Урок по теме "Зарождение математики. Старинные задачи и методы их решения"

Тема урока: Зарождение математики.

Старинные задачи и методы их решения.

Цели:

- обучающие: на примере истории развития математики Древнего Египта, Индии и Древнего Китая показать ученикам взаимосвязь таких наук как история (археология) и математика.

Закрепить умения и навыки по выполнению действий с натуральными числами, обыкновенными дробями, арифметическим квадратным корнем и теоремой Пифагора.

-развивающие: развивать познавательный интерес, внимание, мышление, самостоятельность, формировать способность к обучению.

-воспитательные: воспитывать интерес к таким дисциплинам как математика и историячерез создание иной модели преподнесения информации.

Тип урока: комбинированный. Рассчитан на 40мин. Закрепление знаний, умений и отработки навыков действий с натуральными числами, обыкновенными дробями, арифметическим квадратным корнем и теоремой Пифагора.

Формы работы учащихся: коллективная, самостоятельная, парная.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, интерактивная доска, презентация Microsoft PowerPoint «Страницы истории Древнего Египта и Древнего Китая», разноуровневые задания-карточки.

Ход урока:

1. Приветствие, проверка готовности к уроку. Список отсутствующих. (2 мин.)

2.   Сообщение темы и целей

- Тема урока «Зарождение математики. Старинные задачи и методы их решения» Сегодня на уроке вы должны

1. знать:

2. – формулировку теоремы Пифагора;

3. – свойства арифметического корня;

4. – физический смысл и практическое применение, вложенные в перечисленные понятия,

5. уметь:

6. – применять полученные знания, оперировать свойствами в конкретной ситуации;

7. – уметь искать разные подходу к доказательству и решению задач;

8. - использовать Интернет - технологии для достижения поставленных целей.

1. Опрос. Проверка домашнего задания. 2 ученика работают у доски.

Тем временем остальные работают устно. (4 мин.)

На интерактивной доске демонстрируется презентация

- Сформулируйте определение арифметического квадратного корня.

- Далее называю примеры: чему равен кв. корень из: 64/81, 121; 1,44; 225, -64, 1

- При каких значениях х имеет смысл выражение (далее демонстрируются кадры презентации)?

- Найдите значение выражения при х= -5

- При каких значениях а имеет смысл выражение ?

- Как формулируется теорема Пифагора?

Проверяем домашнее задание. Объявляются оценки работающим у доски. (3 мин.)

За устные ответы объявляются накопительные баллы активным ученикам.(2 мин.)

-Спасибо, ребята, садитесь. Итак, сегодня мы должны не только немного окунуться в историю зарождения математики, но и с пользой дела, где-то даже играючи, решить много серьёзных задач. Конечно, за урок невозможно перечислить всех великих математиков, «заглянуть во все страны», «раскрыть все математические тайны и законы», поэтому остановимся на некоторых чуть подробнее. При этом мы не просто познакомимся с видами задач, а применим их к недавно пройденным темам, таким как: арифметического квадратного корня по Алгебре и теореме Пифагора по геометрии.

4. Объяснение нового материала

Введение в тему. Откуда произошла алгебра? (3 мин.)

Бхаскара

В VII—VIII веках индийские математические труды переводятся на арабский. Десятичная система проникает в страны ислама, а через них, со временем — и в Европу.

В XI веке происходит захват и разорение мусульманами Северной Индии (Махмуд Газневи). Культурные центры переносятся в Южную Индию. Научная жизнь на длительный период угасает. Из значительных фигур этого периода можно выделить Бхаскару, автора астрономо-математического трактата «Сиддханта-широмани». Бхаскара дал решение множественным уравнениям .

XVI век был отмечен крупными открытиями в теории разложения в ряды, переоткрытыми в Европе 100—200 лет спустя. В том числе те факты, которые Вы, ребята, будете использовать в ближайшее время (ряды для синуса, косинуса и арксинуса. Поводом к их открытию послужило, видимо, желание найти более точное значение числа .

