ЗАДАНИЕ 1
Процент и его
история
Обозначение процента как % связано с следующей историей. В 1685 году в Париже была издана книга "Руководство по коммерческой арифметике" В одном месте речь шла о процентах которые тогда обозначали "cto" - сокращенно от cento Однако наборщик принял это "cto" за дробь и напечатал "%.
Запись отношений стала удобнее, исчезли нули и запятая, а символ % сразу указывает, что перед нами относительная величина, а не граммы, литры, рубли или метры.
Как найти 1% от числа?
Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.
Пример . Найти: 25% от 120
С помощью процентов люди могут определять сколько соли в морской воде, сколько меди в сплаве и т.д.В математике существует множество задач на тему процентов.
Давайте рассмотрим несколько из таких задач:
Решение задач
Задача 1
Флеш-карта для компьютера стоила 800 рублей.Она подешевела на 15%.Сколько флеш карт можно купить на 2000 рублей?
Решение:
После снижение цены на товар на 15% его цена стала
100%-15%=85%,соответственно можем составить пропорцию
800 рублей-100%
Х рублей-85%
Найдем х=(800*85)/100=680 рублей стоит одна флеш-карта
Соответственно на 2000 рублей можно купить
2000/680=2(флеш-карты)
Ответ:2 флеш-карты
Задача 2
Пакет молока стоил 26 рублей.Сколько можно купить пакетов молока на 50 рублей после повышения цены на 15%?
Решение:
После повышения цены на товар он стал стоить:
100%+15%=115%,из всего этого можем составить пропорцию
26рублей-100%
Х рублей-115%,
Найдем х=(26*115%)/100=29,9рублей(один пакет молока после повышения цены)
Значит на 50 рублей можно купить
50:29,9=1(пакет молока)
Ответ:1 пакет молока.
Задача 3
Диск с компьютерной программой стоит 220 рублей.На специальной выставке он стоит на 30% дешевле.Сколько дисков можно купить на 1000 рублей?
Решение:
После понижения цены на товар,его цена стала
100%-30%=70%,соответственно составляем пропорцию
220рублей-100%
Х рублей-70%
Найдем х=(220*70)/100=154рубля(цена одного диска).
Значит на 1000 рублей можно купить
1000/154=6 дисков
Ответ:6 дисков
Задача 4.
Свежие грибы содержат 98% воды и весят 100 кг. При хранении они усохли и воды оказалось 96%. Найдите массу грибов после высыхания. Решение: Свежие грибы содержат сухого вещества 2% от всей массы грибов, что составляет 2 кг. В сухих грибах масса сухого вещества не изменилась. Но 2 кг сухого вещества составляют теперь 4% от массы сухих грибов. (2/4) 100 = 50 (кг) – масса сухих грибов. Ответ: масса грибов после высыхания составляет 50 кг.
Что развивает решение
Таких задач
- оказывает положительное влияние на всестороннее развитие школьников, выработку у них полезных навыков и качеств.
- развивают логическое мышление
- заставляет мыслить неординарно
- адаптирует к жизни
Вернуться к списку заданий
ЗАДАНИЯ 2
На рисунке показана диаграмма температуры в течение месяца..Определите максимальную температуру 14 августа по графику.
Ответ: 12 градусов.
На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 23 января. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Ответ: -13.
На графике показано изменение напряжения на батарейке (в вольтах) в зависимости от времени её использования. Чему было равно напряжение через 2 часа 5 минут после начала её использования? Ответ дайте в вольтах.
Вернуться к списку заданий
Ответ: 1,1.
ЗАДАНИЕ 3
ОДЗ:
удовлетворяет ОДЗ
Ответ: 3
ОДЗ :
, т.к. D (log)=R+
удовлетворяет ОДЗ
Ответ: 1
ОДЗ:
не удовлетворяет ОДЗ
Ответ:6
ОДЗ:
, т.к. D (log)=R+
удовлетворяет ОДЗ
Ответ:18
ОДЗ:
, т.к. D (log)=R+
удовлетворяет ОДЗ
Ответ:41
Вернуться к списку заданий
ЗАДАНИЕ 4
Тригонометрия - раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии
Основные понятия:
- тригонометрическая окружность
- градусы и радианы
- синус и косинус
- тангенс и котангенс
- формулы
Числовая окружность – единичная окружность,
с установленным соответствием
( между действительными числами и точками окружности).
На числовой окружности находятся числа, выраженные в долях числа «пи». ( «пи» - это математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине ее диаметра. Эта константа приближенно равна 3,14.)
