Урок "Решение комбинаторных задач"

Решение комбинаторных задач

Цель: учить решать задачи на подсчет числа перестановок, размещений, сочетаний.

ХОД УРОКА

1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

1. КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ

Правило сложения

Правило умножения

Перестановки

Размещения

Сочетания

1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

1. Размещения

1. В группе из 30 учащихся нужно выбрать командира, его заместителя и ответственного за дежурство. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

1. Сколько можно образовать целых чисел, из которых каждое изображалось бы тремя различными цифрами?

Решение: Различных цифр всего 10: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Из них можно составить числа из трех цифр но из них нужно исключить те, которые начинаются с цифры 0. Таких размещений Т.о., искомое число

2. Сочетания

1. В группе из 25 человек четверых нужно назначить на уборку территории. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: так как порядок выбранных четырех человек не имеет значения, то это можно сделать

1. В турнире участвовало 12 шахматистов; каждый сыграл с каждым из остальных по одной партии. Сколько всего было сыграно партий?

Решение: элементами являются 12 шахматистов, в каждой партии участвовало по 2 шахматиста, т.е.

1. Сколькими способами можно выбрать 13 карт из колоды в 52 карты?

Решение: .

1. Перестановки

1. Сколько девятизначных чисел можно записать девятью разными значащими цифрами?

Решение: P_m = m! P₉ = 9! =

1. Сколькими способами можно разместить 12 человек за столом, вокруг которого стоит 12 стульев?

Решение: P₁₂ = 12! =

1. Сколькими способами можно расставлять на полке 6 различных книг? Ответ: 720

1. Задачи на перебор возможных вариантов

Такие задачи решаются следующим образом: выдвигается некая гипотеза, которая подтверждается или опровергается в ходе дальнейших рассуждений. Гипотезы выдвигаются до тех пор, пока не найдется единственно правильный вариант. Решение задач сопровождается записью рассуждений и там, где это необходимо для наглядности, графической иллюстрацией. В рассуждениях выдвижение гипотезы начинается со слова «Пусть». Если при рассмотрении какой-то гипотезы получен ответ на вопрос задачи, надо обязательно проверить и другие варианты для подтверждения, того, что найденное решение является единственным истинным.

Пример: Друзья усердно занимались в школе собаководства, тренируя своих питомцев — Джека, Лесси и Грифа, и вскоре приняли участие в соревнованиях. Один из судей на вопрос друзей о результатах соревнований ответил: «Джек занял второе место. Лесси, по-моему, не второе. Гриф не был первым». После объявления результатов оказалось, что судья дважды ошибся, а один раз был прав. Как распределились призовые места, если все участники заняли разные места?

Решение.

Вариант 1. Пусть истинно высказывание о том, что Джек занял 2-е место, тогда высказывание о том, что Лесси заняла не 2-е место, ложно, значит, Лесси заняла 2-е место. Получили противоречие с условием задачи, так как Джек и Лесси не могли поделить 2-е место. Значит, наше предположение о том, что первое высказывание истинно, неверно.

Вариант 2.

Пусть истинно высказывание о том, что Лесси заняла не 2-е место, тогда высказывание о том, что Гриф не был первым, ложно, значив, Гриф занял 1-е место. Так как (по доказательству) Гриф занял 1-е место, значит, Лесси и Джек не заняли 1-е место. Так как Лесси заняла не 2-е место (по предположению) и не 1-е (по доказательству), значит, Лесси заняла 3-е место. Так как высказывание о том, Джек занял 2-е место, ложно (по предположению), значит, Джек занял не 2-е место, но он занял и не 1-е место (по доказательству), значит, Джек занял 3-е место. Получили противоречие с условием задачи, так как Джек и Лесси не могли поделить 3-е место. Значит, наше предположение о том, что второе высказывание истинно, неверно.

Вариант 3.

Пусть истинно высказывание о том, что Гриф не был первым, тогда высказывание о том, что Джек занял 2-е место, ложно, значит, Джек не занял 2-е место. Так как высказывание о том, что Лесси заняла не 2-е место, ложно (по предположению), значит, Лесси заняла 2-е место. Так как Лесси заняла 2-е место (по доказательству), то Гриф не занял 2-е место. Так как Гриф занял не 1-е место (по предположению) и не 2-е место (по доказательству), значит, Гриф занял 3-е место. Так как Гриф занял 3-е место (по доказательству), значит, Джек не занял 3-е место. Так как Джек не занял 2-е и 3-е места (по доказательству), значит, Джек занял 1-е место.

Ответ. Джек занял первое место, Лесси — второе, Гриф — третье.

Задача 1. В магазине

Три подружки - Ксюша, Лена и Даша - купили в магазине груши, яблоки и сливы, причем каждая девочка покупала только один вид фруктов и все покупки у них были разные. На вопрос, кто что купил, продавец ответил: "Ксюша купила груши. Лена - точно не груши. Даша - не сливы". Как оказалось позже, два из трех ответов были ложными и только один истинным. Кто что купил?

Ответ: Ксюша купила сливы, Лена - груши, Даша - яблоки.

Задача 2. Самый лучший друг

В классе проводился опрос, кто самый лучший друг. Обсуждая его итоги, один ученик сказал: "Сережа на первом месте, а на втором - Денис". Другой ученик возразил: "Сережа на втором месте, а Ваня на первом". На что учитель заметил, что в высказывании каждого ученика одна часть верная, а другая нет. Кто из ребят оказался по итогам опроса на первом месте, а кто на втором?

Ответ: Ваня оказался на первом месте, Денис - на втором

Задача 3. Мужчина спросил у встречных прохожих, как пройти в театр, и получил следующие ответы: Первый прохожий сказал: "Сначала поверните направо, а потом идите прямо". Второй сказал: "Сначала поверните налево, а потом идите прямо". Третий сказал: "Сначала идите прямо, а потом поверните налево". Оказалось, что каждый из прохожих ошибся в одном направлении. Как же надо было идти в театр?

Ответ 3. Надо было все время идти прямо

Задача 4^*. Алла, Валя, Таня и Даша участвовали в соревнованиях по гимнастике. Перед соревнованиями болельщики высказали такие предположения о будущем распределении мест: "Таня займет первое место, Валя - второе"; "Таня займет второе место, Даша - третье"; "Алла займет второе место, Даша - четвертое". Оказалось, что в каждом из прогнозов сбылась только половина. Какие места заняли девочки, если все они заняли разные места?

Ответ 4. Таня заняла первое место, Алла - второе, Даша - третье, Валя – четвертое

1. ИТОГ УРОКА