В помощь молодому учителю Теорема Пифагора.

Подготовила

Учитель математики МБОУ «Школа № 70» г. Казани

Маслова Наталья Петровна

Теорема Пифагора

В

Найдите площадь АВС D

3

2

РЕШЕНИЕ:

30 о

С

А

45 о

D

• О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.

• В 530 г. до н.э. Пифагор основал так называемый пифагорейский союз. Около сорока лет ученый посвятил созданной им школе.
• Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии.

• Пифагор сделал много открытий, но наибольшую славу ученому принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя.

Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось иногда Pons Asinorum «ослиный мост» или elefuga - «бегство убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии.

Слабые ученики, заучивавшие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме квадратов, построенных на его катетах.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

a

b

C

M

B

3

2

a

c

b

4

c

Доказательство

N

1

• ABCD - квадрат, AB = a + b , S ABCD = (a + b) 2

c

K

b

с

c

S APK = ab S KMNP = c 2

(a + b) 2 = 4 · ab + c 2

а

a

b

b

a

P

A

D

a 2 + 2ab +b 2 = 2ab + c 2

a 2 + b 2 = c 2

c ²=a²+b²

2. Квадрат ABCD состоит из четырех равных прямоугольных треугольников, одним из которых является треугольник APK, и квадрата KMNP со стороной с, значит S ABCD = 4S APK + S KMNP

Итак,

Если дан нам треугольник,

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим -

И таким простым путем

К результату мы придем .

c 2 = a 2 + b 2

c

a

b

Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее так же “ветряной мельницей”, составляли стихи вроде “Пифагоровы штаны на все стороны равны”, рисовали карикатуры.

Шаржи из учебника XVI века

Ученический шарж XIX века

Алгоритм решения задач по теореме Пифагора

• Внимательно прочти задачу, разберись с условием.

• По условию сделай чертеж.
• Выдели на чертеже прямоугольный треугольник.

• Найди катеты и гипотенузу.

• Запиши теорему Пифагора и соотнеси данные в задаче с ней.
• Выполни подстановку данных.

Дано: ∆АВС,  С=90 º , а=6, b =8

Найти: с.

Решение:

∆ АВС – прямоугольный с гипотенузой АВ. По теореме Пифагора АВ ² =АС ² +ВС ²

с ² =а ² + b²

с ² = 6² + 8²

с ² = 36+64

с ² = 100

c=10

Ответ: 10

А

?

8

6

В

С

№ 483

с ² = а 2 + b 2

А

а

c

b

6

8

10

5

6

√ 61

с

в

8

а

В

С

№ 48 6

с ² = а 2 + b 2

AD ²=AC²-CD²

AD ²=13² - 5²

AD²= 169-25

AD²=144

AD=

AD=12

B

C

5

13

D

A

Дано: ∆АВС, АВ=ВС=17 см, АС=16 см, BD  AC

Найти: BD.

Решение.

1. AD=DC=AC : 2=8 c м

2. Рассмотрим ∆ADB .

BD²=AB²-AD²

BD=

BD=15 (см)

Ответ: 15 см

B

D

С

А

• Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться.
• Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что следует знать.
• Не пренебрегай здоровьем своего тела…
• Приучайся жить просто и без роскоши.
• Не закрывай глаза, когда хочется спать, не разобравши всех своих поступков в прошлый день.
• Помогай не тому, кто ношу сваливает, а тому, кто ее взваливает.