Знаки тригонометрических функций по четвертям
Синус и косинус
y
-1 ≤ sin a ≤ 1
-1 ≤ cos a ≤ 1
a
sin a
x
0
cos a
Тангенс и котангенс
y
a
tg a
y
ctg a
x
0
a
x
0
arccos a
arcsin a
π/2
arcsin a
π/2
arccos a
0
π
π
[- π/2 ; π/2 ]
0
arcsin a ϵ
arccos a ϵ
[ 0 ; π ]
- π/2
- π/2
arcctg a
arctg a
π/2
π/2
arctga ϵ
(- π/2 ; π/2 )
π
0
π
0
0
0
arcctg a ϵ
( 0 ; π )
- π/2
- π/2
Задание 4(1): Решите уравнение.
2sin x*cos x = sin x – cos x + 1/2
2sin x*cos x - sin x + cos x – 1/2
2sin x*(cos x -1/2) + (cos x – 1/2) =0
(2sin x + 1)*(cos x –1/2) = 0
(2sin x + 1) = 0
(cos x -1/2) = 0
sin x = -1/2
cos x = 1/2
x=(-1) n arcsin a + π n , n ϵz
x=±arccosa+2 π n , n ϵz
x= ± π /3+2 π n , n ϵ z
x = (-1)*(- π/6 ) + πn , n ϵz
x=(-1) n+1 π /6+ π n , n ϵz
Задание 4(2): Вычислите значение выражения 12s in 2 a , если ctg= 3
1 + 3 =
s in 2 a = 1/4
12* 1/4=3
Ответ : 3
Задание 4(3): Решите уравнение
sin2α = 2sinα*cosα
sin x +sin 2x = cos x *2 cos 2 x
sin x + 2sin x *cos x = cos x *2 cos 2 x
sin x + (1 + 2cos x) = cos x (1+2 cos 2 x)
(1 + 2cos x) (sin x – cos x) = 0
1 + 2cos x = 0
sin x – cos x = 0
(: cos x )
2cos x = -1
sin x/cos x – 1 = 0
cos x = -1/2
tg x = 1
x=±arccosa+2 π n
x = arctg a + π n , n ϵ z
x= ± 2 π /3+2 π n , n ϵ z
x = π/4+ πn , n ϵ z
Задание 4(4): Вычислите значение выражения
cos 2 π/6 + ctg π/4 – sin π/6
(cos 2*π/6 + 1)/2 + ctg π/4 - sin π/6 = 1,25
2* π/6= π/3
cos π/3 =1/2
ctg π/4= 1
Ответ : 1,25
sin π/6 =1/2
Вернуться к списку заданий
ЗАДАНИЕ 5
Задача №1
- Хозяин дома решил обшить свой дом сайдингом и обратился в три фирмы, чтобы выбрать самый дешёвый вариант. Площадь обшивки составляет 120м 2 . Стоимость работы, материалов и транспортные расходы приведены в таблице. Какова стоимость самого дешёвого варианта?
Бригада
Стоимость 1м 2 ,руб.
I
II
148
Транспортные расходы, руб.
Дополнительные материалы
143
5000
III
Монтаж
140
4000
4700
сайдинга
4500
4500
15000
12000
5000
13500
Решение№1
1)120*148+5000+4000+15000=41760
2)120*143+4700+4500+12000=36360
3)120*140+4500+5000+13500=39800
Ответ:36360.
Задача№2
- Мария Ивановна собирается купить через интернет пылесос, холодильник и пароварку. Она изучает цены и сравнивает доставки в трех фирмах. Цены товара и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей заплатит Мария Ивановна за самый дешёвый вариант покупки?
Мага
I
зин
Цена
II
4200
Цена
пылесоса,
Холодиль ника, руб.
4500
Цена
III
руб.
12600
3600
Дос
пароварки
11000
4000
Дополнительные условия
тав
500
руб.
2500
10000
3000
Акция: цена на холодильник снижена в 2 раза
ка, руб.
500
При общей стоимости товара более 15000руб. Пароварка в подарок и доставка бесплатная
1000
При общей стоимости товара более 15000руб. Скидка10% и доставка бесплатная
Решение№2
1)4200+6300+3600+500=14600
2)4500+11000=15500
3)4000+10000+3000=17000
17000 – 100%
1700 – 10% 17000-1700=15300
X – 10% Ответ:14600.
Задача№3
- Из пункта А в пункт D ведут три дороги. Через пункт В едет грузовик со скоростью 44 км/ч, через пункт С едет автобус со средней скоростью 43 км/ч. Третья дорога - без промежуточных пунктов, и по ней движется легковой автомобиль со средней скоростью 70 км/ч. На рисунке показана схема дорог и раcстояние в километрах между пунктами по дорогам.
