Урок "Теорема о трех перпендикулярах

Кукиль Анатолий Николаевич

МБОУ «СОШ № 33»

г. Симферополь

2014

Цели урока:

• Обучающая: знать теорему о трех перпендикулярах и уметь применять ее при решении задач;

• Развивающая: уметь логически мыслить, точно выражать свои мысли, творчески подойти к поставленной задаче;

• Воспитательная: воспитать точность, аккуратность, любовь к предмету; показать красоту предмета.

Тип урока: :урок закрепления нового материала

Форма проведения: комбинированные уроки

Оборудование: презентация, проектор.

Ход урок:

1 .Организационный момент (Слайд 1-2)

1. Проверка домашнего задания ( через проектор ) (Слайд 3)

Задача № 143.

Дано: АВС – правильный треугольник, АВ = 6см;

М вне принадлежит плоскости АВС;

МА=МВ=МС= 4см.

Найти: расстояние от М до плоскости треугольника АВС.

Решение:

Проведем МО – перпендикуляр до плоскости треугольника АВС.

Т.к МА=МВ=МС, то треугольники АМО, ВМО и СМО равны ( по первому признаку равенства треугольников ). Тогда ОА=ОВ=ОС = R - радиусу описанной окружности.

R = . Треугольник АМО – прямоугольный, по т. Пифагора

МА² = АО² + МО²

МО²= = 16 – 12 = 4, МО= 2.

Ответ: 2 см.

3. Актуализация опорных знаний (Слайд 4)

Фронтальный опрос учащихся.

• Способы задания плоскости;

• Какие прямые в пространстве называются параллельными?;

• Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?;

• Определение перпендикулярности прямой и плоскости;

• Признак перпендикулярности прямой и плоскости;

• Сформулируйте теорему о перпендикулярности плоскости одной из параллельных прямых;

• Что называется перпендикуляром к плоскости?;

• Что называется наклонной к плоскости?;

• Что называется проекцией наклонной на плоскость?;

4. Изложение нового материала (Слайд 5)

Т

Доказательство:

И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

5. Закрепление нового материала (Слайд 6)

Задача 1 (Слайд 7)

Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. Из точки О проведен к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найдите расстояние от точки М до стороны DC, если АD= 6см, ОМ=4см.

Решение.

Дано: АВСD изображение квадрата со стороной АD=6см и О-точка пересечения диагоналей, OM ^ (ABC).

Найдем расстояние от точки М до стороны DC.

Опустим перпендикуляр МК на СD в плоскости МСD, МК и есть искомое расстояние

МО-перпендикуляр, ОК проекция наклонной МК на плоскость АВС. Так МК ^СD,то по Теореме о трех перпендикулярах ОК ^СD.

Точка О - центр вписанной окружности, то ОК- радиус. r=a/2. Тогда ОК= СD/2=3(см)

Рассмотрим ∆МОК ( К=90⁰)

МК²=МО²+ОК²; МК=5(см)

Задача 2 (Слайд 8)

Основание равнобедренного треугольника равно 16 см и лежит на плоскости α, а его вершина удалена от плоскости на 6 см. Проекции его боковых сторон на плоскость α перпендикулярны друг другу. Найдите высоту этого треугольника, опущенного на его основание.

Решение.

Дано α- изображение плоскости,

АВС- изображение равнобедренного треугольника.

Из точки С опустим перпендикуляр СМ на плоскость α. Тогда СМ=6см.

МВ и МА-проекции боковых сторон СВ и СА на плоскость α, соответственно. Тогда угол АМВ=90⁰

Найдем высоту треугольника АСВ - СК.

МК проекция наклонной СК на плоскость α.

Тогда по Т.Т.П. из того что СК ^ АВ имеем МК ^ АВ.

Рассмотрим ∆СМА и ∆СМВ они прямоугольные. СМ- общая, СА=СВ ( по условию), тогда ∆СМА= ∆СМВ (по двум катетам) и АМ=МВ.

∆АМВ равнобедренный и прямоугольный. МАВ= МВА=45⁰

МК - высота, а следовательно и биссектриса и медиана.

АК=КВ=8см, АМК= BMK=45⁰, МК=КВ

Из ∆СМК ( М=90⁰) имеем СК²=СМ²+МК²

СК=10(см)

Задача 3(Слайд 9)

Если наклонная к плоскости проходит через его вершину угла и образует с его сторонами равные углы, то биссектриса угла лежит на проекции этой прямой.

Решение.

Д

DАС

DА –наклонная,

Опустим перпендикуляр DO на плоскость α.

АО проекция наклонной DО на плоскость α.

Докажем, что АО-биссектриса ВАС.

Из точки О опустим перпендикуляры ОК на АВ и OL на АС.

OК проекция наклонной DK на плоскость α, тогда по ТТП т.к. ОК ^ АС то DK ^ AB, аналогично DL^AC.

Рассмотрим DDKA и DDLA. DA - общая, угол DAK=DAL(по условию).Значит они равны(по гипотенузе и острому углу), поэтому DK=DL и AK=AL

Рассмотрим DАКО и DALO.Они прямоугольные и равны АО- общая, АК=AL, следовательно они равны ( по гипотенузе и катету).