А теперь небольшая историческая справка об Аль-Хорезми (750 – 850).

Полное имя – Абу Абдаллах Мухаммад ибн Муса ал Хорезми – один из крупнейших ученых (математик, астроном, историк,географ) средневековья. Приведенные годы жизни условны. Родина Аль-Хорезми – Хорезм, обширная область Средней Азии, которой соответствует теперешний Узбекистан. Он известен тем, что написал основополагающий трактат по алгебре, который был посвящен решению уравнений и ученый рассматривал этот вопрос как самостоятельную науку. В книге Аль-Хорезми шла речь о двух важнейших операциях, необходимых при решении уравнений: переносе членов уравнения с одной стороны равенства в другую и о приведении подобных членов уравнения. От названия книги Ал-джабр произошло слово «алгебра». Аль-Хорезми приводил и геометрические способы решения уравнений. Его книга пользовалась большой популярностью, а в математике осталось и имя автора в латинизированном виде: алгоритм. Это слово теперь означает систему вычислений по определенным правилам. Аль-Хорезми впервые представил алгебру как науку об общих методах решения уравнений, дал их классификацию, что было очень существенно для «добуквенной» алгебры.

Вот мы живём, решаем задачи и уравнения и даже не задумываемся, чьими мыслительными трудами был получен этот удивительный результат! Должно быть очень интересно имя ученого-математика, который ввел новое понятие, либо доказал теорему, либо придумал новый математический символ. Выясним, кто первым ввел знак корня (1637 г.)

Например, Рене Декарт (1596-1650) французский дворянин, в 1629 г.переселился в Голландию. Воин, математик, философ, физиолог, мыслитель. Что мы знаем о Рене Декарте – математике:он заложил основы аналитической геометрии, Ввел буквенные обозначения в алгебру: x2, y3, a + b и т.д.; ввел понятие декартовых координат, определяющих функцию переменной величины и арифметического квадратного корня.

Итак, у нас были даны на дом творческие задания. Прошу девочек выступить с краткими обзорными сообщениями по темам:

«Математика древнего Египта»(4 мин.) и

«Теорема Пифагора»(4 мин.)

После выступления ученицам объявляются оценки.

А сейчас мы посмотрим с вами презентациюс разбором решения древних задач

(про деление наследства, про измерение площади государства, про воловью шкуру).(5 мин.)

5. ФИЗКУЛЬТМИНУТКА (2мин.) Выполняем упражнения для глаз: вращение, моргание с открытыми и закрытыми глазами. Пока выполняются упражнения, заполняется пауза: «Мы должны в буквальном смысле смотреть шире во всём: и на уроке видеть не только узкую тему задачи, а выводы, которые можем использовать. Итак, все закрывайте глаза, а я Вам расскажу интересный научный факт: человека положили на горизонтальную доску, уравновесили, затем предложили решить простейшую математическую задачу! Часть тела до пояса опускалась на «весах» вниз. Почему? А потому что мыслительный процесс усиливает кровоток в мозг и происходит перевешивание».

Отдохнули? Замечательно! А теперь нам всем необходимо потрудиться! Итак, самостоятельно решаем задания по карточкам (7 мин.)

1. Закрепление полученных знаний. Работа по карточкам:

Табак – древнее растение. Но как и сейчас, так и тогда оно губило лёгкие курильщиков и здоровье находящихся вокруг людей. Статистика установила, что курящих подростков мальчиков 4/9, а девочек 4/25.

Задача 1.Определите сколько, может быть курящих школьников, если мальчиков 39, а девочек 45?

Задача 2. Курящие дети сокращают себе жизнь на 9/400 Определите, какова продолжительность жизни нынешних курящих детей, если средняя продолжительность жизни в России среди мужчин 56 лет?

Задача 3. Весь мир борется с табаком. Во многих странах запрещено курение на рабочем месте. Серьезный работодатель может не принять или уволить курящего. Причину этого может объяснить следующий пример: если секретарь-машинистка курит, то на странице печатного текста в 800 знаков, у нее будет 1024 ошибок. Сколько ошибок она сделает, если документ содержит 78 страниц?