- Все три автомобиля одновременно выехали из А. Какой автомобиль добрался до D позже других? В ответе укажите, сколько часов он находился в дороге.
Решение№3
Через В, груз. 99км/44км\ч=2,25часов
Через С, авто. 86км/43км\ч=2часа
На прямую легковой авто. 105км/70км\ч=1,5часа
Ответ:2,25часа
Задача №4
- Для транспортировки 5 тонн груза на 350 км можно воспользоваться услугами одной из трёх фирм – перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъёмность автомобилей для каждого перевозчика указана в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешёвую перевозку?
Фирма – перевозчик
Стоимость перевозки одним автомобилем
А
(руб. на 10 км)
Грузоподъёмность автомобилей
80
Б
(тонн)
1,6
110
В
2,2
140
2,8
Решение№4
А 2800*4=11200руб.
Б 3850*3=11550руб.
В 4900*2=9800руб.
Ответ:9800руб.
Вернуться к списку заданий
ЗАДАНИЕ 6
Площадь треугольника, формула.
Треугольник образуется соединением отрезками трех точек, не лежащих на одной прямой. При этом точки называются вершинами треугольника, а отрезки - его сторонами. Площадь треугольника равна произведению основания треугольника (a) на его высоту (h):
Площадь треугольника, формула.
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см * 1 см изображен треугольник . Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение:
a= 9;
h= 3;
Площадь треугольника.
Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1;7), (8;7), (10;9).
Решение:
a= 8-1; a=7
h= 9-7; h= 2
Площадь прямоугольника.
Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы равны. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон (a, b):
Площадь прямоугольника.
Найдите площадь прямоугольника, вершины которого имеют координаты (2;1), (10;1), (10;7), (2;7).
Решение:
a= 7-1; a=6
b= 10-2; b= 8
Площадь трапеции.
Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Площадь трапеции равна произведению полу-суммы ее оснований (a, b) на высоту (h):
Площадь трапеции.
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см * 1 см изображена трапеция. Найдите её площадь в квадратных сантиметрах.
Решение:
a= 4;
b= 9;
h= 5;
Площадь трапеции.
Найдите площадь трапеции,
изображенной на рисунке.
Решение:
a= 3-1; a= 2
b= 10-4; b=6
h= 4-1; h=3
Площадь параллелограмма.
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Площадь параллелограмма равна произведению его основания (a) на высоту (h):
Площадь параллелограмма.
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см * 1 см изображен параллелограмм. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение:
a= 3;
h=4;
Площадь параллелограмма.
Найдите площадь параллелограмма,
изображенного на рисунке.
Решение:
a=3-1; a=2
h=7-3; h= 4
Площадь ромба
Ромбом называется параллелограмм с равными сторонами. Квадрат есть частный вид ромба. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:
Площадь ромба
Найдите площадь четырёхугольника , изображенного на рисунке.
Решение:
По теореме Пифагора найдём диагонали :
Площадь круга.
Окружность есть геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной ее точки. Равные отрезки, соединяющие центр с точками окружности, называются радиусами.
Площадь круга.
Найдите площадь круга. В ответе укажите . Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение:
C
Рассмотрим ABC:
По теореме Пифагора
найдём гипотенузу AC :
B
A
Вернуться к списку заданий
ЗАДАНИЕ 7
Определение. Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основания а называют показатель степени, в которую нужно возвести число а , чтобы получилось число b.
Формулы логарифма
1=0
a=1
x+
y
xy=
y
=
x-
b=1:
a
Задание №1
Найдите значение выражения:
Log₇441- Log₇9= Log₇441/9= Log₇49= Log₇7²=2
x-
y=
Задание №2
19+
4=
19*4=
76=1
xy
y=
x+
Вернуться к списку заданий
ЗАДАНИЕ 8
Производной функции f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при х 0
lim f(x + x) – f(x ) / x, где х=х-х – приращение аргумента, а разность f(x + x) – f(x )= f(x ) называется приращением функции.
Обозначается производная f’(x)=lim f(x )/ x при х 0
Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции у=f(x) в точке х=а равно угловому коэффициенту касательной к графику функции у=f(x) в точке х=а
f’(a)=ķ=tg
y
у=f(x)
a
x
o
Физический смысл производной состоит в следующем. Если s(t) –закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t: U = s’(t)
Для нахождения производной функции f(x) пользуются не определением производной, а правилами и формулами дифференцирования .
