В помощь студенту-заочнику по дисциплине: "МАТЕМАТИКА" Раздел №4 «Дифференциальное исчисление функции многих действительных переменных»

Аналогично, функция f(x,y) имеет локальный минимум в точке (x₀,y₀), если f(x,y)f(x₀,y₀) для всех (x,y), достаточно близких к (x₀,y₀).

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Стационарные и критические точки

Точки, в которых все частные производные функции равны нулю, называются стационарными точками. Для функции двух переменных стационарные точки находятся из системы уравнений

Локальные максимум и минимум представляют собой стационарные точки. Стационарные точки вместе с точками из области определения функции, в которых частные производные не существуют, образуют множество критических точек.

Седловая точка это такая точка, которая не является ни локальным максимумом, ни локальным минимумом.

Достаточное условие существования экстремума

Пусть (x₀,y₀), является стационарной точкой (т.е. частные производные первого порядка в ней равны нулю). Рассмотрим определитель, составленный из значений частных производных второго порядка в данной точке:

Если D0 и частная производная  , то  является точкой локального минимума.
Если D0 и частная производная  , то    является точкой локального максимума.

Если D, то   является седловой точкой.

Если D=0, то для определения типа стационарной точки необходимо дальнейшее исследование.

Касательная плоскость

Уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке   имеет вид

Нормаль к поверхности

Уравнение нормали к поверхности z=f(x,y) в точке    записывается как

1. Частные производные.

Частные производные первого порядка

Рассмотрим функцию двух переменных z = f (x, y). Придавая значению переменной x приращение x, рассмотрим предел (при x 0)

Этот предел называется частной производной (первого порядка) данной функции по переменной x в точке (x, y) и обозначается или fʾ_x(x,y). Точно так же определяется частная производная этой функции по переменной y и обозначается или fʾ_y(x,y).

Частные производные вычисляются по обычным формулам дифференцирования, при этом все переменные, кроме одной рассматриваются как постоянные.

Частные производные высших порядков

Пусть z = f (x, y) есть функция двух переменных x и y. Частными производными второго порядка функции f (x, y) называются частные производные от ее частных производных первого порядка, если они существуют. Частные производные второго порядка обозначаются следующим образом:

Аналогично определяются и обозначаются частные производные более высокого порядка. Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по нескольким различным переменным, называется смешанной частной производной. Относительно смешанных частных производных имеет место следующая теорема.

Теорема. Две смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности.

1. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях.

Определение 1. Если для каждой пары (x,y) значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение z, то говорят, что z является функцией двух переменных (x,y). Обозначение: z=f(x,y).

Пусть дана функция z=f(x,y)двух независимых переменных (x,y). Если аргументу x дать приращение Δx, а аргументу y - приращение Δy, то получается полное приращение заданной функции z=f(x,y).

Определение 2. Полный дифференциал заданной функции z=f(x,y) является линейной частью приращения функции и записывается в виде

dz=fx′(x,y)⋅Δx+fy′(x,y)⋅Δy.

Для функции трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются полный дифференциал:

Определение 3. Приращения независимых переменных, а именно, Δx,Δy,Δz,...,Δt называют дифференциалами независимых переменных x,y,z,...,t. Обозначение: dx,dy,dz,...,dt.

В новых обозначениях выражения для полного дифференциала принимает следующий вид: Полный дифференциал находит свое применение в приближенных вычислениях.

Рассмотрим заданную функцию z=f(x,y), дифференцируемую в точке (x,y), и запишем для нее полное приращение:

Преобразуем формулу следующим образом:

f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)+Δz (1)

Подставив в формулу (1) вместо Δz выражение для полного дифференциала, получим следующую приближенную формулу:

f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)+fx′(x,y)⋅Δx+fy′(x,y)⋅Δy, (2)

которая является верной с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно приращений Δx,Δy. Формула (2) используется при решении задач на приближенные вычисления.

Определение 4. Если для каждой тройки (x,y,z) значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение w, то говорят, что w является функцией трех переменных (x,y,z) в данной области. Обозначение: w=f(x,y,z).
Определение 5. Если для каждой совокупности (x,y,z,...,t) значений независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение w, то говорят, что w является функцией переменных (x,y,z,...,t) в данной области. Обозначение: w=f(x,y,z,...,t).