При разборе задач обязательно сконцентрировать внимание на вреде курения:

Организация Здравоохранения выдвинула тезис: «Право некурящих на чистый воздух выше права курящего на курение». Не пора ли нам серьезно задуматься над вопросом: жить или курить?

Индийская Задача: Какова высота свечи, если длина тени – 8 см, а расстояние от верха свечи до конца тени – 10 см?

Индийская Задача (1) (часто задачи рифмовали):

Над озером тихим с полмеры над водой,

Был виден лотоса цвет.

Он рос одиноко, и ветер волной

Нагнул его в сторону – и уж нет

Цветка над водой

Нашёл его глаз рыбака

В двух мерах от места, где рос.

Сколько озера здесь вода глубока?

Тебе предложу я вопрос!

Индийская Задача (2):

Обезьянок резвых стая,

Всласть поевши, развлекаясь,

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А 12 лианам

Стали прыгать, повисая.

Сколько было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?

Древнекитайская задача учёного Цзинь Киу -Чау, 1250 лет до н.э.:

Бамбуковый ствол 9 футов высотой переломлен бурей так, что если верхнюю часть его нагнуть к земле, то верхушка коснётся земли на расстоянии 3 футов от основания ствола. На какой высоте переломлен ствол?

РЕШЕНИЕ:

а+с=9, в=3 футам, ▲АВС – прямоугольный.

По т. Пифагора с² = а² + в²

(9-а) ²=а² + 3²

81-18а + а²=а²+9

18а=72

а=4

Кому трудно самостоятельно, решаем Древнюю ЗАДАЧУ по геометрии вместе. Кто решил – сдаём карточки и тетради. Кто хочет попробовать дорешать самостоятельно – можно взять задания домой.

Удивительно, как много одновременно мало мы успели сегодня разобрать, как мало тем затронули. Чего стоят только пирамиды Хеопса, построенные в те времена, когда не было ни такой развитой строительной, ни высокоточной вычислительной техники! А тот факт, что не только мужчины были гениальными математиками! Как правило, в школах преподают математику, в основном, женщины. Вы должны знать, что есть гениальные дамы, оставившие великие открытия: например, это

Софья Васильевна Ковалевская

Людмила Всеволодовна Келдыш

Байрон Ада Августа.

Если захотите, мы можем провести классный час на новую тему о великих людях!

1. Итог урока.

2. РЕФЛЕКСИЯ (2 мин.):

• перечислите государства, внесшие огромный вклад в развитие математики.

(Древний Египет, Шумерское гос-во, Индия и Древнего Китай и т.д. Более поздними были задачи Западной Европы и России);

• Какие системы счисления вам известны? (Арабская, римская, Вавилонская клинопись);

• Российские меры длины? (локоть, сажень, …).

1. Домашнее задание. (демонстрируется предпоследний кадр презентации) Алгебра. Стр.92-95, параграф 7, п.18 № 414, №417, №419

СПАСИБО ВСЕМ ЗА УРОК! (демонстрируется последний кадр презентации)

Литература:

1. Алгебра: Учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений/Ю.Н. Макарычев;

М: Просвещение, 2011. - 271 с.

1. Геометрия: Учебник для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений/ Л.С. Атанасян;

М: Просвещение, 2006. - 384 с.

1. Рыбников К. А. История математики. М.: Просвещение, 1982. - 240 с.

2. Глейзер Г.И. История математики в школе. - М.: Просвещение, 1964. - 376 с.

3. Дидактические игры на уроках математики / под ред. В.Г.Коваленко.- М: Просвещение, 1990. - 126 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1: презентация.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2: задачи, предложенные к решению.

1. Трудное наследство

2. Итальянец Тарталья, который первым обнаружил способ нахождения корней кубического уравнения, придумал задачу о семнадцати лошадях.
   В завещании умершего отца семейства говорилось, что имевшихся в хозяйстве семнадцать лошадей следовало поделить между тремя наследниками в отношении одна вторая к одной третьей к одной девятой. Как выполнить завещание?