Тогда КАО= LAO.

Следовательно, ОА биссектриса ВАС.

6.Рефлексия (Слайд 10)

• Какую цель ставили на уроке?

• Были ли трудности на уроке? Какие?

• Что было интересно (трудно)?

7. Домашнее задание (Слайд 11)

Выучить п 20

№ 147 № 149

8. Подведение итогов (Слайд 12)

Цель урока:

• Изучить теорему о трех перпендикулярах
• Уметь применять теорему в стандартных

ситуациях

• Развивать умение сравнивать ,

доказывать, анализировать

Задача № 143.

Дано: АВС – правильный треугольник, АВ = 6см;

М вне плоскости АВС; МА=МВ=МС= 4см.

Найти:

расстояние от М до плоскости треугольника АВС

Проведем МО – перпендикуляр к

плоскости треугольника АВС.

Т.к МА=МВ=МС, то треугольники АМО, ВМО и СМО равны

R =

Тогда ОА=ОВ=ОС = R - радиусу описанной окружности .

Треугольник АМО – прямоугольный, по т. Пифагора МА 2 = АО 2 + МО 2

МО 2 = = 16 – 12 = 4, МО= 2.

Ответ: 2 см.

Ответьте на вопросы

• Способы задания плоскости;

• Какие прямые в пространстве называются параллельными?;

• Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?;

• Определение перпендикулярности прямой и плоскости;

• Признак перпендикулярности прямой и плоскости;

• Сформулируйте теорему о перпендикулярности плоскости одной

из параллельных прямых;

• Что называется перпендикуляром к плоскости?;

• Что называется наклонной к плоскости?;

• Что называется проекцией наклонной на плоскость?;

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной и перпендикулярн ая ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной.

.

Доказательство

АВ — перпендикуляр к плоскости α ,

Пусть α - изображение плоскости,

А

АС — наклонная

и с — прямая в плоскости α , проходящая через основание С наклонной, с  BC .

β

Докажем c  AC

Проведем через прямые АВ и АС плоскость β .

.

.

В

с

отсюда следует прямая с  β

Прямая с  СВ и АВ  с ,

C

Тогда прямая с перпендикулярная к любой прямой

лежащей в плоскости β . В частности c  AC

α

Теорема доказана.

Обратная теорема.

Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной,

то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Диагонали квадрата АВС D пересекаются в точке О . Из точки О проведен к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ . Найдите расстояние от точки М до стороны DC , если А D = 6 см, ОМ =4см.

Дано АВС D изображение квадрата со стороной А D =6см и О -точка пересечения диагоналей ,

OM  (ABC).

Найдем расстояние от точки М до стороны DC .

Опустим перпендикуляр МК на С D в плоскости МС D , МК и есть искомое расстояние.

МО -перпендикуляр, ОК проекция наклонной МК на плоскость АВС . Так МК  С D , то по Теореме о трех перпендикулярах ОК  С D .

Точка О - центр вписанной окружности, то ОК - радиус. r =a/2 . Тогда ОК = С D/2 =3(см)

∆ МОК

К 0

D

МК 2 =МО 2 +ОК 2 МК

Из точки С опустим перпендикуляр СМ на плоскость α . Тогда СМ =6см.

Основание равнобедренного треугольника равно 16 см и лежит на плоскости α , а его вершина удалена от плоскости на 6 см. Проекции его боковых сторон на плоскость α перпендикулярны друг другу. Найдите высоту этого треугольника, опущенного на его основание.

МВ и МА -проекции боковых сторон СВ и СА на плоскость α , соответственно.

АСВ СК

АМВ 0

МК проекция наклонной СК на плоскость α .

СК  АВ МК  АВ

∆СМА и ∆СМВ СМ СА=СВ ∆СМА= ∆СМВ АМ=МВ

∆ АМВ

МВА=45 0

МАВ=

МК

АМК=

АК=КВ

МК=КВ

BMK=45 0 ,

α

∆СМК

М =90 0 ) имеем

СК 2 =СМ 2 +МК 2

СК =10(см)

Дано α - изображение плоскости,

АВС

АС=ВС, АВ

Дано α - изображение плоскости.

ВАС

D А -наклонная,

D АВ=

D АВ=

D АС

D АС

Опустим перпендикуляр DO на плоскость α .

АО проекция наклонной D О на плоскость α .

D

АО

ВАС

Из точки О опустим перпендикуляры ОК на АВ и OL на АС .

O К проекция наклонной DK на плоскость α , тогда по ТТП т.к. ОК  АС то DK  AB , аналогично DL  AC .

B

Рассмотрим  DKA и  DLA . DA - общая, угол DAK=DAL (по условию).Значит они равны(по гипотенузе и острому углу), поэтому DK=DL и AK=AL

O

K

α

L

Рассмотрим  АКО и  ALO .Они прямоугольные и равны АО - общая, АК= AL , следовательно они равны ( по гипотенузе и катету).

C

LAO .

КАО=

ОА

ВАС

• Какую цель ставили на уроке?
• Были ли трудности на уроке? Какие?

• Что было интересно (трудно)?

Домашнее задание

Выучить п 20

№ 147 , № 149