Урок-презентация

Дюжина задач на параметры

Задачи из сборника «30 задач, ЕГЭ-2019» и других источников, а также специально составленные задачи

1 2 ax (1) выполняется при любом значении a . Обозначим b = 2 a . Перепишем неравенство (1) в виде: 1 + bx (2) Строим в одной системе координат графики функций: 1) y = и 2) y = 1 + bx. " width="640"

Сборник «30 задач, ЕГЭ-2019». Вариант 12

1. Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение функции y = 2 ax + больше 1.

Решение. Переформулируем задачу. Найдём все значения a , при каждом из которых неравенство

1 2 ax (1)

выполняется при любом значении a . Обозначим b = 2 a .

Перепишем неравенство (1) в виде:

1 + bx (2)

Строим в одной системе координат графики функций:

1) y = и 2) y = 1 + bx.

Графический способ

1. Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение функции y = 2 ax + больше 1.

… Неравенство (2) выполняется при любых значениях x при тех значениях b , при которых все точки графика функции 1) находятся выше соответствующих точек прямой 2).

Верхняя граница значений b соответствует прямой y = 1 + bx , проходящей через точки (0; 1) и (3; 0), т. е. b = . При больших значениях b прямая пересекает более чем в одной точке.

Графический способ

1. Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение функции y = 2 ax + больше 1.

… Нижнюю границу значений b найдём из условия, что прямая y = 1 + bx и парабола y = пересекаются в одной точке. Уравнение

= 1 + bx

имеет единственный корень при

b = 8 2 и b = 8 2 .

Первое из этих значений соответствует изображённому на рисунке случаю.

Графический способ

1. Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение функции y = 2 ax + больше 1.

… Итак, графики функции 1) и прямой 2) имеют

единственную общую точку при b = и при b = 8 2 , не имеют общих точек, т. е. график функции 1) находится выше прямой 2) и неравенство (2) выполняется для любого значения x при 8 2 2 a

a

Досрочный экзамен. Резерв. 10.04.2019

2. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение 3sin  x – cos  x = a (1)

имеет ровно 1 корень на отрезке .

Решение. Разделим уравнение (1) на :

sin  x – cos  x = . (2)

В первой четверти существует число t , такое, что sin  t = , cos  t = .

Вспомогательный угол

2. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение 3sin  x – cos  x = a (1)

имеет ровно 1 корень на отрезке .

Решение. Разделим уравнение (1) на :

sin  x – cos  x = . (2)

В первой четверти существует число t , такое, что sin  t = , cos  t = . Тогда tg t = и из

x ≤ следует, что – t x – t ≤ – t .

Вспомогательный угол

2. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение 3sin  x – cos  x = a (1)

имеет ровно 1 корень на отрезке .

… Причём t , а 0 t

Перепишем уравнение (2) в виде :

sin ( x – t ) = . (3)

Уравнение (3) имеет ровно 1 корень на отрезке , если: = 1, т. е. a = .

Вспомогательный угол

2. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение 3sin  x – cos  x = a (1)

имеет ровно 1 корень на отрезке .

… Или если

sin ( – t ) sin ( x – t ) t ),

Ответ. a = .

0. " width="640"

Замена неизвестного

3. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение ­ 2 a + 3 = 0 (1)

имеет хотя бы 1 корень.

Решение. Заметим, что = ≥ 1, значит, t = ­ ≥ 0; 0.

0. Перепишем уравнение (1) в виде t 2 a + 3 = 0 (2) Задача свелась к отысканию всех значений a , таких, что уравнение (2) имеет хотя бы один неотрицательный корень. " width="640"

Замена неизвестного

3. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение ­ 2 a + 3 = 0 (1)

имеет хотя бы 1 корень.

Решение. Заметим, что = ≥ 1, значит, t = ­ ≥ 0; 0.

Перепишем уравнение (1) в виде

t 2 a + 3 = 0 (2)

Задача свелась к отысканию всех значений a , таких, что уравнение (2) имеет хотя бы один неотрицательный корень.