Основные правила дифференцирования :
1Производная суммы(разности) равна сумме(разностей) производных (U ± V)’=U’ ± V’
2Производная произведения равна: (UV )’=U’V + V’U
3Производная частного равна: ( U/V)’ = U’V – V’U/V², при V ≠ 0
4Производная сложной функции:
( f (φ(x)))’ = f’(φ(x)) * φ’(x)
Основные формулы дифференцирования :
1 (c)’=0
2 (xⁿ)’=nxⁿ¯¹
3 ( )’=
4 ( )’= lna
5(ln x)’=
6(lg x)’= lg e
7( )’=
8(sin x)’=cos x
9(tg x)’=1/cos x
10(cos x)’=-sin x
11(ctg x)’=-1/sin x
12(arcsin x)’=1/
13(arccos x)’=-1/
14(arctg x)’=
15(arcctg)’=-
Вариант 11
Задание: на рисунке изображен график функции у=f(x).Прямая, проходящая через точки А(-1;2) и В(5;14), касается графика функции в точке 2,5.Найдите значение производной функции в этой точке.
y
Решение:
f’(x)=k=tg a
tga=прот.кат./прил.кат.
tga=8/4=2
Ответ:2
8
14
4
B
10
6
A
2
0
6
x
-2
2
-2
Вариант 12
Задание:на рисунке изображен график функции у=f(x).Прямая, проходящая через точки А(-2;1) и В(0;2),касается графика функции в точке 2.Найдите значение производной функции в этой точке.
Решение:
y=kx+b
A (-2; 1) и В ( 0; 2)
1= -2k + b 2=0k + b
1= -2k + 2 b=2
2k=1
K=0.5
т.к. f’(x)=tga=k значит f’(x)=0.5
Ответ: 0.5
y
y
y
x
x
6
B
2
A
0
-2
2
x
-2
Вариант 32
Задание:на рисунке изображен график производной функции у=f’(x), которая задана на промежутке [-4; 5].Укажите точку, в которой функция достигает наибольшее значение.
Решение:
+
y’
y
y
у=f’(x)
В точке х=5 функция y=f(x) достигнет наибольшее значение.
4
у=f(x)
2
5
-4
0
5
x
4
-2
-4
2
-2
Ответ: 5
Вариант 15
Задание:на рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая,проходящая через точки А(-1;5) и В(8;0), касается графика функции в точке 1,5.Найдите знак производной функции в этой точке.
Решение:
1) y=kx+b A(-1;5) B(8;0)
5= -1k+b 0=8k+b
b= -8k
-k – 8=5
-9k=5
k= -0.5
2)tga=5/9 tga=0.5 т.к.tg тупого угла отрицательный, значит tga= - 0.5
Ответ: -0.5
y
4
2
5
0
8
2
4
6
-1
x
9
-1
Вернуться к списку заданий
ЗАДАНИЕ 9
Справка:
S треугольника =(a*h a )/2
S трапеции =((а+в)/2)*h
S круга =πR 2
S куба =6а 2
S бок.цилиндра =2πRh
S шара =4 πR 2
V цилиндра = πR 2 *h
V призмы =S осн. *h
V куба =а 3
V пирамиды =1/3*S осн. *h
V конуса =1/3 πR 2 *h
V шара =4/3 πR 3
Демо-вариант 2011
Диагональ куба равна 11. Найдите площадь его поверхности.
Решение:
Пусть ребро куба равно а
Сумма квадратов ребер параллелепипеда равна квадрату диагонали параллелепипеда
Но у куба все ребра равны
3а 2 =11 2
а 2 =11 2 /3
S= 6а 2 =6*11 2 /3=242
Ответ: 242
Демо-вариант 2010
Объем конуса равен 64. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
Решение:
Обозначим объем большого конуса V 1
(πR 2 *h)/3=64
В маленьком конусе: r=R/2 h=H/2
V мал.конуса = (π(R/2) 2 *H/2)/3= ((πR 2 *h)/3):8=64:8=8
Ответ: 8
2011
Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 14.
Решение:
V цилиндра = πR 2 *h
V конуса =1/3 πR 2 *h
(πR 2 *h)/3=14
πR 2 *h=42
V цилиндра =42
Ответ: 42
2010
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1900 см 3 воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 20 см до отметки 22 см. найдите объем детали. Ответ выразите в см 3.
