые делятся только на одно из чисел 4 или 5?

Учитель. Оценка выступающих. Как мы должны рассуждать при решении сложной задачи, чтобы определить её принадлежность к теме «Прогрессии».

Примерный ответ учеников: Если из условия задачи становится ясным, что основной предмет задачи числовая последовательность, то можно предположить, что эта задача на прогрессии. Если в вопросе звучит слово количество, то можно предположить, что речь идёт о номере члена последовательности. Если в задаче говорится о значении членов последовательности, то можно предположить, что в решении необходимо применить формулу п-го члена, если речь идет о сумме, то применить формулу суммы.

Учитель. Думаю, что вы уже не будете бояться приступать к решению сложных задач.

III этап рефлексия

Учитель: Сейчас выполните самооценку своей деятельности на уроке (заполнение листов самооценки).

Проанализируйте деятельность, которую вы осуществляли в течение урока, насколько вам удалось достичь поставленной цели.

Выслушиваются мнения учащихся.

Дифференцированное домашнее задание : по 3 уровням на выбор учащихся.

Стандарт: учебник стр.240 №7,11,12.

Выше стандарта: из сборника для подготовки к ГИА стр. 148 №7.6(б), 7.10(б)

Высокий: из сборника для подготовки к ГИА стр. 149 №7.27(б) , №7.41