Вариант 13, огэ 9 класс матем, схема участка.

Вариант № 13

1. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на схеме. Заполните таблицу, в ответ запишите последовательность четырёх цифр.

На плане (см. рисунок) изображена детская площадка, расположенная в общем дворе двух многоквартирных домов (сторона самой маленькой клетки на плане равна 1 м). Площадка предназначена как для детей младшего возраста, так и для школьников, поэтому она разделена на две отдельные части. При этом по краю зоны для малышей есть специальная дорожка, по которой можно кататься на роликах, машинках, велосипедах и просто бегать. Прямо перед скамейкой расположился игровой комплекс с горкой, домиком, лесенками, а слева от скамейки находится песочница, площадь которой равна 16 м². Карусель отмечена на плане цифрой 6. Кроме того, в зоне для малышей имеются качели. В зоне для школьников находятся: комплекс уличных тренажёров, обозначенный цифрой 1, площадка для активных игр, поле для мини‐футбола и верёвочный комплекс. При этом поле для мини‐футбола имеет самую большую площадь, а верёвочный комплекс — самую маленькую.

Решение. Прямо перед скамейкой расположился игровой комплекс с горкой, домиком, лесенками, а слева от скамейки находится песочница, площадь которой равна 16 м². Карусель отмечена на плане цифрой 6. Кроме того, в зоне для малышей имеются качели. Значит, качели отмечены цифрой 8, а песочница — цифрой 7. В зоне для школьников находятся: комплекс уличных тренажёров, обозначенный цифрой 1, площадка для активных игр, поле для мини‐футбола и верёвочный комплекс. При этом поле для мини‐футбола имеет самую большую площадь, а верёвочный комплекс — самую маленькую. Следовательно, поле для мини-футбола отмечено цифрой 4, а верёвочный комплекс — цифрой 3.

Ответ: 8437.

2. Сколько кубических метров песка понадобилось, чтобы слой песка в песочнице был 20 см?

Решение. Поскольку площадь песочницы равна 16 м², чтобы слой песка в песочнице был 20 см, то есть   м, понадобилось   м³ песка.

Ответ: 3,2.

3. Найдите площадь (в м²), игрового комплекса для малышей.

Решение. Заметим, что клетка имеет размер 2 х 2 м, размеры игрового комплекса для малышей — 4 x 3 клетки. Значит, площадь игрового комплекса для малышей равна

 м².

Ответ: 48.

4. Найдите длину (в метрах) диагонали поля для мини‐футбола.

Решение. Найдём длину диагонали поля для мини‐футбола по теореме Пифагора:

 м.

Ответ: 20.

5. Жители домов тщательно изучили современные материалы для мощения детской площадки. Было решено уложить в тех зонах, где есть риск получить травму, современное резиновое бесшовное покрытие. Такими зонами оказались площадка для малышей (за исключением песочницы, но включая дорожку), комплекс уличных тренажёров, площадка для активных игр, поле для мини‐футбола и верёвочный комплекс. Цены на материалы и монтаж приведены в таблице.

Заказ на все площадки делается одновременно, и стоимость заказа зависит от суммарной площади. На сколько рублей дороже оказалось покрыть площадку для малышей, чем площадку для школьников?

Решение. Площадь, которую необходимо покрыть на площадке для малышей, равна

 м².

Площадь, которую необходимо покрыть на площадке для школьников, равна

 м².

Суммарная площадь составляет 344 + 316 = 660 м², поэтому цена 1 м² покрытия составит 1400 руб.

Стоимость покрытия площадки для малышей равна

 руб.

Стоимость покрытия площадки для школьников равна

 руб.

Разница в стоимости составляет   руб.

Ответ: 39 200.

6. Найдите значение выражения 

Решение. Вычислим:

Ответ: 2,8.

7. На координатной прямой точками A, B, C и D отмечены числа −0,74; −0,047; 0,07; −0,407. Какой точкой изображается число −0,047?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) A

2) B

3) C

4) D

Решение. Заметим, что   Следовательно, числу −0,047 соответствует вторая справа точка то есть точка C.

Правильный ответ указан под номером: 3.

8. Найдите значение выражения   при x = −13.

Решение. Преобразуем выражение:

Подставим значение 

Ответ: 0,3.

9. Решите уравнение   .

Решение. Последовательно получаем:

Ответ: 2,5.

10. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.