Решение:
Обозначим первоначальный объем воды V 1 , а объем воды после погружения детали V 2
Пусть площадь основания призмы равна S см 2
h 1 = 20 h 2 =22 – по условию
Вычислим площадь основания S:
V=S* h 1
1900=S*20
S=1900/20=95 см 3
Объем детали равен:
V 2 - V 1 = S*h 2 - S* h 1 = S(h 2 - h 1 )= 95(22-20) =190 см 3
Ответ: 190 см 3
2011
Даны пара цилиндров .Объем первого равен12 м 3 . У второго радиус основания уменьшен в 2 раза, а высота в 3 раза увеличена.
Необходимо вычислить объем второго цилиндра.
Решение:
Объем цилиндра вычисляется по формуле:
Следует отметить что, радиус основания первого цилиндра r а высоту h. Получили что радиус основания второго цилиндра равен r/2, а высота 3h. Применим формулу и получим:
Немного преобразуем полученное выражение:
Объем 2ого цилиндра равен 9 м 3 .
Ответ: 9
Вернуться к списку заданий
ЗАДАНИЕ 10
Задание B10 – это прикладная задача на нахождение наибольшего или наименьшего значения, моделирующая реальную или близкую к реальности ситуацию. Для решения ученик должен составить и решить по условию задачи линейное или квадратное неравенство.
Задача №1.
В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет 90 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите (в омах) наименьшее возможное сопротивление этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R1 и R2 их общее сопротивление задаётся формулой , а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 30 Ом.
По условию задачи, общее сопротивление 2-х проводников задаётся формулой:
Введем переменную.
Пусть сопротивление обогревателя будет – x Ом. Из условия задачи нам известно, что общее сопротивление двух проводников = 90 Ом. Но обогреватель является ещё одним проводником.
Тогда имеем:
Далее решаем это неравенство. Перенесем 30 в левую часть с противоположным знаком и приведем к общему знаменателю.
Получим:
В числителе приведем подобные. Получим:
Решим неравенство методом интервалов.
Найдем точки в которых оно равно нулю и не существует:
Эти точки разбивают координатную прямую на отрезки, в каждом из которых выражение сохраняет свой знак.
Просчитаем знак.
Пусть x=1.
Т.к. знак неравенства больше или равно, то
+ - +
45
-90
Воспользуемся знакочередованием.
Ответ: 45 Ом.
Задача №2.
Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры:
, где - числовой коэффициент, площадь измеряется в квадратных метрах, температура – в градусах Кельвина, а мощность – в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь ,
а излучаемая ею мощность P не менее Определите наименьшую возможную температуру этой звезды.
По условию задачи имеем формулу: .
Данные:
P не менее
Подставим данные в формулу, получим неравенство, так как P должно быть не менее
Решим неравенство:
Ответ: 600 К.
Задача №3.
Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема спроса на продукцию q (единиц в месяц) от её цены p (тыс. р.) задается формулой: q=210-15p.
Определите максимальный уровень цены p (тыс.р.),при котором значение выручки предприятия за месяц r=q*p составит не менее 360 тыс. р.
Итак, мы имеем:
Формулу: q=210-15p
r=q*p не менее 360.
Значение q*p должно быть больше или равно 360.
В это неравенство подставим значение q. Получим:
Раскроем скобки: .
Разделим на -1 при этом сменив знак неравенства на противоположный, получим:
Разделим на 15.
Неравенство примет вид: .
Решим квадратное уравнение, для этого приравняем левую часть неравенства к нулю:
. a=1, b=-14, c=24. Найдём дискриминант по формуле:
Найдём корни уравнения по формуле:
p принадлежит промежутку
Цена должна быть не меньше 2 тыс. р., но не больше 12 тыс. р.
ОТВЕТ: 12 тыс. руб.
1,2 с
1,1 с
Задача №4.
После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h = 5t 2 , где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,2 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,1 с ?
Функция:
Данные:
Найти:
Решение.
Найдём h(1,2), подставив значение в данную функцию:
Затем найдем h(1,1), подставив в данную функцию:
Найдем по формуле
м
м
м
Ответ: 1,15 м.
Задача №5.
Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью v 0 = 24 м/с , начал торможение с постоянным ускорением a = 3 м/с 2 . За t секунд после начала торможения он прошёл путь (м).
Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 90 метров . Ответ выразите в секундах.
at 2
v 0 t
S
=
2
Данные:
Функция:
Найти:
Решение.
Подставим в функцию данные:
Приравняем к 90:
Перенесем 90 в левую часть с противоположным знаком и разделим уравнение на 3.
Затем умножим на 2
Получим квадратное уравнение.
а=1, b=-16, c=60
Найдем дискриминант по формуле:
Найдем корни уравнения по формуле:
Выбираем наименьший корень-это 6 . Значит он и пойдет в ответ.