Замена неизвестного

3. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение ­ 2 a + 3 = 0 (1)

имеет хотя бы 1 корень.

… Если 2 a + 3 = 0, т. е. если a = 1,5, то уравнение (2) имеет вид:

t = 0,

= 0. (3)

Уравнение (3) имеет единственный корень = 0. Значит, a = 1,5 удовлетворяет условиям задачи (уравнение (1) имеет корень = 1.

0, т. е. если a Если 2 a + 3 a 1,5, то квадратичная функция f ( t ) = t 2 a + 3 в точке t = 0 принимает отрицательное значение, а так как коэффициент при положительный, то функция имеет два нуляи разных знаков. " width="640"

Замена неизвестного

3. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение ­ 2 a + 3 = 0 (1)

имеет хотя бы 1 корень.

… Если 2 a + 3 0, т. е. если a

Если 2 a + 3 a 1,5, то квадратичная функция

f ( t ) = t 2 a + 3 в точке t = 0 принимает отрицательное значение, а так как коэффициент при положительный, то функция имеет два нуляи разных знаков.

1,5 уравнение (2) имеет положительный корень, тогда и уравнение (1) имеет корень, т. е. все a 1,5 удовлетворяют условиям задачи. Объединив все найденные значения a , имеем: a ≥ 1,5. Ответ. a ≥ 1,5. " width="640"

Замена неизвестного

3. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение ­ 2 a + 3 = 0 (1)

имеет хотя бы 1 корень.

… Это означает, что при t 1,5 уравнение (2) имеет положительный корень, тогда и уравнение (1) имеет корень, т. е. все a 1,5 удовлетворяют условиям задачи.

Объединив все найденные значения a , имеем: a ≥ 1,5.

Ответ. a ≥ 1,5.

Графический способ

4. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение ) + = 0 (1)

имеет единственный корень.

Решение. Перепишем уравнение в виде

) (2)

Все значения функции y = неотрицательны. График

парабола, ветви которой направлены вверх.

На промежутке функция y = ) достигает наибольшего значения sin 1 в точке x = 0.

0 уравнение (1) имеет единственный корень при условии, что ), т. е. при " width="640"

Графический способ

4. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение ) + = 0 (1)

имеет единственный корень.

… При a y = 2 a ) отрицательны на промежутке , её график не имеет общих точек с параболой.

При a = 0 уравнение (1) имеет единственный корень x = 0.

При a 0 уравнение (1) имеет единственный корень при условии, что ), т. е. при

Графический способ

4. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение ) + = 0 (1)

имеет единственный корень.

… Осталось убедиться, что при a = 0 и при a = 2 уравнение (1) не имеет других решений.

При a = 0 это очевидно, а при уравнение (1) можно записать в виде

) ).

При x = 0 равенство верно, при x 0 нет, т. к.. правая часть уравнения отрицательна, а левая положительна.

Ответ. a = 0, a = 2sin 1.

Метод xOa

5. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение

(1)

имеет единственный корень.

Решение. Уравнение (1) имеет единственный корень при таком значении a , при котором система

имеет единственное решение x .

Метод xOa

… Уравнение системы

(2)

имеет два корня при любом значении a, значит, нужно найти, при каких значениях a один корень уравнения удовлетворяет ограничениям: , , , а другой — нет.

Но это долгая история. Мы пойдём другим путём.

Рассмотрим уравнение (2) с двумя неизвестными. Будем изображать его решения ( x ; a ) точками ( x ; a ) в системе координат xOa — отсюда и название метода.

Метод xOa

… Начнём с ограничения , которое запишем в виде

(3)

Левая часть неравенства (3) обращается в нуль для каждой пары чисел ( x ; a ), если x = 0 или a = . Все такие точки лежат на пунктирных прямых, координаты этих точек не удовлетворяют неравенству (3).