Решение. Всего выступает 13 + 2 + 5 = 20 спортсменов. Из них не из России 7 спортсменов. Поэтому вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России равна 

11. Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) 

Б) 

B) 

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Решение. Определим вид графика каждой из функций:

А)   — уравнение гиперболы

Б)   — уравнение параболы, ветви которой направлены вверх

B)   — уравнение прямой

Найдём для каждого графика функцию: A — 3, Б — 1, В — 2.

Ответ: 312.

12. Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле   где   и   — длины диагоналей четырёхугольника,   — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали   если     a 

Решение. Выразим длину диагонали   из формулы для площади четырёхугольника:

Подставляя, получаем:

Ответ: 20.

13. На каком рисунке изображено множество решений неравенства  ?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение. Решим неравенство:    Корнями уравнения   являются числа -1 и 4. Поэтому

Множество решений неравенства изображено на рис. 2.

Правильный ответ указан под номером 2.

14. При проведении химической реакции в растворе образуется нерастворимый осадок. Наблюдения показали, что каждую минуту образуется 0,5 г осадка. Найдите массу осадка (в граммах) в растворе спустя восемь минут после начала реакции.

Решение. Масса осадка в растворе спустя восемь минут после начала реакции:

 г.

Ответ: 4.

15.  В треугольнике ABC известно, что  , AD - биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.

Решение. Поскольку AD - биссектриса, то  . Таким образом, 

Ответ: 21

16.

Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 38°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Решение.  Введём обозначение, как показано на рисунке. Касательные, проведённые к окружности из одной точки равны, поэтому   следовательно, треугольник ABC — равнобедренный. Откуда   Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую он заключает, значит, дуга AB равна 142°. Угол AOB — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, равен 142°. Рассмотрим треугольник AOB, он равнобедренный, следовательно, 

Ответ: 19.

17.

Площадь параллелограмма ABCD равна 70. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь трапеции EBCD.

Решение. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому   Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому   Следовательно,

Ответ: 52,5.

18.

На рисунке изображен параллелограмм  ABCD. Используя рисунок, найдите   .

Решение. Синус угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к гипотенузе. Треугольник BAH — прямоугольный, поэтому 

Вычислим по теореме Пифагора длину гипотенузы AB:

Тогда

Ответ: 0,6.

19. Какое из следующих утверждений верно?

1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.

2) Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

3) Смежные углы равны.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. 1) «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой» — верно, это аксиома планиметрии.

2) «Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны» — неверно: например, могут быть квадрат и ромб с равной длиной стороны.

3) «Смежные углы равны» — неверно, смежные углы   и   связаны соотношением:  .

Ответ: 1.

20. Решите уравнение 

Решение. Преобразуем уравнение:

Ответ: −5; −2; 2.

21. От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 280 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 4 часа после этого следом за ним, со скоростью, на 8 км/ч большей, чем у первого, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно.

Решение. Пусть x км/ч — скорость первого теплохода, тогда   км/ч — скорость второго теплохода. Расстояние между пристанями 280 км, второй теплоход отправился в путь через 4 часа после выхода первого, причём в конечный пункт оба теплохода прибыли одновременно, составим уравнение:

Корень −28 не подходит по условию задачи, следовательно, скорость первого теплохода равна 20 км/ч.

Ответ: 20.

22. Постройте график функции

и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение. Построим график функции y = x при x y = x² + 8x + 10 при x ≥ −5.

Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки при m = −5 и m = −6.

Ответ: −5; −6.

23. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты:  ,  . Найдите медиану CK этого треугольника.

Решение.  Медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине:

Ответ: 5.

24.  Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный шестиугольник.

Решение.  Рассмотрим маленькие треугольники   и    ,   следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу. Аналогично равны между собой и остальные маленькие треугольники. Следовательно, 

Любой угол правильного шестиугольника равен   Треугольники   и   — равнобедренные, углы при основаниях равны   Рассмотрим развёрнутый угол 

Аналогично все остальные углы шестиугольника   равны   следовательно, шестиугольник   — правильный.

25. В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 15 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение.  Проведём построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник   Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому   — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём 

Отрезки   и OK равны как радиусы вписанной в треугольник ABC окружности, то есть   Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, углы LAO и OAK равны, AO — общая, следовательно, треугольники равны, откуда   Аналогично из равенства треугольников COM и COK получаем   а из равенства треугольников BOL и BOM —   Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

Рассмотрим треугольники ABC и ACD, AB равно CD, AD равно BC, углы ABC и ADC равны, следовательно, треугольники ABC и ACD равны. Поэтому площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма:

Площадь параллелограмма равна: 

Ответ: 924