Ответ: 6
Вернуться к списку заданий
ЗАДАНИЕ 11
Определение множества значений функции (min, max функции, наибольшее, наименьшее значения, экстремумы) Точка x 0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x 0 , что для всех x ≠ x 0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x) f(x 0 ). Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.
Теорема. Если x 0 – точка экстремума дифференцируемой функции f(x), то f ′(x 0 ) =0. Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема (не имеет производной), называют критическими точками. Точки, в которых производная равна 0, называют стационарными. Геометрический смысл: касательная к графику функции y=f(x) в экстремальной точке параллельна оси абсцисс (OX), и поэтому ее угловой коэффициент равен 0 ( k = tg α = 0). Теорема: Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b), x 0 С (a;b), и f ′(x0) =0. Тогда: 1) Если при переходе через стационарную точку x 0 функции f(x) ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», то x 0 – точка максимума. 2) Если при переходе через стационарную точку x0 функции f(x) ее производная меняет знак с «минуса» на «плюс» , то x 0 – точка минимума.
Алгаритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) на отрезке [a;b]. 1. Найти призводную функции и приравнять нулю. Найти критические точки . 2. Найти значения функции на концах отрезка, т.е. числа f(a) и f(b). 3. Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат [a;b]. 4. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Алгаритм нахождения минимума и максимума функции f(x) на интервале (a;b). 1. Найти критические точки f(x) (в которых f ′(x)=0 или f(x) не существует) . 2. Нанести их на числовую прямую (только те, которые принадлежат (a,b) ). f ′(x) + – + a_________ x 0 ____________x 1 ______________ b f (x) 3. Расставить знаки производной в строке f ′(x) , расставить стрелки в строке f(x). 4. x max = x 0 , x min = x1. 5. y max = y(x 0 ), y min = y(x 1 ).
0 при любых x. Значит, f(x) возрастает на всей области определения , и на промежутке [-5π / 6; 0], а значит, своего наибольшего значения f(x) достигает на правом конце промежутка, т.е. при х=0. f(0) = 3sin0 + 0 + 4 = 4. Ответ: 4. " width="640"
В11.Найдите наибольшее значение функции f(x) = 3sin x + 30/п *x + 4 на отрезке [5п/6; 0]. Решение. Найдем критические точки. f´(x) = 3cos x + 30/π = 0 (1); 3·cos x=-30/π; cos x = –10/π , где π≈3.14. cos(x) ≈–3.18... Но |cos(x)| ≤ 1 , значит уравнение (1) решения не имеет. Это значит, что f´(x) не обращается в 0, а следовательно, функция f(x) не имеет критических точек. Очевидно, что f´(x)0 при любых x. Значит, f(x) возрастает на всей области определения , и на промежутке [-5π / 6; 0], а значит, своего наибольшего значения f(x) достигает на правом конце промежутка, т.е. при х=0. f(0) = 3sin0 + 0 + 4 = 4. Ответ: 4.
В11.Найдите точку минимума функции у=(х-3) 2 (х+1). Решение. Возьмем производную: у' = 2(x-3)(x+1) + (x-3) 2 =0, (x-3)*(2x+2+x-3) = 0, Свернем формулу:( x-3)(3x-1)=0, x1=3, x0=1/3. x1 и x0 - критические точки. Высчитаем знак производной. у' + – + ___________ 1/3 ___________3 ____________ у Точка х0=х max =1/3. Точка х1= х min = 3 Ответ: 3.
0 при любых x. Значит, f(x) возрастает на всей области определения , в т.ч. и на промежутке [-5π/6; 0], а значит, своего наибольшего значения f(x) достигает на правом конце промежутка, т.е. при х=0. f(0) = 3sin0 + 0 + 4 = 4. Ответ: 4. Примечание: если не очевидно, что f´(x)0 для всех х, то найдите значения f(x) на обоих концах промежутка и выберите наибольшее. " width="640"
В11. Найдите наибольшее значение функции f ( x ) = 3sin x + 30х/π + 4 на отрезке [ − 5π/ 6 ; 0 ] Решение . Найдем критические точки. f´(x)=3cos(x)+30/π=0 ; 3cos(x)=-30/π; cos(x)=-10/π , где π≈3.14. cos(x)=-3.18... Но |cos(x)|≤1 , значит уравнение решения не имеет. Это значит, что f´(x) не обращается в 0, а следовательно, функция f(x) не имеет критических точек. Очевидно, что f´(x)0 при любых x. Значит, f(x) возрастает на всей области определения , в т.ч. и на промежутке [-5π/6; 0], а значит, своего наибольшего значения f(x) достигает на правом конце промежутка, т.е. при х=0. f(0) = 3sin0 + 0 + 4 = 4. Ответ: 4. Примечание: если не очевидно, что f´(x)0 для всех х, то найдите значения f(x) на обоих концах промежутка и выберите наибольшее.
