Урок по теме: «Серединный перпендикуляр к отрезку, как геометрическое место точек».

1. Дать представление о новом классе задач - построение геометрических фигур с помощью циркуля и линейки без масштабных делений;

2. Ввести понятие ГМТ;

3. Дать определение серединного перпендикуляра научить строить его и доказать терему о серединном перпендикуляре, а так же обратную ей;

4. Выполнить геометрические построения, которые рекомендуется проводить в курсе геометрии с помощью циркуля и линейки.

Раздаточный материал (Р.М.Приложение №1)

Задачи на построение циркулем и линейкой без делений решаются чаще всего по определённой схеме:

I. Анализ: Чертят искомую фигуру схематично и устанавливают связи между данными задачи и искомыми элементами.

II. Построение: По намеченному плану выполняют построение циркулем и линейкой.

III. Доказательство: Доказывают, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.

IV. Исследование: Проводят исследование, при любых ли данных задача имеет решение и если имеет, то сколько решений (выполняют не во всех задачах).

Вот несколько примеров элементарных задач на построение, которые мы с вами будем рассматривать:

1. Отложить отрезок, равный данному (изучено ранее)

2. Построение серединного перпендикуляра к отрезку:

1. построить середину данного отрезка;

2. построить прямую, проходящую через заданную точку и перпендикулярно заданной прямой (точка может лежать или не лежать на заданной прямой).

1. Построение биссектрисы угла;

2. Построение угла равного данному

Определение: Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

Задача: «Построить серединный перпендикуляр к отрезку»

Описание построения: (слайд№4)

1. Луч а; А – начало луча

2. Окружность (А ; r =m )

Окружность ∩ а = В; АВ = m

1. Окружность₁ (А; r₁ m/2)

2. Окружность₂ (В; r₁)

3. Окружность₁ ∩ Окружность₂ =

4. MN ; MN ∩AB =0 , (МN = L)

где MN AB ,O – середина AB

Следовательно, ∆ AMN = ∆ BNM (по 3-м сторонам),

Следовательно

1= 2 (по определению равных ∆)

3= 4 (по определению равных ∆)

2. ∆ MAN и ∆ NBM – равнобедренные (по определению) →

1 = 4 и 3 = 2(по свойству равнобедренных ∆)

3.Из пунктов.1 и 2 → 1 = 3 следовательно MO – биссектриса равнобедренного ∆ AMB

4 Таким образом мы доказали, что MN – серединный перпендикуляр к отрезку AB

IV.Исследование

Данная задача имеет единственное решение, т.к. любой отрезок имеет только одну середину, и через заданную точку можно провести единственную прямую перпендикулярную данной.

Определение: Геометрическое множество точек (ГМТ) — это множество точек, обладающих некоторым свойством. ( Р.М. Приложение №2)

Известные вам ГМТ:

1. Серединный перпендикуляр к отрезку – это множество точек, равноудаленных от концов отрезка.

2. Окружность – это множество точек, равноудаленных от заданной точки – центра окружности.

3. Биссектриса угла – множество точек, равноудаленных от сторон угла

Итак, докажем теорему:

Домашнее задание: «Доказать теорему, обратную данной»

Доказательство:

1. Т.к. МА=МВ (по условию) →∆ АМВ – равнобедренный (по определению)

2. Проведем МО АВ, т.е. опустим h_АВ

3. Т.к. АВ – основание равнобедренного ∆АМВ, то МО – медиана → АО=ОВ (по cвойству равнобедренного треугольника)

Т.о. МО – серединный перпендикуляр, содержащий все точки, равноудаленные от концов отрезка .

Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

Они пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной окружности около треугольника, мы изучим в восьмом классе.

План решения задач на построение циркулем и линейкой.

1. Анализ

2. Построение

3. Доказательство

4. Исследование

Пояснение.

1. При выполнении анализа схематично чертят искомую фигуру и устанавливают связь между данными задачи и искомыми элементами.

2. По намеченному плану выполняют построение циркулем и линейкой.

3. Доказывают, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.

4. Проводят исследование: при любых ли данных задача имеет решение и если имеет, то сколько решений?

Примеры элементарных задач на построение:

1. Отложить отрезок, равный данному.

2. Построить серединный перпендикуляр к отрезку.

3. Построить середину отрезка.

4. Построить прямую, проходящую через данную точку, перпендикулярно заданной прямой (Точка может лежать или не лежать на заданной прямой).

5. Построить биссектрису угла.

6. Построить угол равный данному.

Геометрическое место точек (ГМТ)- это множество точек, обладающих некоторым свойством.

Примеры ГМТ:

1. Серединный перпендикуляр к отрезку – это множество точек, равноудалённых от концов отрезка.

2. Окружность – это множество точек, равноудаленных от заданной точки – центра окружности.

3. Биссектриса угла – это множество точек, равноудалённых от сторон угла.

Теорема:

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Комментарий:

Дано: отрезок АВ, МО – серединный перпендикуляр

Доказать: АМ=ВМ

Домашнее задание:

Сформулировать и доказать обратную теорему.