Урок усвоения нового материала "Формулы приведения"

sin(90° - α)= cosα

sin(90° + α)= cosα

sin(180°- α)= sinα

sin(180°+α)= - sinα

sin(270°-α)= - cosα

sin(270°+α)= - cosα

sin(360°-α)= - sinα

sin(360°+ α) = sinα

cos(90° - α) = sinα

cos(90°+α) = - sinα

cos(180°-α)= -cosα

cos(180°+α)=- cosα

cos(270°-α)= - sinα

cos(270° + α)=sinα

cos(360°- α) = cosα

cos(360°+α)= cosα

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА:

1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ. ЦЕЛЕПОЛАГАНИЕ И МОТИВАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ.

- Здравствуйте, ребята. Садитесь.

Французский романист и литературный критик Анатоль Франс, лауреат Нобелевской премии по литературе говорил: «Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом!» Вы согласны? Если будет интересно и увлекательно, то будет легко учиться. Сегодня мы продолжаем знакомиться с тригонометрическими формулами. А формулы- это скучно, да? Или нет? Сегодня я постараюсь доказать вам, что формулы- это интересно и даже весело, и вы мне поможете в этом!

Цель сегодняшнего занятия научиться сравнивать, анализировать, систематизировать и обобщать информацию, выбирать рациональные способы решения, использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности, а еще: научиться оценивать свою работу. Работать, как всегда, будем и самостоятельно, и парами, и группами. Готовы? Приступаем!

2. ОБОБЩЕНИЕ И СИСТЕМАТИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Девизом сегодняшнего занятия послужат слова математика А.А. Маркова " Не бойтесь формул! Учитесь владеть этим инструментом человеческого гения! В формулах заключено величие и могущество разума..."

Для разминки первое задание:

Вспомним значения тригонометрических функций некоторых углов:

Посложнее задание:

Ну как, разогрелись?

Сыграем в математическое лото. Напоминаю правила: Командам предлагается набор карточек и большая карта. Студенты берут карточку, и ставят ее на нужное место на большой карте.

После выполнения задания переверните первые десять карточек обратной стороной. Запишите слово, которое получилось.

Получились слова: АРХАДЖИВА ДЖИВА ДЖАЙБ КОТИДЖИВА

Историческая справка:

- КОТИДЖИВА- это косинус.

Какие формулы вспомнили? (основное тригонометрическое тождество, формулы сложения)

3. ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

Следующее задание:

Используя свои знания и таблицы Брадиса найдите синус указанных углов (на магнитной доске карточки):

 , 25°, 870°, 315°, , 60°, 47°,  , 172°,

Всё ли задание смогли выполнить? Распределите на группы указанные углы попробуйте ответить, почему не получилось выполнить задание.

Попытаемся вычислить sin 870° и cos 870°

Возникло небольшое затруднение.

Как найти? - по формулам сложения

- с помощью числовой окружности

(работаем в группах, учитель направляет, спустя некоторое время (по результату выполнения) четверо учеников представляют решение на доске)

- Молодцы!

- Ребята, я запишу часть вашего решения в виде формул:

sin (180° – 30°) = sin 30° sin (90° + 60°) = cos 60°

cos (180° – 30°) = - cos 30° cos (90° + 60°) = - sin 60°

Угол 150° мы привели к углу 30° или 60°, а значения синуса и косинуса этих углов мы знаем или можем посмотреть по таблице.

В общем виде эти формулы можно записать так:

sin (180° – α) = sin α sin (90° + α) = cos α

cos (180° – α) = - cos α cos (90° + α) = - sin α

Или в радианах:

sin (π - α) = sin α sin ( + α) = cos α

cos (π – α) = - cos α cos ( + α) = - sin α

Оказывается, любой угол таким же образом можно привести к углам первой четверти и найти значения синуса и косинуса, тангенса и котангенса.

Как вы думаете, как называются такие формулы?

- Формулы приведения! Запишите тему урока!

Итак, формулы приведения- это формулы нахождения синуса, косинуса, тангенса и котангенса любых углов через приведение к значениям острых углов.

На самом деле это не все формулы! Вот их сколько!

Много, да? Каждый раз выводить нетрудно, но утомительно. Будем запоминать? Нет! Попробуем найти закономерность. Рассмотрим часть формул (на доске карточки с формулами):

sin (90° - α) = cosα cos (90° - α) = sinα

sin (90° + α) = cosα cos (90° + α) = - sinα

sin (180° - α) = sinα cos (180° - α) = - cosα

sin (180° + α) = - sinα cos (180° + α) = - cosα

sin (270° - α) = - cosα cos (270° - α) = - sinα

sin (270° + α) = - cosα cos (270° + α) = sinα

sin (360° - α) = - sinα cos (360° - α) = cosα

sin (360° + α) = sinα cos (360° + α) = cosα

Распределите на две группы.

(Учитель направляет, помогает найти закономерность)

- В каких-то случаях название функции меняется (90° и 270°), в каких-то не меняется (180° и 360°).

- Определимся со знаком.

- Кто сформулирует алгоритм записи формул приведения?

Для того, чтобы безошибочно менять функцию на кофункцию или не менять, существует даже легенда- шутка про умную лошадь.

Найдем, cos 315°, sin 240° (записываем на доске с объяснением):

cos 315° = cos (360° - 45°) = cos 45° =

или

cos 315° = cos (270° + 45°) = sin 45° =

sin 240°= sin (270° - 30°) = - cos 30° = -

или

sin 240°= sin (180° + 60°) = - sin 60° = -

4. ЗАКРЕПЛЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО МАТЕРИАЛА.