x 2 - 289 =0 -- x =±17 - критические точки. y' =(x 2 - 289)/(x 2 + 289) 2 y' + • – • + _____ y -17 +17 Ответ: х = -17 - точка максимума " width="640"
В11.Найдите точку максимума функции у = −х/(х 2 +289) Решение. Применим ф-лу для нахождения производной частного: (u/v)' = (u'v - uv') / v 2 . Y’ =(-(x 2 + 289)+x*2x) /(x 2 +289) 2 =0 -x 2 - 289 + 2x 2 =0 -- x 2 - 289 =0 -- x =±17 - критические точки. y' =(x 2 - 289)/(x 2 + 289) 2 y' + • – • + _____ y -17 +17 Ответ: х = -17 - точка максимума
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=x 2 - 2x - 3 на отрезке [-5;-1] Найдем производную, прировняем её к нулю. y' = 2x - 2 = 0, 2x = 2, x = 1 - критическая точка функции, но она не принадлежит [-5;-1]. Значит просчитаем значение функции на концах отрезка. y(-5) = 25 +10 - 3 = 32 — наибольшее значение у(х), y(-1) = 1 + 2 - 3 = - 1 — наименьшее значение у(х) на [-5; -1]. Ответ: 32 — наибольшее значение - 1 — наименьшее значение
Вернуться к списку заданий
ЗАДАНИЕ 12
Под строительную площадку отвели участок прямоугольной формы, длина которого на 30 метров больше его ширины. При утверждении плана застройки выяснилось, что граница участка проходит по территории водоохранной зоны, поэтому его ширину уменьшили на 20 метров. Найдите длину участка, если после утверждения плана застройки площадь участка составила 2400 кв.м.
Дано: ABCD – прямоугольник,
S ( ABCD) = 2400
Найти дину прямоугольника.
х + 30
B
C
K
M
х
Решение:
х-20
S = 2400
1)Пусть x – ширина прямоугольника,
Тогда (х + 30) – длина прямоугольника
D
A
2)S = a*b
S AMKD = (x-20)*(x+30)
X 1 =60
X 2 =-50 не подходит по смыслу
(x-20)*(x+30)=2400
3) 60 + 30 = 80 - длина прямоугольника
Ответ:80
Смешали 8 литров 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 40-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
8 литров
12 литров
20 литров
15%
40%
?
+
=
1,2+4,8=6 - кислоты
8 – 100%
12 – 100%
х – 15%
у – 40%
у = 4,8 - кислоты
х = 1,2 - кислоты
в растворе
в растворе
20 – 100%
6 – z%
z =30% - концентрация
получившегося раствора
Ответ:30
Численность волков в двух заповедниках в 2009 году составляла 220 особей. Через год обнаружили, что в первом заповеднике численность волков возросла на 10%, а во втором – на 20%. В результате общая численность волков в двух заповедниках составила 250 особей. Сколько волков было в первом заповеднике в 2009 году?
1 заповедник
2 заповедник
В 2 заповедниках
220
y
x
В 2009 году
1,2y
1,1x
250
В 2010 году
2)y – 100%
1)x – 100%
x 2 – 10%
y 2 – 20%
y 2 = 0,2x
x 2 = 0,1x
3)
Ответ:140
Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 60км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 46 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Время
Расстояние
Скорость
t
60t
60
1 половина
t
46t
46
2 половина
Решение:
𝝊 ср
𝝊 ср
,
Ответ:53
Моторная лодка прошла против течения 24 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 20 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость (в км/ч) лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч.
Время
Расстояние
Скорость
(𝝊-3)
24
против течения
24
(𝝊+3)
по течению
Решение:
𝝊≠ 3, 𝝊≠-3
𝝊 =21
𝝊 =-21 - не подходит по смыслу
Ответ:21
Вернуться к списку заданий
ЗАДАНИЕ 13
Задача №1
Решение:
1.
значит siny
2. Введем новую переменную cosy=a, |a|меньше или равно 1.
Теперь второе уравнение можно привести к виду:
Корни:
a_1=3/2;
a_2=-1/2;
Первый корень не удовлетворяет условию
|a|меньше или равно 1.Вернемся к прежней переменной.
3. т.к. siny
4.
x=1/2
Ответ: x=1/2,
Задача №2
Решение:
Возведем в квадрат.