Замечание 1. Аналогичную формулу можно записать для функции трех и более переменных:

f(x+Δx,y+Δy,z+Δz)=f(x,y,z)+fx′(x,y,z)⋅Δx+fy′(x,y,z)⋅Δy+...+fz′(x,y,z)⋅Δz;

f(x+Δx,y+Δy,...,t+Δt)=f(x,y,...,t)+fx′(x,y,...,t)⋅Δx+fy′(x,y,...,t)⋅Δy+...+ft′(x,y,...,t)⋅Δt.

Также полный дифференциал используют применительно к оценке погрешностей при вычислениях:

Максимальная абсолютная погрешность:

Максимальная относительная погрешность:

1. Дифференцирование сложных функций.

Теорема. Если     и    – дифференцируемые функции, то производная сложной функции     равна

      Действительно, производная функции представляет собой отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента. Если сократить общий множитель     в числителе и знаменателе выражения в правой части этого равенства, то получим тождество.

Формальное доказательство. По определению производной

Согласно теореме о непрерывности дифференцируемых функциях,     является непрерывной функцией и, следовательно,     при  ∆x → 0. Тогда

1. Неявные функции и их дифференцирование.

Пусть F - дифференцируемая функция трех переменных x, y и z, и пусть уравнение F(x, y, z)=0 определяет z как функцию независимых переменных x и y. Частные производные этой неявной функции z = z(x, y) в точке (x, y) вычисляются по следующим формулам:

при условии, что Fʾ_z ( x, y, z) 0, где z=z (x, y) и F(x, y, z) = 0.

Глава II. Практика.

2.1.Найти приближенное значение функции.

Вычислить приближенное значение заданной функции

f(x,y,z)=x³+y²+z²

в точке (1;4;1) при Δx=0,01; Δy=0,02; Δz=0,01.

Решение: Запишем частные производные заданной функции:

fx′(x,y,z)=3x², fy′(x,y,z)=2y, fz′(x,y,z)=2z.

Вычислим значения частных производных в заданной точке:

fx′(1,4,1)=3⋅1²=3, fy′(1,4,1)=2⋅1=2, fz′(1,4,1)=2⋅1=2.

Вычислим значение функции в заданной точке:

f(1,4,1)=1³+4²+1²=1+16+1=18.

Воспользуемся формулой f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)+fx′(x,y)⋅Δx+fy′(x,y)⋅Δy, и получим: f(1+0,01;4+0,02;1+0,01)=f(1,4,1)+fx′(1,4,1)⋅0,01+fy′(1,4,1)⋅0,02+fz′(1,4,1)⋅0,01= =18+3⋅0,01+2⋅0,02+2⋅0,01=18+0,03+0,04+0,02=18,09.

2.2. Определить максимальную абсолютную погрешность заданных функций.

Определить максимальную абсолютную погрешность заданных функций:

1) w=x+y−z;

2) w=xy.

Решение:

1. Запишем частные производные заданной функции:

Для функции w=x+y−z согласно формуле получаем:

|Δ∗w|=1⋅|Δ∗x|+1⋅|Δ∗y|+|−1|⋅|Δ∗z|=|Δ∗x|+|Δ∗y|+|Δ∗z|.

1. Запишем частные производные заданной функции:

Для функции w=xy согласно формуле получаем:

|Δ∗w|=|y|⋅|Δ∗x|+|x|⋅|Δ∗y|.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Дифференциальные исчисления функций многих действительных переменных одно из фундаментальных понятий математического анализа. В данной работе мы изучили дифференциальные функции многих переменных. В зачетной работе я раскрыла понятие функции нескольких переменных, частные производные, применение полного дифференциала в приближенных вычислениях, дифференцирование сложных функций, неявные функции и их дифференцирование.

В практической работе решила примеры по дифференциальным исчислениям функций многих действительных переменных и сделала презентацию.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., 2001г.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.,2004г.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1.М., 2005г.

4. Демидовича. М., Ефимова А.В., Линейная алгебра и основы математического анализа. 2003г.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М., 2001г.

6. http://window.edu.ru/resource/821/76821/files/selivdif2001.pdf

7. http://portal.tpu.ru:7777/SHARED/k/KONVAL/Sites/Russian_sites/Calc1-ru/4/17.htm

8. https://spravochnick.ru/matematika/funkcii_neskolkih_peremennyh/primenenie_polnogo_differenciala_v_priblizhennyh_vychisleniyah/

9. http://www.math24.ru/%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8-%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D0%B8%D1%85-%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85.html

7