Первым обнаружил способ нахождения корней кубического уравнения итальянец Тарталья, он впоследствии и придумал задачу о семнадцати лошадях.

В завещании умершего отца семейства говорилось, что имевшихся в хозяйстве семнадцать лошадей следовало поделить между тремя наследниками в отношении одна вторая к одной третьей к одной девятой. Как выполнить завещание?

Ответ: 2, 6 и 9 лошадей.

Сам Тарталья предложил следующее решение. Для раздела имеющихся лошадей необходимо заимствовать еще одну, после чего их общее количество станет 18. Раздел этого количества даст 2, 6 и 9 лошадей, которых в сумме окажется 17. Одна лошадь из 18 оказалась как бы «лишней» - это заимствованная лошадь, которую следует вернуть владельцу после раздела имущества. Проще решить головоломку иначе:

пропорцию 1\2 *18=9 лошадок, 1\3*18=6 лошадей, 1\9*18 – 2 лошади.

2+6+9=17 лошадей.

1. Площадь Англии

В средние века жил английский ученый, которому нужно было точно вычислить площадь Англии. Он знал только точную площадь одного из графств и имел при себе карту Англии. Как же он вычислил общую площадь?

Ответ:

Он вырезал контуры Англии и графства из карты и нашел отношение их весов. Точно в такой же пропорции соотносились и площади.

Найдите три числа, которые при попарном сложении дают в сумме двадцать, тридцать и сорок.

Ответ: Числа 5, 15 и 25.

Основание Карфагена

1. Сделка Дидоны

Об основании города Карфагена существует древнее предание. Дидона, дочь тирского царя, потеряв мужа, убитого ее братом, бежала в Африку. Там она купила у нумидийского царя столько земли, «сколько занимает воловья шкура». Когда сделка состоялась, Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие ремешки и благодаря такой уловке охватила участок земли, достаточный для сооружения крепости. Так будто бы возникла крепость Карфаген, а впоследствии был построен и город.

Попробуйте приблизительно определить, какую площадь могла, согласно этому преданию, занять крепость, если считать, что размер воловьей шкуры 4 кв. м, а ширина ремешков, на которые Дидона ее разрезала, 1 мм.

Ответ:

Если площадь воловьей шкуры 4 кв. м. (или 4 млн. кв. мм.), а ширина ремешков 1 мм, то общая длина вырезанного ремня (Дидона, надо думать, вырезала его спирально) - 4 миллиона миллиметров, или 4000 метров, т.е. 4 км. Таким ремнем можно окружить квадратный участок 1 кв. км.и круглый - в 1,3 кв. км.

Согласно легенде, жители Афин, на которых боги ниспослали эпидемию чумы, отправили делегацию к оракулу на остров Делос за советом, как задобрить богов и избавиться от морового поветрия. Ответ был таков:

«Удвойте жертвенник храма Аполлона, и чума прекратится». Жертвенник имел кубическую форму. Афиняне решили, что задание простое, и построили новый жертвенник, с вдвое большим ребром. Однако чума только усилилась. Вторично обратились к оракулу и получили ответ: «Получше изучайте геометрию». История умалчивает о том, как удалось умилостивить богов, но чума в конце концов покинула город. А задачу об удвоении куба стали называть делосской задачей.

Известна и другая легенда. Греческий комментатор VI в. до н. э. сообщает о письме, предположительно написанном царю Птолемею I. В нём говорится, что царь Минос построил на могиле сына надгробие кубической формы, но остался недоволен размерами памятника и приказал удвоить его, увеличив вдвое ребро куба. Комментатор указывает на ошибку царя Миноса (площадь поверхности памятника в результате увеличилась в четыре, а объём — в восемь раз) и рассказывает, что тогда геометры попытались решить эту задачу.

Для арифметических расчётов использовалась юпана