Все точки ( x ; a ), координаты которых удовлетворяют неравенству (3), лежат в закрашенных областях. Надо найти все значения a , при каждом из которых одно решение ( x ; a ) уравнения (2) принадлежит закрашенной области, другое нет.

Метод xOa

… Так как , то перепишем уравнение (2) в виде

(4)

Построим график функции (4), применяя метод «сложения» графиков для функций и.

Метод xOa

… Так как , то перепишем уравнение (2) в виде

(4)

Построим график функции (4), применяя метод «сложения» графиков для функций и.

Получим две «ветви» графика.

Метод xOa

… Так как , то перепишем уравнение (2) в виде

(4)

Построим график функции (4), применяя метод «сложения» графиков для функций и.

Получим две «ветви» графика.

Нашим ограничениям удовлетворяют лишь точки графика функции (4), лежащие в закрашенной области. Уравнение (1) имеет единственный корень лишь при ≥ 1.

Ответ. ≥ 1.

Метод областей

6. Найдите все значения a , при каждом из которых система

имеет три решения.

Решение. Построим в системе координат xOy фигуру F , заданную уравнением (1).

= 0, если

= 0, если

Метод областей

6. Найдите все значения a , при каждом из которых система

имеет три решения.

… Прямые и разбивают плоскость на 4 области.

В области I уравнение (1) имеет вид:

x y + x + y = ,

x ( x 1) = ,

x = 0, x = 1, y любое число.

Метод областей

6. Найдите все значения a , при каждом из которых система

имеет три решения.

… В области II уравнение (1) имеет вид:

x y + x + y = ,

y = .

Дальше можно рассмотреть области III и IV…

Метод областей

6. Найдите все значения a , при каждом из которых система

имеет три решения.

… Заметим, что вместе с точкой ( x y ) фигуре F принадлежит и точка ( x y ).

Метод областей

6. Найдите все значения a , при каждом из которых система

имеет три решения.

… Заметим, что вместе с точкой ( x y ) фигуре F принадлежит и точка ( x y ).

То есть фигура F симметрична относительно начала координат.

Уравнение (2) задаёт прямую

Метод областей

6. Найдите все значения a , при каждом из которых система

имеет три решения.

… При a = 0 прямая пересекает

фигуру F в трёх точках. Система имеет три решения.

При a 0 прямая пересекает

фигуру F в двух точках. Система имеет два решения.

Ответ. a = 0.

Метод областей

7. Найдите все значения a , при каждом из которых система

имеет более двух решений.

Решение. Построим в системе координат xOy фигуру F , заданную уравнением (1).

Модули обращаются в нуль при

и соответственно.

Метод областей

7. Найдите все значения a , при каждом из которых система

имеет более двух решений.

Решение. Построим в системе координат xOy фигуру F , заданную уравнением (1).

Модули обращаются в нуль при

и , соответственно.

Эти четыре прямые разбивают плоскость на 9 областей.

Метод областей

7. Найдите все значения a , при каждом из которых система

имеет более двух решений.

… В каждой из закрашенных областей оба модуля раскроем со знаком «+», уравнение (1) имеет вид:

,

()() = 0.

Метод областей

7. Найдите все значения a , при каждом из которых система

имеет более двух решений.

… В каждой из закрашенных областей оба модуля раскроем со знаком «+», уравнение (1) имеет вид:

,

()() = 0.

Все решения этого уравнения изобразим точками прямых и

Метод областей

7. Найдите все значения a , при каждом из которых система

имеет более двух решений.

… Внутри центральной области оба модуля раскроем со знаком «», уравнение (1) имеет вид:

,

.

Метод областей

7. Найдите все значения a , при каждом из которых система

имеет более двух решений.

… Внутри центральной области оба модуля раскроем со знаком «», уравнение (1) имеет вид:

,

.

Все решения этого уравнения изобразим точками прямой

Метод областей

7. Найдите все значения a , при каждом из которых система

имеет более двух решений.

… Теперь рассмотрим одну область (выделена цветом). Первый модуль раскроем со знаком «», второй со знаком «», уравнение (1) имеет вид:

,

.