Увлекательные способы решения квадратных уравнений

Отдел по образованию Каменецкого районного исполнительного комитета государственное учреждение образования «Гимназия г. Каменца»

Научно-исследовательская работа по математике

на тему:

Увлекательные способы решения квадратных уравнений

Выполнил: учащаяся 11 класса

Николайчук Татьяна Руководитель:

учитель математики

I квалификационной категории

Осташеня Ольга Александровна

Цель работы:

Научиться решать квадратные уравнения быстро и рационально, для применения навыка при подготовке к экзаменам и централизованному тестированию

Задачи:

• Найти все возможные способы решения квадратных уравнений
• Выбрать из них те, которые позволяют решать такие уравнения быстро и рационально
• Применить полученный опыт на школьных уроках и факультативах

Способы решения квадратных уравнений

• Разложение левой части уравнения на множители
• Метод выделения полного квадрата
• Решение квадратных уравнений по формулам
• Решение с использованием обратной и прямой теорем Виета

• Решение уравнений способ ом «переброски»
• Свойство коэффициентов квадратного уравнения

• Графическое решение квадратных уравнений
• Решение с помощью циркуля и линейки
• Геометрический способ решения
• Решение с помощью номограмм

Свойства коэффициентов квадратных уравнений

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0.

• Если a+b+c=0 (т. е. сумма коэффициентов равна нулю), то х 1 = 1, х 2 = .

2)Если a - b + c = 0, или b = a + c, то х 1 = -1, х 2 = - .

Примеры:

Решим уравнение

564x 2 – 193x – 371 = 0.

Так как a+b+c=0 (564 – 193 - 371 = 0), то

х 1 = 1; х 2 = = - .

Ответ: 1; - .

Решим уравнение

215 x 2 +382x + 167 = 0.

Так как a - b + c = 0 (167 - 382 + 215 = 0), то

х 1 = -1 и х 2 = .

Для запоминания формулы корней приведенного квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом x 2 +px+q=0 можно использовать такое стихотворение:

P со знаком взяв обратным,

Мы на два его разделим.

И от корня аккуратно

Знаком «минус», «плюс» отделим.

А под корнем, очень кстати,

Половина p в квадрате,

Минус q – И вот решенье

Небольшого уравненья:

x = - .

.

Способ «переброски» коэффициентов

Рассмотрим квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0.

Умножая обе его части на a , получаем уравнение a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Пусть ax=y , тогда x = , и получаем уравнение

y 2 + by + ac = 0, равносильное данному. Его корни y 1 и y 2 найдём с помощью теоремы, обратной теореме Виета и получим: x 1 = , x 2 = .

Примеры:

2x 2 – 11x + 15 = 0.

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение: y 2 – 11y + 30 = 0.

Согласно теореме, обратной теореме Виета:

y 1 = 5, y 2 = 6 , отсюда следует, что x 1 = = 2,5 ; x = = 3.

Ответ: 2,5; 3.

sin 4 x 2 – (sin4+cos4)x+cos4 = 0.

Полученное уравнение имеет вид:

y 2  – (sin4 + cos4) · y + sin4 · cos4 = 0.

Теперь решим полученное уравнение с помощью теоремы Виета, т.е. найдем числа, сумма которых равна sin4 + cos4 , а произведение равно sin4 · cos4 . Очевидно, что искомые числа:

sin4 и cos4 . Значит y 1  = sin4 и y 2  = cos4 . Теперь найдем корни исходного уравнения.

Для этого полученные корни y 1,2  поделим на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на sin4 . Будем иметь x 1  =;  x 2  = . Упростив получим, что x 1  = 1;  x 2  = ctg4.

Ответ: 1; ctg4 .

Социалогический опрос

1) Знаете ли вы что такое квадратное уравнение?

2) Какие способы решения квадратных уравнений вам известны?

3) Где можно встретить квадратные уравнения в жизни?

Квадратные уравнения в жизни

Сейчас ученые выяснили, что траекторию движения планет можно найти с помощью квадратного уравнения

Фонтан смотрится лучше, если капли воды достигают высоты, большей, чем высота статуи