Урок + презентация. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике и окружности, 9 класс.

Метрические соотношения в треугольнике и окружности

Повторение и систематизация знаний

План урока

• Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике.
• Теорема Пифагора
• Тригонометрические функции.
• Теорема косинусов.
• Теорема синусов.
• Свойство хорд.
• Свойство секущих.
• Решение задач

Соотношения в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике справедливы следующие соотношения:

h 2 = a 1 * b 1 ; b 2 = b 1 * c ; a 2 = a 1 * c , где b 1 и а 1 –

проекции катетов b и а на

гипотенузу.

Пример:

а 1 = 3, b 1 = 6 ,

а = ? b = ? h = ? с = ?

а

b

h

c

a 1

b 1

Решение: с = 9, а 2 = 27 ,

b 2 = 54, h = 18

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: с 2 = а 2 + b 2

Пример:

а = 12, b = 5 , с = ?

c

a

Решение:

с 2 = 169, с = 13

b

Определение тригонометрических функций

B

• Синусом угла  называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin  = ВС/АВ
• Косинусом угла  называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos  = АС/АВ
• Тангенсом угла  называется отношение противолежащего катета к прилежащему: tg  = АВ/АС
• Котангенсом угла  называется отношение прилежащего катета к противолежащему: ctg  = АС/ВС



A

C

Пример: а = 5 , b = 12, c = 13.

Найти: sinA, cosA, tgA, ctgA

Решение: sinA = 5/13 , cosA = 12/13 ,

tgA = 5/12 , ctgA = 12/5.

Теорема косинусов

В произвольном треугольнике справедливо равенство : a 2 = b 2 + c 2 ± 2 bc cos 

Пример:

1. b = 2, c = 5,  = 60 o , а = ?

2 . а = 6, b = 8 , с = 9, cos  = ?

B

9

6

A

C

8

Решение:

• а 2 = 4 + 25 - 20*1/2 =19
• 2 . cos  = (64 + 81-36): 2*8*9=0,75

Теорема синусов

В произвольном треугольнике справедливо равенство:

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2 R ,

где R – радиус описанной окружности.

C

Пример:

а = 4 , sin A = 1/2

b = 6, sin B = ?

b

a

Решение:

8 = 6 / sin B , sin B = 3/4

A

B

c

Свойство хорд

Произведение ВА*АВ 1 = R 2 – a 2 постоянно .

B

C

Пример:

ВА = 2, АВ 1 = 6

СА = 4, СА 1 = ?

A

C 1

B 1

Решение:

СА 1 = 12:4 = 3

Свойство секущих

АВ*АВ 1 = АС*АС 1 = а 2 – R 2

A

Пример:

АВ = 3, АВ 1 = 8,

АС = 6, АС 1 = ?

B

C

B 1

C 1

Решение:

АС 1 = 3*8 / 6 = 4

В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 17, а высота, опущенная на основание, равна 15. Найти основание треугольника.

A

17

15

B

C

K

Решение: BK = 8, BC = 16.

Две стороны треугольника равны 3 и 7, а угол, противолежащий большей из них, равен 60 о . Найдите третью сторону треугольника.

7

3

Решение:

49 = х 2 + 9 – 2*3*х*1/2

х 2 – 3х – 40 = 0,

х = 8 ; -5.

Ответ: 8

60 o

x

Один из углов треугольника равен 30 о , а диаметр окружности, описанной около треугольника, равен 14. Найдите сторону, противолежащую данному углу.

C

Решение:

а/ sin30 o = 14 ,

а = 7

Ответ: 7

30 o

B

A

Решите треугольник АВС,

если угол А = 45 o , угол В = 75 o , АВ = 2  3

C

Решение:

• ВС : sin45 o = 2  3 : sin60 o

BC = 2  3 sin45 o : sin60 o , BC = 3  2

• AC : sin75 o = 2  3 sin60 o ,

AC = 2  3 sin75 o : sin60 o

AC = 3 sin 75 o

45 o

75 o

B

A