№ 26.1 (работа в парах: с объяснением I вариант- 1столбик, II вариант – 2 столбик)

№ 26.3, 26.4 (самостоятельно, один студент-с объяснением у доски)

- Всем понятно? (показывают учителю принятыми сигналами) У кого остались вопросы?

Если вопросов нет, выполняем Самостоятельную работу с последующей проверкой по эталону:

- У кого возникли затруднения? Ещё раз читаем наше мнемоническое правило и выполняем № 26.9, 26.10 (1ст)

У кого нет ошибок - № 26.14, 26.15

5. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ. РЕФЛЕКСИЯ.

- Как настроение? На ваш взгляд нам удалось достичь поставленных целей?

- Все ли у нас получилось?

- Получилось у нас доказать, что формулы- это интересно и совсем не скучно?

- Покажите условными знаками кому все понятно, кому немножко не хватило, а кто вообще ничего не понял?

- Дифференцированное домашнее задание: №26.16 / 26.9 (2ст)

- Мне очень понравилась ваша работа.

- Занятие окончено. До свидания.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ

Маркина Людмила Андреевна

КНХК

им. В.П.Лушникова

" Не бойтесь формул! Учитесь владеть этим инструментом человеческого гения!

  В формулах заключено величие и могущество разума..."

Марков А.А.

ПОСТАВЬТЕ В СООТВЕТСТВИЕ:

cos x отношение cos x к sin x

sin x 57°17´

tg x абсцисса точки

на числовой окружности

ctg x 0,0175 радиан

1 радиан ордината точки

на числовой окружности

1 градус отношение sin x к cos x

ВЫЧИСЛИТЕ:

sin 0° sin (- 30°)

tg 45° cos (-60°)

sin 270° ctg 180°

cos sin 90°

cos π tg

0 Имеет ли смысл выражение: , , , Определите знак выражения: tg 148°, ctg 248°, ctg 348°, tg 548° tg 230°· sin 130°, cos 285°· ctg 185°" width="640"

• Сколько градусов составляет дуга в π рад?
• Сколько радиан составляет 360°?
• В каких четвертях лежит угол α, если sinα
• Какой знак имеет cos 150°?
• В каких четвертях лежит угол α, если cosα0
• Имеет ли смысл выражение:

, , ,

• Определите знак выражения:

tg 148°, ctg 248°, ctg 348°, tg 548°

tg 230°· sin 130°, cos 285°· ctg 185°

Математическое ЛОТО

Командам предлагается набор карточек и большая карта. Студенты берут карточку, и ставят ее на нужное место на большой карте.

sin 2 x + cos 2 x =

tg(α + β) =

tg 2 x + 1 =

sin2x =

tgx  =

sin(α+β)=

cos2x =

tg2x =

cos(α + β) =

sin(α-β) =

ctg 2 x + 1 =

cos(α - β) =

Математическое ЛОТО

После выполнения задания переверните первые десять карточек обратной стороной. Запишите слово, которое получилось.

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась « арха-джива » (« полутетива ») , затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто « джива » . Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар» , обозначающим тетиву и хорду , а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса « джиба » . Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й» , арабы стали произносить название линии синуса « джайб » , что буквально обозначает « впадина » , « пазуха » .

Статуя Ариабхаты. Индийский межуниверситетский центр астрономии и астрофизики

При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus , имеющим то же значение. Современные обозначения для синуса и косинуса были введены в 1739 году И. Бернулли в письме к Л. Эйлеру.

Для остальных тригонометрических функций обозначения ввел Л. Эйлер. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее, проще.

ФОРМУЛЫ ПРИВ Е ДЕНИЯ

sin (90° - α) = cosα tg (90° - α) = ctgα

sin (90° + α) = cosα tg (90° + α) = ctgα

sin (180° - α) = sinα tg (180° - α) = - tgα

sin (180° + α) = - sinα tg (180° + α) = tgα

sin (270° - α) = - cosα tg (270° - α) = ctgα

sin (270° + α) = - cosα tg (270° + α) = - ctgα

sin (360° - α) = - sinα tg (360° - α) = - tgα

sin (360° + α) = sinα tg (360° + α) = tgα

cos (90° - α) = sinα ctg (90° - α) = tgα

cos (90° + α) = - sinα ctg (90° + α) = - tgα

cos (180° - α) = - cosα ctg (180° - α) = - ctgα

cos (180° + α) = - cosα ctg (180° + α) = ctgα

cos (270° - α) = - sinα ctg (270° - α) = tgα

cos (270° + α) = sinα ctg (270° + α) = - tgα

cos (360° - α) = cosα ctg (360° - α) = - ctgα

cos (360° + α) = cosα ctg (360° + α) = ctgα

АЛГОРИТМ ЗАПИСИ ФОРМУЛ ПРИВЕДЕНИЯ

(мнемоническое правило запоминания)

0

• и ( 90° и 270°) МЕНЯЮТ функцию на кофункцию π и 2π (180° и 360°) НЕ МЕНЯЮТ
• Знак ставится тот, который имеет исходная функция

ПРАВИЛО ЛОШАДИ

В старые добрые времена жил рассеянный математик, который при поиске ответа менять или не менять название функции (синус на косинус), смотрел на свою умную лошадь.

Лошадь кивала головой вдоль той оси координат, которой принадлежала точка, соответствующая первому слагаемому аргумента π/2 ± а (3π/2 ± а) или π ± а (2π ± а). Если лошадь кивала головой вдоль оси ОУ, то математик считал, что получен ответ «да, менять», если вдоль оси ОХ, то «нет, не менять»

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

I вариант II вариант

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (проверка)

I вариант

= = - = - 48

= = - = - 28

II вариант

= = - = - 35

= = = 17

Домашнее задание:

№ 26.16 // №26.9(2ст)

Спасибо

за урок!

Занятие окончено!