Приравняем y^2 из первого уравнения
cos x=2 решений не имеет т.к. значения cosx находятся в пределах от -1 до 1.
cos x=0
y+1=2cos x
y=-1
Ответ: y=-1,
Задача №3
Решение:
1. Сделаем замену sin x = t, значения t находятся в пределах от -1 до 1. Тогда второе уравнение можно привести к виду:
Корни: t_1=2; t_2=-1/2
Первый корень не удовлетворяет условию.
2. Вернемся к прежней переменной: sin x=-1/2
т.к. левая часть первого уравнения системы положительна, то для того чтобы уравнение имело решение необходимо чтобы cos x
3. Подставим значение x в первое уравнение:
y= 1/2
Ответ: y= 1/2,
Задача №4
Решение:
Ответ:
Задача №5
Решение:
1. Введем новую переменную
2.
t_1=3
t_2=27
, решений нет
Ответ:
Вернуться к списку заданий
ЗАДАНИЕ 14
ОДЗ
- √ (x+2) → x≥-2;
- √ (8-x) → x≤8;
- √ (8-x) - |x-2|≠0 → x≠-1,
x≠4 (вычисления далее);
0. Тогда: √ (8-x) - |x-2|0 √ (8-x)|x-2| 8-xx²-4x+4 x²-3x-4 x₁=-1; x₂=4 + + - - - + 100 " width="640"
Решение
Т.е. при условии
x²-3x-4
выполняется
√ (8-x) - |x-2|0.
Тогда:
√ (8-x) - |x-2|0
√ (8-x)|x-2|
8-xx²-4x+4
x²-3x-4
x₁=-1; x₂=4
+
+
-
-
-
+
100
√ (x+2)-|x-2|
√ (8-x)-|x-2|
≥ 1, домножим на знаменатель правую часть
√ (x+2)-|x-2|-√(8-x)+|x-2|
≥ 0
√ (8-x)-|x-2|
√ (x+2)-√(8-x)≥0
x≥3
Объединим ОДЗ и решение
√ (x+2)-√(8-x)
+
-
+
-
x
3
8
4
-1
-2
-
-
+
+
√ (8-x)-|x-2|
x€[-2;-1)U[3;4)
Решите неравенство:
√ (x+3-4√(x-1))+√(x+8-6√(x-1))≥3
ОДЗ
√ (x-1) → x≥1
x+3-4√(x-1)≥0, … x 2 -10x+25≥0; x=5 (ноль уравнения x 2 -10x+25=0 один), тогда x€R.
x+8-6√(x-1)≥0, … x 2 -20x+100≥0; x=10 (ноль уравнения x 2 -10x+25=0 один), тогда x€R.
- √ (x+3-4√(x-1))+√(x+8-6√(x-1))≥3
- √ ( √(x-1)²-2*2√(x-1)+2²)+√( √(x-1)²-2*3√(x-1)+3²)≥3
- √ ( (√(x-1)-2)²) + √( (√(x-1)-3)²) ≥3
(по формуле квадрата разности)
4. |√(x-1)-2|+|√(x-1)-3| ≥3
Найдём нули модулей
√ (x-1)-2=0, x=5; √(x-1)-3=0, x=10
Расставим знаки модулей на промежутках
+
+
-
|√(x-1)-2|
x
5
1
10
+
-
-
|√(x-1)-3|
x€[1;5]
x€[1;5]
x€[1;3]
2-√(x-1)+3-√(x-1)≥3
x≤3
x€(5;10)
x€(5;10)
1≥3
√ (x-1)-2+3-√(x-1)≥3
x€[10;∞)
x€[10;∞)
x€[17;∞)
√ (x-1)-2+√(x-1)-3≥3
x≥17
x€[1;3]U[17;∞)
0 (x-2)*log 2x (3x-2) " width="640"
Решите неравенство:
x 2/x - 4
0
(x-2)*log 2x (3x-2)
0 2x0 3x-20 x2/3 2/3 1 2 " width="640"
ОДЗ
x≠0
2/x≠0
x-2 ≠0
x ≠2
2x ≠1
x ≠0,5
x0
2x0
3x-20
x2/3
2/3
1
2
Найдём нули выражений и их знаки на промежутках
x 2/x - 4=0, x=1
x-2=0, x=2
log 2x (3x-2)=0, x=1
-
-
+
x 2/x - 4
-
+
-
x-2
+
+
-
log 2x (3x-2)
2
1
2/3
x€(2/3;1)U(1;2)
Вернуться к списку заданий
Спасибо за внимание!
Удачи при сдаче ЕГЭ!